2023-2024学年福建省连城县第一中学高二上学期8月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省连城县第一中学高二上学期8月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省连城县第一中学高二上学期8月月考数学试题 一、单选题1．数列的一个通项公式为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分子、分母和正负号的变化即可得出通项公式.【详解】解：由题意，在数列中，分母是以2为首项，2为公比的等比数列分子是以3为首项，2为公差的等差数列，∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数，∴比例系数为∴数列的一个通项公式为：故选：C.2．在数列中，，，若，则（    ）A．675 B．674 C．673 D．672【答案】A【分析】首先判断数列为等差数列，再代入通项公式，即可求解.【详解】由题意可知，，所以数列是公差为3的等差数列，，得.故选：A3．在等差数列中，，，则数列的公差为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】将已知条件转化为的形式，由此求得.【详解】在等差数列中，设公差为d，由，，得，解得.故选：B4．记等比数列的前项和为，若则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】由等比数列的性质可得，即，解得.故选:C5．记等差数列{}的前n项和为，若，，则=A．34 B．35 C．68 D．70【答案】B【分析】由题意可得进而可得，而，代入即可得答案．【详解】，又故，得，则=故选:B【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，熟记公式准确计算是关键，属基础题．6．设等比数列的前n项和为，若，则数列的公比的值为（    ）A． B．1 C．或1 D．或1【答案】D【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和公式运算求解，注意讨论公比是否为1.【详解】当时，，符合题意；当时，则，所以，即，即，解得；综上所述：或，即数列的公比的值为或1.故选：D.7．已知数列中，，，则能使的n的值可以为（    ）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【分析】通过数列递推公式的迭代，可发现数列的周期性，则选项可定.【详解】因为，，所以，，，如此迭代下去，可知数列的周期为3，又所以，，故选：B.8．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数构成数列，记为该数列的第项，则（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】根据归纳推理以及等差数列的求和公式化简计算即可.【详解】由题意，，，，…则，故选：B 二、多选题9．在等比数列中，公比，是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．数列是等比数列 D．数列是公差为2的等差数列【答案】BC【分析】利用已知结合等比数列的通项公式求公比，进而写出通项公式、前n项和公式，结合各选项判断正误即可.【详解】由题设，，即，由可得：，∴，，∴且公差为；且.综上，A、D错误，B、C正确.故选：BC10．下列命题中，正确的有（    ）A．数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件B．数列的通项为，若为单调递增数列，则C．等比数列中，，是方程的两根，则D．等差数列，的前n项和为分别为，，若，则【答案】AD【分析】对A：根据等比数列的定义结合充分、必要条件分析判断；对B：根据数列递增数列的定义分析判断；对C：根据等比数列的通项公式结合等比数列的下标性质分析判断；对D：根据等差数列前n项和公式分析判断.【详解】A：因为当时，显然数列不可能是等比数列，但是是公比为2的等比数列一定有成立，因此选项A正确；B：因为为单调递增数列，所以有，因为函数是减函数，所以，因此选项B不正确；C：因为在等比数列中，设公比为 ，，是方程的两根，所以有，于是有，而，所以，因此选项C不正确；D：因为等差数列，的前n项和为分别为，，所以由，因此选项D正确，故选：AD11．设等差数列的前n项的和为，公差为d．已知，，，则（    ）A． B．C．与均为的最大值 D．当时，n的最小值为13【答案】ABD【分析】通过数列的性质可将化为，结合，则选项A可判定；由，，，，通项公式构建公差的不等式组， 则选项B可判定； 等差数列中，，可知的最大值为，则选项C可判定；将，转化为前n项的和的正负，即可判定D选项.【详解】等差数列中，则，即，所以由等差数列的性质可得，又，所以，故A正确；已知，，，，所以，，，解得，故B正确；等差数列中，，可知的最大值为，故C错误；等差数列中，所以，继而可得，又，故D正确.故选: ABD.12．对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”．已知数列的“匀称值”为，前n项和为，则下列关于数列的描述正确的有（    ）A．数列为等差数列 B．数列为递减数列C． D．记，则数列有最大项【答案】ACD【分析】由新定义可得，利用该递推关系求出数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由已知可得，所以，所以时，，得时，，即时，，当时，由知，满足．所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，显然该等差数列是递增数列，所以B不正确，所以，所以故，故C正确．，假设是最大项，则有，因此数列有最大项，故D正确，故选：ACD．【点睛】关键点睛：运用所给的定义，结合等差数列的定义是解题的关键. 三、填空题13．在等比数列中，如果，，那么          ．