2023-2024学年福建省三明市第一中学高二上学期8月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省三明市第一中学高二上学期8月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省三明市第一中学高二上学期8月月考数学试题 一、单选题1．已知点，，则直线的倾斜角是(　　)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据斜率公式以及定义即可求出．【详解】因为，设直线的倾斜角是，所以且，．故选：B．2．已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为（    ）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】先求出直线的斜率，由点和点到直线的距离相等，且过点，得到直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为（过线段中点），由此能求出直线的方程.【详解】解：∵点和点，∴，∵点和点到直线的距离相等，且l过点，∴直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为（过线段中点），∴直线的方程为：，或，整理得：或.故选：A.【点睛】本题考查求直线方程，考查点到直线的距离问题，利用平行或过线段的中点求解直线方程，属于基础题．3．若直线与直线互相平行，则的值是（    ）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】因为直线与直线互相平行，则，解得.故选：A.4．圆与圆内切，则实数的值为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由圆内切得即可解决.【详解】由题知，所以，因为圆与圆内切，所以，即，因为，所以，故选：C.5．设x，，向量，，且，，则（    ）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】根据，，解得x，y，然后由空间向量的模公式求解.【详解】因为向量，，且由得，由，得 解得，所以向量，，所以，所以故选：C6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长等于a，则的值为（    ）A．a2 B．2a2 C．3a2 D．a2【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示、数量积的坐标表示计算判断作答.【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系，如图所示，  则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)，=(-a，a，a)，=(-a，0，a)，所以＝a2+0+a2＝2a2．故选：B7．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】利用的几何意义可求其最小值.【详解】，它表示与直线的动点连线段的长，其最小值为到直线的距离.又该距离为，故选：A.【点睛】关键点点睛：对于带根号的代数式，如果根号下是平方和的形式，我们一般可利用其表示的几何意义-距离来求最值，这体现了数形结合的数学思想.8．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，当直线时，， ，此时最小．∴即 ，由解得， ．所以以为直径的圆的方程为，即 ，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 二、多选题9．已知直线：，，，则下列结论错误的是（    ）A．直线恒过定点 B．当时，直线的倾斜角为C．当时，直线的斜率不存在 D．当时，直线与直线平行【答案】ACD【分析】由直线的斜率和倾斜角，直线的位置关系对选项逐一判断，【详解】对于A，当时，，直线恒过定点，故A错误，对于B，当时，直线的斜率为，倾斜角为，故B正确，对于C，当时，直线的斜率为0，故C错误，对于D，当时，直线经过，两点，故直线与直线重合，故D错误，故选：ACD10．已知圆，则下列说法正确的是（    ）A．直线与圆A相切B．圆A截y轴所得的弦长为4C．点在圆A外D．圆A上的点到直线的最小距离为3【答案】BC【分析】根据圆心到直线的距离即可判断AD,根据圆的弦长可判断B,根据点与圆的位置关系可判断C.【详解】由圆得，所以圆心，半径，对于A：圆心A到直线的距离为1，所以直线与圆A相交，故A错误；对于B：圆心A在y轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B正确；对于C：点到圆心A的距离，所以点B在圆A外，故C正确；对于D：圆心A到直线的距离，所以圆A上的点到直线的最小距离为，故D错误．故选:BC．11．在正方体中，为的中点，在棱上，下列判断正确的是（    ）A．若平面，则为的中点B．平面平面C．异面直线与所成角的余弦值为D．若，则【答案】ABD【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为，进而根据坐标法依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为，所以，，，，，， 对于A选项，所以， 设是平面的法向量，则，即，故令，则，所以，解得，此时为的中点，故A选项正确；对于B选项，设是平面的法向量，由于，，则，即，令得，由于所以，所以平面平面，故B选项正确；对于C选项，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故C选项错误；对于D选项，若，则，故D选项正确.故选：ABD12．过原点的直线l与圆M：交于A，B两点，且l不经过点M，则（    ）A．弦AB长的最小值为8B．△MAB面积的最大值为C．圆M上一定存在4个点到l的距离为D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线上【答案】ABD【分析】A选项，由圆的几何性质得到当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值，从而由垂径定理求出答案；B选项，由三角形面积公式得到，设是中点，研究得到始终为钝角，且当点与原点重合，取得最小值，由二倍角公式和同角三角函数关系得到此时，结合在上单调性，求出面积最大值即可；C选项，举出反例；D选项，设出，求出四点所在圆的方程，从而求出切点弦方程，结合直线AB过原点，将原点代入后得到满足的方程.