2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高二上学期12月月考数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．经过点和点的直线的斜率和倾斜角，则有（    ）

A．，是 B．，是

C．，是 D．，是

【答案】A

【分析】根据直线上两点的坐标，得到斜率.根据，可求得倾斜角.

【详解】由已知得，，

又，即，，

所以，.

故选：A.

2．设向量，，不共面，空间一点P满足，则A，B，C，P四点共面的一组数对是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题设条件可知，A，B，C，P四点共面等价于，由此对选项逐一检验即可.

【详解】因为向量，，不共面，，

所以当且仅当时，A，B，C，P四点共面，

对于A，，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D错误.

故选：B.

3．已知直线与直线平行，则实数的值是（    ）

A． B．或0 C．0 D．

【答案】A

【分析】首先判断直线是否存在斜率，根据斜率相等求出参数值，检验是否重合.

【详解】当时，两直线都为，重合，故舍去；

当时，由两直线平行，得到，解得，

经检验，两直线不重合，成立，

综上，实数的值是．

故选A．

4．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，，……，遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意给的定义，结合图形，分别求出a、b、c、d的值即可比较大小.

【详解】对于正四面体，其离散曲率为，

对于正八面体，其离散曲率为，

对于正十二面体，其离散曲率为，

对于正二十面体，其离散曲率为，

则，

所以.

故选：B.

5．已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据共渐近线的双曲线的设法，结合题意分析求解．

【详解】渐近线方程为的双曲线为，即，故，故，

故选：C．

6．阿波罗尼斯研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到，的距离之比为，则点C到直线的最小距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，依题意求出点的轨迹方程，进而可求点到直线的距离的最小值．

【详解】解：由题意，设，由，，

因为，所以，即，

所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆，

又点到直线的距离，

所以点到直线的距离的最小值为．

故选：A．

7．某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆（如图所示）若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆的半径为r，，，，由离心率求得，从而可得∠BAM的余弦值，得角的大小．

【详解】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆的半径为r，

则，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

故选：B．

8．祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.满足的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，由曲线，，围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则､满足以下哪个关系式（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出曲线在第一想象内的图象进行分析：当双曲线方程为：，高度为时，双曲线与渐近线旋转一周所形成的图形是圆环，计算可得圆环的面积为定值，进而由由祖暅原理知等轴双曲线与渐近线绕轴旋转一周所形成的几何体体积，与底面半径为，高为的圆柱体体积一致，而满足的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体为球体，体积为，通过分析计算可得，，进而可得，从而得解.

【详解】如图可知：当双曲线方程为：，高度为时，

双曲线与渐近线旋转一周所形成的图形是圆环，

其中小圆环的半径即是，所以小圆面积为：，

而大圆半径可以由：求出，即：，

所以大圆的面积为：，

所以圆环的面积为：，为定值，

所以由祖暅原理知等轴双曲线与渐近线绕轴旋转一周所形成的几何体体积，

与底面半径为，高为的圆柱体体积一致，

而球体体积，

所以，.

故选：B.

二、多选题

9．已知圆与圆相内切，则r等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】先求出两圆的圆心和半径，再由题得解方程即得解.

【详解】由题得圆的圆心为半径为5；

圆的圆心为，半径为；

由题得.

故选：AC

【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

10．在空间直角坐标系中，已知向量（其中），定点，异于点的动点，则以下说法正确的是（    ）

A．若为直线的方向向量，则

B．若为直线的方向向量，则

C．若为平面的法向量，面经过和P，则

D．若为平面的法向量，面经过和P，则

【答案】AD

【分析】由直线的方向向量、平面法向量的概念求解判断．

【详解】直线是直线的一个方向向量，，为直线的方向向量，则，A正确 ，B错误，

在平面内，为平面的法向量，则，

所以，C错误D正确．

故选：AD．

11．已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（    ）

A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆

B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆

C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆

D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线

【答案】BD

【分析】设设点P的坐标为，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，同号时相等与否分类讨论.

【详解】设点P的坐标为，则，所以.

当时，，即，加上A，B两点表示焦点在y轴上的椭圆，故A错误.

当时，，加上A，B两点表示圆心在原点的圆，故B正确.

当时，，加上A，B两点表示焦点在x轴上的椭圆，故C错误.

当时，，加上A，B两点表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确.

故选：BD

12．《九章算术》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），已知该正方体棱长为，下列命题正确的是（    ）

A．正方体的外接球中存在一条直径被截面和截面三等分

B．正方体的内切球体积大于该牟合方盖的内切球的体积

C．正方体的内切球被平面截得的截面面积为

D．以正方体的顶点为球心，为半径的球在该正方体内部部分的体积与正方体的棱切球的体积之比为

【答案】AD

【分析】利用线面垂直的判定定理结合等体积法可判断A选项；分析可知正方体的内切球与牟合方盖也相切，可判断B选项；计算出正方体的内切球被平面截得的截面面积，可判断C选项；计算出以正方体的顶点为球心，为半径的球在该正方体内部部分的体积与正方体的棱切球的体积，可判断D选项.