【答案】128【分析】先设等比数列中可设公比为，再通过，求出，继而的值可求.【详解】等比数列中可设公比为，则,所以.故答案为：128.14．设等比数列的前n项和为，若，则      .【答案】【分析】根据数列前n项和求出数列的前3项，然后利用等比中项性质求解验证即可.【详解】根据题意，等比数列中，有，则，，，因为是等比数列，则有，解得.当时，，当时，则；当时，则，也满足；故，符合题意.故答案为：. 四、双空题15．已知函数，则对任意实数x都有          ；且          ．【答案】     1     1011【分析】通过可先求出,接着可求的值;再用倒序相加法可求的值.【详解】，，，,,令，则，两式相加可得；，解得故答案为：1；1011. 五、填空题16．数列的前n项和为，且，，则满足的最小的自然数n的值为          ．【答案】【分析】对递推公式进行变形构造等比数列，根据等比数列前n项和公式、比较法进行求解即可.【详解】，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，因此，所以，设，所以数列是单调递增数列，因此有，即，所以数列是单调递增数列，而，，因此满足的最小的自然数n的值为，故答案为：【点睛】关键点睛：利用差比法判断数列的单调性是解题的关键. 六、解答题17．已知是等差数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.【分析】（1）利用公式，进行求解；（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.【详解】（1）由题意可知：，当时，，当时，，当时，显然成立，∴数列的通项公式；（2），由，则时，取得最大值28，∴当为4时，取得最大值，最大值28．【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.18．设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．【答案】（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣1 2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【详解】试题分析：（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2="2×q+4" 解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q="2" ∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题． 19．我县2019年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，我县每年新建住房面积平均比上一年增长8％．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底，(1)我县历年所建中低价房的累计面积（以2019年为累计的第一年）将首次不少于2250万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％？（参考数据：，）【答案】(1)2024年年底(2)2024年年底 【分析】（1）根据题意可知中低价房的面积构成等差数列，根据等差数列前项和公式即可求得结果；（2）易知新建住房面积构成等比数列，求出其通项公式再根据比例关系利用参考数据化简即可求得结果.【详解】（1）设中低价房的面积构成数列，由题意知是等差数列，且，公差，则累计面积，令，即，又，解得．故到2024年年底，我县历年所建中低价房的累计面积将首次不少于2250万平方米．（2）设新建住房面积构成数列，由题意知是等比数列，且，公比，则该年建造住房面积，由（1）知当年建造的中低价房的面积，由题意知，即，即，由，，即当时，，，所以，当时，，，则，则满足上述不等式的最小正整数，故到2024年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％．20．已知数列的前n项和为，满足，且是2与的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等差中项的性质，结合前n项和的性质、等比数列的定义进行求解即可；（2）根据n的奇偶性，分类讨论进行求解即可.【详解】（1）因为是2与的等差中项，所以，①当时，，②①－②得：，∴，又，∴是以2为首项，2为公比的等比数列．∴；（2）因为，当n为偶数时，．当n为奇数时，，综上所述：数列的前n项和为．21．已知数列中，，，数列满足．(1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析，(2) 【分析】（1）可以直接利用等差数列的定义结合题中条件进行证明和求解；也可以对题中条件，进行变化得到，进而，即可证明和求解.（2）首先得到数列的通项公式，利用错位相减法进行求和.【详解】（1））法一：取数列的任意相邻两项与，∴．又，且，∴，∴是以为首项，为公差的等差数列．∴．法二：∵，∴，∴，∴，∵，即，又∵，∴，∴是以为首项，为公差的等差数列．∴．（2）由（1）得，∴，∴，①∴，②①－②得：，所以．22．已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，．(1)求与的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)(3) 【分析】（1）利用等差和等比数列通项公式可构造方程组求得，由此可得；（2）采用分组求和的方式，根据等比数列求和公式和裂项相消法可求得；（3）将恒成立的不等式转化为，令，利用作差的方式可求得的单调性，得到，由此可得的取值范围.【详解】（1）设等差数列的公差为，由得：，又，，，.（2）由（1）得：，.（3）由（2）得：对任意的，恒成立，对任意的，恒成立；令，则；则当时，；当时，；，，即实数的取值范围为.