【详解】对A，变形为，圆心M为，半径，因为，故原点在圆内，故当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值，其中，故，A正确；对B，由三角形面积公式得：设是中点，故，当点与原点重合，弦长AB最短，取得最小值，此时，，故，此时.由求得取得最小值时为钝角，所以始终为钝角，因为在上单调递减，所以当时，面积取得最大值，最大值为，B正确；对C，当弦AB与直线垂直时，圆心M到直线l的距离为，由于半径为，所以在直线l的左上方有2个点到直线l的距离为，在直线l的右下方，只有1个点到直线l的距离为，此时圆M上存在3个点到l的距离为，C错误；对D，设，则四点共圆，且MP为直径，其中线段MP的中点坐标为，即圆心坐标为，半径为，故四点所在圆的方程为：，化简得：①，②，①－②得：，则直线AB的方程为，又因为直线AB过原点，将原点代入得：，故A，B两点处圆的切线的交点位于直线上，D正确.故选：ABD【点睛】已知圆的方程为，为圆上一点，则过点的切线方程为：；若为圆外一点，则表示切点弦所在方程. 三、填空题13．过点且与直线垂直的直线方程为           .【答案】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线的斜率为，故所求直线方程为，即.故答案为：.14．已知空间向量，，共面，则实数的值为      ．【答案】【分析】利用空间向量共面的条件，设实数，满足，列出方程组求出的值.【详解】，，共面，存在实数，满足，则， ，，．故答案为：15．若，，，则的形状是      ．（选填：锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）【答案】锐角三角形【分析】利用空间中两点间的距离公式可知，中，边最长，内角最大，求出，可判断出为锐角，即可得出结论.【详解】因为，，，则，，，所以，，，，所以，中，边最长，内角最大，所以，，显然、不共线，故为锐角，故为锐角三角形.故答案为：锐角三角形. 四、双空题16．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点满足．若点在平面ABCD内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为        ；若点在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则三棱锥的体积的最小值为        ．【答案】          【分析】以AB为轴，AD为轴，为轴，建立如图所示的坐标系，设，求出点的轨迹为，即得点所形成的阿氏圆的半径；②先求出点的轨迹为，到平面的距离为，再求出的最小值即得解三棱锥的体积的最小值.【详解】①以AB为轴，AD为轴，为轴，建立如图所示的坐标系，则，设，由得，所以，所以若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为.②设点，由得，所以，由题得所以，设平面的法向量为，所以，由题得，所以点到平面的距离为，因为，所以，所以点M到平面的最小距离为，由题得为等边三角形，且边长为，所以三棱锥的体积的最小值为.故答案为： ，. 五、解答题17．已知，．(1)求；(2)当时，求实数的值．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据数量积得运算律结合数量积的坐标公式计算即可；（2）由，得，再根据数量积得运算律结合数量积的坐标公式计算即可.【详解】（1）已知，，则，，，所以；（2）因为，所以，解得或．18．已知的顶点，，边BC的垂直平分线所在直线方程为.(1)求边BC所在直线方程；(2)求的面积.【答案】(1)(2)3 【分析】(1)根据给定条件求出直线BC的斜率，再借助直线的点斜式方程即可得解.(2)利用(1)的结论求出点B的坐标，再求出点C到直线AB的距离即可求得的面积.【详解】（1）因直线的斜率为1，而直线是边BC的垂直平分线，则直线BC的斜率为-1，即有直线BC方程为：，即，所以边BC所在直线方程为：.（2）由(1)知，直线BC：，则由得，于是得线段BC与其垂直平分线交于点，显然，点是线段BC的中点，而，于是得点,因此，直线AB方程为：x=1，且，点到直线AB的距离为h=2，从而得，所以的面积是3.19．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【详解】（1），因为，同理可得，所以（2）因为，所以，因为，所以．所以异面直线与所成角的余弦值为．20．已知圆心为C的圆经过三个点、、．求圆C的方程；若直线l的斜率为，在y轴上的截距为，且与圆C相交于P、Q两点，求的面积．【答案】（1）；（2）.【分析】设所求圆的方程为，将、、代入，列方程组求解即可；由圆的方程求得圆心坐标为，半径为，利用斜截式求得直线方程为，即，利用点到直线距离公式，结合勾股定理求得弦长，根据三角形面积公式可得结果．【详解】设所求圆的方程为，则，解得，，．圆C的方程为；圆的圆心坐标为，半径为．直线l的方程为，即．圆心到直线l的距离，．的面积．【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.21．正三棱柱中，为的中点，点在上.  (1)证明：平面；(2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出长度，再求以为顶点的四面体体积.【详解】（1）正三棱柱，则平面，又平面，，又为的中点，则，、平面，，平面（2）  由题意，为正三角形，为的中点，，如图建立空间坐标系，由（1）易知平面法向量，设则，，，则，设平面的法向量为，则，取，则，由题意，解得或（舍去），，点到平面距离为1，以为顶点的四面体体积为.22．如图，圆：，点为直线：上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，.（1）若，求切线所在直线方程；（2）若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算得到答案.（2）利用圆心到直线的距离等于半径得到，根据韦达定理得到，，，代入数据计算得到答案.【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即，则圆心到切线的距离，解得或，故所求切线方程为，；（2）设切线方程为，即，，的斜率为，，故圆心到切线的距离，得，∴，，在切线方程中令可得，故，∴，此时，故的最小值为.【点睛】本题考查了切线方程，长度的最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.