2023-2024学年福建省永春县第一中学高二上学期8月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省永春县第一中学高二上学期8月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省永春县第一中学高二上学期8月月考数学试题 一、单选题1．对于实数，“”是“”的（    ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据，得到答案.【详解】，但，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A2．在空间直角坐标系中，点与两点的位置关系是（　　）A．关于轴对称B．关于平面对称C．关于坐标原点对称D．关于平面对称【答案】C【分析】根据空间点的坐标的概念逐项分析可得答案.【详解】关于轴对称的两个点的纵坐标相等，故A不正确；关于平面对称的两个点的横坐标相反，纵坐标、竖坐标都相等，故B不正确；关于坐标原点对称的两个点的横坐标、纵坐标、竖坐标都是相反数，故C正确；关于平面对称的两个点的纵坐标相反，横坐标、竖坐标相等，故D不正确.故选：C3．若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（    ）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据复数的几何意义确定其在复平面上的点的坐标，由象限列不等式即可得的取值范围.【详解】复数对应的点为在复平面内位于第四象限则，解得.故选：C.4．某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，测得它们的直径长度（单位：）如下：9、8.7、8.6、8.5、8.5、8.5、8.4、8.3、8.3、8.2、8.1、8，那么在这组数据中，的珍珠直径长度都小于或等于（    ）A．8.6 B．8.55 C．8.25 D．8.2【答案】A【分析】根据百分位数计算即可判定.【详解】由题意可得这12组数据的第80百分位数为：，这组数据从小到大排序可知第10个数为8.6，即的珍珠直径长度都小于或等于8.6，故选：A5．设函数，若，则（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据分段函数，先由得，由代入分段函数可得.【详解】由题意，因，所以，故选：C6．，，，若，，共面，则实数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空间向量共面的充要条件：存在唯一的实数对，使，列出方程组，即可求出的值．【详解】向量，，，若向量，，共面，则存在唯一的实数对，使，即，解得， 实数的值为．故选：D7．如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，记，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，∠APC为钝角等价于，即,从而可求λ的取值范围.【详解】由题设，建立如图所示空间直角坐标系：则有，，，，显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于， ，，得，因此，λ的取值范围是,故选：B【点睛】本题主要考查了利用空间向量求向量的夹角，解一元二次不等式，属于中档题.8．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.【详解】变形为：，即在上恒成立，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图像，  要想满足在上恒成立，只需，即，解得：，综上：实数a的取值范围是.故选：C 二、多选题9．在平行六面体中，下列各式中运算的结果为向量的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】作出平行六面体，结合空间向量的线性运算化简即可.【详解】解:如图所示：  A中，；B中，；C中，，D中，．故选:ABC．10．已知，，，下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ）A．若，，，则B．以，为邻边的平行四边形的面积是C．若，夹角为钝角，则D．若，则，夹角为锐角【答案】BD【分析】利用向量垂直和模长条件判断A选项，根据三角形面积公式判断B选项，根据空间向量夹角与数量积的关系判断C选项和D选项.【详解】对于A：设 由，同理：，，得或.故A错误.对于B：平行四边形的面积:故B正确.对于C：若，夹角为钝角,. 当与夹角为时，，故. 故C错误.对于D：时，，且与夹角不为0，故，夹角为锐角.故D正确.故选：BD11．已知函数的部分图像如图，下列结论正确的有（    ）  A．是函数的一条对称轴B．函数为奇函数C．函数在为增函数D．函数在区间上有个零点【答案】ACD【分析】由图分别计算值，从而得，代入点计算可得值，从而得函数的解析式，利用三角函数的性质对选项逐一计算分析即可得答案.【详解】由图可知，，，得，所以，，得，因为，所以，所以得，则，所以是函数的一条对称轴，故A正确；函数，所以函数为偶函数，故B错误；，得，所以函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为，所以函数在上为增函数，故C正确；当时，即，得，因为，可得的取值是，函数在区间上有个零点，故D正确；故选：ACD12．一个装有6个小球的口袋中，有编号为1，3的两个红球，编号为2，4的两个蓝球，编号为5，6的两个黑球．现从中任意取出两个球，设事件A＝“取出的两球颜色相同”，B＝“取出的两球编号之差的绝对值为1”，C＝“取出的两球编号之和为6或7”，D＝“取出的两球编号乘积为5”，则下列说法正确的是（    ）．A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件C相互独立C．事件B与事件C相互独立 D．事件B与事件D互斥【答案】ABD【分析】列出6个小球任意取出两个球的全部结果，从而可以求解事件的概率，再结合互斥事件与独立事件的定义即可判断.