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2022-2023学年新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州高二上学期11月期中质量检测数学试题含答案
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这是一份2022-2023学年新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州高二上学期11月期中质量检测数学试题含答案,共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,双空题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州高二上学期11月期中质量检测数学试题 一、单选题1.已知直线经过点,斜率为,则直线方程是( )A. B. C. D.【答案】A【分析】由直线斜率和直线在轴上截距,求直线的斜截式方程.【详解】直线经过点,则直线在轴上截距为4,又直线斜率为,则直线方程是.故选:A2.设抛物线yx2的焦点为F,点P在抛物线上,若|PF|=3,则点P到x轴的距离为( )A. B.2 C. D.1【答案】B【分析】写出抛物线的准线方程,根据抛物线的定义可以求出点P到x轴的距离.【详解】抛物线yx2的准线为:,又因为|PF|=3,所以根据抛物线的定义可以知道点P到准线的距离也为3,因此点P到x轴的距离为2.故选:B【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了抛物线焦点的位置及准线方程.3.已知圆,直线过点交圆于两点,则弦长的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】首先得到圆心坐标与半径,即可判断点在圆内,即可求出弦长最大、最小值,即可得解.【详解】解:圆的圆心,半径,又,所以点在圆内,当直线过圆心时,弦长取最大值,当直线时,圆心到直线的距离最大,最大值为,此时弦长取最小值;故选:D.4.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )A. B. C.1 D.【答案】B【分析】先确定抛物线的焦点坐标,和双曲线的渐近线方程,再由点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】因为抛物线的焦点坐标为,双曲线的渐近线方程为,由点到直线的距离公式可得.故选:B5.已知点和点,动点满足,则点的轨迹方程为( )A. B.C. D.【答案】D【分析】根据两点间的距离公式列式求解即可.【详解】解:因为点和点,动点,所以,又因为其满足,所以,整理得:所以点的轨迹方程为.故选:D6.直线与曲线(m,n为非零实数)在同一平面直角坐标系中的示意图可以是( )A. B.C. D.【答案】B【分析】由,得,然后根据所给图形逐个分析即可【详解】解:由,得,对于A,若曲线的图像正确,则,所以直线过一、二、三象限,所以A错误;对于B,若曲线的图像正确,则,所以直线过一、三、四象限,所以B正确;对于C,若曲线的图像正确,则,所以直线过一、二、四象限,且由图可知两图在轴上有公共点,则可得,从而有,直线方程为,由,可得或,则交点应在第一象限,所以C错误;对于D,若曲线的图像正确,则,所以直线过一、二、四象限,所以D错误,故选:B7.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M,N两点,且M,N关于直线x+2y=0对称,则实数k+m的值为( )A.1 B.2 C.3 D.0【答案】A【分析】由圆的方程得出圆心坐标,根据圆的对称性可知直线通过圆心,得出,再由直线与直线相互垂直,得出,代入求解即可.【详解】,方程一定表示圆;则圆心坐标为,根据圆的对称性可知,直线通过圆心,则,M、N两点关于直线对称直线与直线相互垂直,,所以,故选:A.8.双曲线的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】A【详解】试题分析:由已知可设,代入双曲线方程可求得;∴,化简可得双曲线的离心率.【解析】双曲线的定义、离心率的求法. 二、多选题9.下列说法正确的是( )A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B.直线的倾斜角为C.直线关于轴对称直线方程为D.三点共线【答案】AC【分析】根据直线的截距式求出面积判断A,求出直线的倾斜角判断B,根据关于轴对称判断C,利用斜率判断D.【详解】由可得,所以,故A正确;由可得,所以,所以倾斜角为,故B错误;直线关于轴对称直线方程为,即,故C正确;因为,所以三点不共线,故D错误.