【详解】根据题意可知，6个小球任意取出两个球，共有15种可能，分别为. 事件包含3种可能，即；事件包含5种可能，即；事件包含5种可能，即；事件包含1种可能，即. 事件分别为 各1种可能，对于A，，A对；对于B，，B对；对于C，，错；对于D，事件与事件不能同时发生，故事件与事件互斥，对.故选：ABD. 三、填空题13．若扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为         .【答案】【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的半径.【详解】设扇形的半径为，则该扇形的面积为，解得，故该扇形的半径为.故答案为：.14．与共线的单位向量是           .【答案】或【分析】根据直接求解即可.【详解】，，即或.故答案为：或15．已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为     .【答案】【分析】根据空间中点到直线的距离公式求解即可.【详解】∵，，∴，又，∴，∴，又，∴点P到直线l的距离为.故答案为:.16．已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作．若，，，则三棱锥的表面积为        ．【答案】【分析】根据题意，结合正四面体的表面积公式计算即可.【详解】由题意可知，，则，同理可得，，，同理可得，即三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为．故答案为：. 四、解答题17．已知点，，，设，．(1)求，夹角的余弦值．(2)若向量，垂直，求的值．(3)若向量，平行，求的值．【答案】(1)(2)或.(3) 【分析】（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值.（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.（3）利用共线向量定理可求参数的值.【详解】（1），，故.（2）由（1）可得，，因为向量，垂直，故，整理得到：，故或.（3）由（1）可得不共线，故，均不为零向量，若向量，平行，则存在非零常数，使得，整理得到：，因为不共线，故，故或，故.18．在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求的值；(2)若，，求的面积.【答案】(1)3(2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系以及两角和的正弦公式化简，即可得答案；（2）由正弦定理边角互化可得，再利用余弦定理可求得，利用三角形面积公式即得答案.【详解】（1）由于，故，所以，即，而，故，即；（2）由（1）可知，故，因为，，故，即得，又，A为三角形内角，故，故的面积为.19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．(1)求证：平面MBD；(2)若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求得和平面AMD的法向量，由向量夹角的计算公式，可得答案.【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接OM，由四边形ABCD为矩形，可知O为AC中点，M为PC中点，所以，又平面，平面，所以平面MBD.（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则 ，所以，设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．20．如图，二面角的大小为，四边形与均为正方形，，，记．  (1)请用表示，并求；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用向量的线性运算表示，然后利用向量数量积的公式求出即可；（2）利用向量的模长公式求出，然后利用向量数量积的公式求出两个向量夹角的余弦值即可.【详解】（1）由已知得：，，∴，∴（2）四边形与均为正方形，平面平面,所以即二面角的大小为，且∴，∴===，∴异面直线AB与PQ所成角的余弦值为．21．如图，四边形中，，，设．（1）若面积是面积的倍，求;（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设，根据，；利用三角形的面积公式即可求解.（2）在中，利用正弦定理可得，在中，，两式作商即可求解.【详解】解：（1）设，则，，，由题意，则，所以.（2）由正弦定理，在中，，即①在中，，即②②÷①得：，，化简得，所以.22．如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．  (1)若，求证：平面平面；(2)是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明结论；（2）假设存在，使得直线平面，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面平面的法向量，则求出的坐标，由可得，此方程组无解，即可得出结论.【详解】（1）证明：若，则平面、平面为同一个平面，连接，则M是中点，是中点，  故是的中位线，所以．因为，所以平面四边形是平行四边形，所以．又平面平面，所以平面同理平面，且平面平面，所以，平面平面．（2）假设存在，使得直线平面．以C为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，故．设是平面的法向量，则，所以，取，得是平面的一个法向量，    取中点P，中点Q，连接，则．于是是二面角的平面角，是二面角的平面角，是二面角的平面角，于是，所以，且平面，故，同理，所以，因为，，所以．若直线平面，是平面的一个法向量，则．即存在，使得，则，此方程组无解，所以，不存在，使得直线平面．【点睛】关键点点睛：是否存在，使得直线平面，明确点线面的位置关系，建立空间直角坐标系后，关键点在于确定，并结合三角恒等变换化简，从而结合向量的共线的坐标表示，判断结论.