故选:AC10.关于双曲线,下列说法正确的有( )A.实轴长为4 B.焦点为C.右焦点到一条渐近线的距离为4 D.离心率为【答案】AC【分析】根据双曲线的方程求得,结合双曲线的几何性质,逐项判定,即可求解.【详解】由双曲线,可得,则,所以双曲线的实轴长为,所以A正确;焦点坐标为,所以B错误;又由双曲线的右焦点为,其中一条渐近线的方程为,即,所以到渐近线的距离为,所以C正确;由双曲线的离心率的定义,可得双曲线的离心率为,所以D错误.故选:AC.11.若动点在圆上,动点在圆上,则( )A.两圆有3条公切线 B.两圆公共弦所在直线方程为C.的最大值为 D.两圆公共弦长为【答案】BC【分析】求出圆和圆的圆心、半径,判断两圆的位置关系,再逐项分析计算作答.【详解】圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,,即,因此,圆与圆相交,圆与圆只有两条公切线,A不正确;两圆的方程相减得:,即两圆公共弦所在直线方程为,B正确;由圆的性质得:,C正确;点到直线的距离,则有两圆公共弦长为,D不正确.故选:BC12.已知为坐标原点,,是抛物线上的一点,为其焦点,若与双曲线的右焦点重合,则下列说法正确的有( )A.若,则点的横坐标为6B.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为C.若外接圆与抛物线的准线相切,则该圆面积为D.周长的最小值为【答案】CD【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标,进而得到抛物线方程;利用抛物线焦半径公式可求得A错误;将准线方程与双曲线方程联立可得交点纵坐标,由此可得线段长度,知B错误;根据外心的横坐标为且圆与准线相切可得圆的半径,由此可知C正确;结合抛物线定义可知,由此可求得周长的最小值,知D正确.【详解】由双曲线方程知:,抛物线,对于A,设,则,解得:,A错误;对于B,抛物线准线方程为:,由得:,准线被双曲线截得的线段长度为,B错误;对于C,外接圆圆心在线段的中垂线上,则其横坐标为,又该圆与抛物线准线相切,该圆的半径,该圆的面积,C正确;对于D,设和在准线上的投影分别为,由抛物线定义知:,则(当且仅当三点共线时取等号,此时重合),又,,周长的最小值为,D正确.故选:CD.【点睛】关键点睛:运用抛物线的定义,利用两点间线段最短是解题的关键. 三、双空题13.已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1∥l2,则a= ;若直线l1⊥l2,则a= 【答案】 5. .【分析】利用斜率计算公式、直线相互平行垂直与斜率的关系即可得出.【详解】直线l2的斜率k==a﹣2.(1)∵l1∥l2,∴a﹣2=3,即a=5(2)∵直线l1⊥l2,∴3k=﹣1,即3(a﹣2)=﹣1,解得a=.故答案为5,.,【点睛】本题考查了斜率计算公式、直线相互平行垂直与斜率的关系,属于基础题. 四、填空题14.已知椭圆的焦距是2,则离心率e的值是 .【答案】或【分析】分椭圆的焦点在,轴上,由椭圆的方程可得的值,再由焦距为2可得的值,求出椭圆的离心率.【详解】由椭圆的方程可得,且,焦距为2,可得,即,当焦点在轴上时,则,,可得,由题意可得,所以,这时离心率;当焦点在轴上时,则,即,这时离心率,综上,离心率为或,故答案为:或15.过点的圆的切线方程 【答案】或【分析】由圆的方程可确定圆心和半径,易知过的斜率不存在的直线为圆的切线;设斜率存在的切线为,利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得的值,由此可得切线方程.【详解】由圆方程知:圆心,半径;当过的直线斜率不存在,即直线方程为:时,直线与圆相切;设过点且斜率存在的圆的切线方程为:,即,则圆心到直线的距离,即,该切线方程为:,即;综上所述:所求切线方程为或.故答案为:或.16.直线交椭圆于两点,若,则的值为 .【答案】12【分析】联立直线和椭圆的方程得到,得到韦达定理,由得到,解方程即得解.【详解】由得,所以,又, 所以,因为,所以,故.故答案为:12【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查弦长的计算和应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 五、解答题17.在平面直角坐标系中,直线与直线相交于点Q.(1)求交点Q的坐标;(2)若直线l经过点Q,且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.【答案】(1);(2)或. 【分析】(1)联立直线方程,求出交点坐标;(2)分截距为0和截距不为0两种情况,设出方程,代入点Q坐标,求出直线方程.【详解】(1)联立直线与直线,得到,解得:,则;(2)①当截距为0时,直线l过原点,设,将代入,则,这时直线l为x-2y = 0; ②当直线l截距都不为0时,设,将代入,则m = 3,故直线为.综上,直线l的方程为:或.18.已知圆心在直线x+y-1=0上,且过点的圆与直线3x-4y+5=0相切,其半径小于5.(1)求圆的方程;(2)若圆与圆关于直线x+2y-2=0对称,求圆的方程.【答案】(1);(2). 【分析】(1)根据给定条件,设出圆的坐标,再借助经过的点及切线方程列出方程求解作答.(2)求出圆心关于直线x+2y-2=0对称点坐标,即可求出圆的方程作答.【详解】(1)由圆心在直线x+y-1=0上,设点,又圆过点,且与直线3x-4y+5=0相切,则,整理得,解得或,因为圆的半径小于5,则有a=2,即,圆的半径,所以圆的方程为.(2)设圆的圆心,因圆与圆关于直线x+2y-2=0对称,则有,解得,即点,而圆的半径等于圆的半径3,所以圆的方程为.19.已知椭圆,,是C的左、右焦点,过的动直线l与C交于不同的两点A,B两点,且的周长为,椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上,(1)求椭圆的方程;(2)已知点,证明:为定值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)由得到其准线为,进而得到椭圆的半焦距,再根据的周长为得到a求解;(2)①当直线斜率不存在时,的方程为,代入椭圆方程求得点M,N的坐标,验证即可;②当直线斜率存在时,设直线的方程为,与椭圆方程联立,结合韦达定理求解.【详解】(1)解:由可得准线为,所以椭圆的左焦点,所以椭圆的半焦距,因为的周长为,所以,故.所以,所求椭圆的方程为.(2)如图所示: ①当直线斜率不存在时,的方程为,将代入可得,所以,,此时,,则, ②当直线斜率存在时,设直线的方程为,设,,由,得,则,,,,所以,,,,综上所述,为定值,且定值为.【点睛】易错点点睛:本题第二问题在设直线方程时,往往忽视斜率不存在的情况,一般来讲,给一个点,设直线方程时用点斜式,分两种情况,一是斜率不存在时,二是斜率存在时求解.20.已知双曲线E的两个焦点分别为,并且E经过点.(1)求双曲线E的方程;(2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点,求直线l的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】(1)根据双曲线的焦距及过点列出方程求解方程即可;(2)分直线斜率存在,不存在讨论,当斜率存在时,利用直线与双曲线方程组有且只有一解求斜率即可.【详解】(1)由已知可设双曲线E的方程为,则,解得,所以双曲线E的方程为.(2)当直线l的斜率不存在时,显然不合题意,所以可设直线l的方程为,如图, 联立,得(*),①当,即或时,方程(*)只有一解,所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点,此时,直线l的方程为;②当,即时,要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点,则,解得,此时,直线l的方程为.综上所述,直线l的方程为或.21.已知椭圆,以及椭圆内一点.(1)求以点M为中点的弦所在直线的方程;(2)若P是椭圆C上的点,为左右焦点,,求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】(1)设弦的两个端点为,再根据点差法求解即可;(2)根据椭圆的定义,结合余弦定理与三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)设弦的两个端点为,由题知斜率存在所以,由①-②得,,即,因为为线段的中点,所以,所以,所以:,即;(2)由题意,,且,故,又由余弦定理,故,解得,故的面积22.已知动圆P过点且与直线相切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若A,B是曲线C上的两个点,且直线AB过的外心,其中O为坐标原点,求证:直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】(1)设点,利用已知条件列等式求曲线C的方程;(2)直线AB过的外心,有,设直线的方程,与曲线C的方程联立方程组,利用韦达定理求未知系数,证明直线过定点.【详解】(1)设点,则=,平方并整理得,∴曲线C的方程为.(2)证明:由题意可知直线的斜率一定存在,否则不与曲线C有两个交点. 设的方程为,,联立得,其中,则, ,由,得, .∴.∵直线过的外心,∴.∴·,即,解得或(舍去).当时,满足.∴直线的方程为,∴直线过定点.
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