【详解】对于A选项，为正方体的外接球的一条直径，且，

因为四边形为正方形，则，

平面，平面，则，

，平面，

平面，则，同理可证，

，所以，平面，

设交平面于点，则平面，

因为，

易知是边长为的等边三角形，则，

由，所以，，

设交平面于点，同理可知，所以，，

所以，正方体的外接球的直径被截面和截面三等分，A对；

对于B选项，因为正方体的内切球与正方体的两个内切圆柱的侧面和底面都相切，

又因为牟合方盖与的两个顶点和侧面四个曲面刚好与正方体的侧面相切，

故正方体的内切球内切于牟合方盖，

所以，正方体的内切球体积等于该牟合方盖的内切球的体积，B错；

对于C选项，由A选项可知，平面，且，

易知正方体的内切球球心为的中点，且，

所以，，

而正方体的内切球半径为，

所以，正方体的内切球被平面截得的截面圆半径为，

所以，截面面积为，C错；

对于D选项，以正方体的顶点为球心，为半径的球在该正方体内部部分的体积恰为该球体积的，即为，

正方体的棱切球半径为，

所以，正方体的棱切球的体积为，

因此，所求体积之比为，D对.

故选：AD.

三、填空题

13．已知抛物线的准线方程为，则实数         ．

【答案】

【分析】将抛物线化为标准形式，则其准线为.

【详解】由可得，则其准线为：，得.

故答案为：

14．正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有      种不同选法

【答案】12

【分析】正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况.

【详解】

从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况，

所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次，

综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种.

故答案为：12

15．已知抛物线，其焦点为点，点是抛物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为           .

【答案】/

【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解，

【详解】直线化为，得直线过定点，记为点，

过点做直线的垂线，垂足为，

，

故点的轨迹是以为直径的圆，半径，其圆心为的中点，记为点，

在抛物线上，其准线为等于到准线的距离.

过作准线的垂线，垂足为.要使取到最小，即最小，

此时三点共线，且三点连线后直线过圆心.如图所示，

此时.

故答案为：

16．已知空间向量，是相互垂直的单位向量，若向量满足，，则的最小值是          ．

【答案】3

【分析】利用空间向量的坐标运算即可求解.

【详解】分别以，为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，

则

设，则，

，所以，

所以，所以，

所以，

所以当，时，取得最小值3．

故答案为：3.

四、解答题

17．已知圆过三点，，．

(1)求圆的方程；

(2)设直线经过点，且与圆G相切，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)利用三点坐标可确定圆方程;(2)利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解.

【详解】（1）设圆G的方程为，

因为圆过三点，，，

所以 ，解得,

圆G的方程为.

（2）由(1)知圆是以为圆心，以为半径的圆，

（i）若直线的斜率不存在，

则此时的方程为到圆心的距离为，满足与圆相切;

（ii）若直线的斜率存在，

则设直线方程为 即，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，

解得,所以切线方程为.

综上，切线方程为或.

18．如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为菱形，，．

(1)求到平面的距离；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）连接BD交AC于点O，以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求点到平面的距离即可；

（2）利用向量法求解线面角即可

【详解】（1）连接BD交AC于点O，

因为四边形ABCD为菱形，，，

所以，，．

以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，

则，，，，

设平面的一个法向量，则 ，

令，则，，故．

所以点到平面的距离

（2）设直线与平面所成角的大小为，

则．

所以直线与平面所成角的正弦值为

19．已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由椭圆的定义求解，

（2）由点差法得直线斜率后求解，

【详解】（1）由题可知，

则

由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点，且长轴长为的椭圆，

∴，∴

∴的轨迹方程为：

（2）设,∵ 都在椭圆上，

∴  ，，相减可得，

又中点为，∴ ，

∴  ，即直线的斜率为，

∴直线的方程为，即,

因为点在椭圆内，所以直线与椭圆相交于两点，满足条件.

故直线的方程为.

20．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

【答案】（1）2；（2）没有.

【分析】（Ⅰ）先确定的方程为，代入整理得，

解得，因此，所以为的中点，即.

（Ⅱ）直线的方程为，与联立得，解得，即直线与只有一个公共点，即可得出结论.

【详解】（Ⅰ）由已知得.

又为关于点的对称点，

故的方程为，

代入整理得，

解得，因此，

所以为的中点，即.

（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点. 理由如下：

直线的方程为，即，

代入，得，解得，

即直线与只有一个公共点，

所以除以外直线与没有其它公共点.

【点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

21．如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，，.

(1)证明：平面平面；

(2)若 ，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面所成二面角的大小为 .

【答案】(1)证明见解析；

(2)存在.M为靠近P三等分点

【分析】（1）取的中点，连接 ，证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式求得 ，即可求得答案

根据线面

【详解】（1）证明：取 的中点，连接 ，

因为为等边三角形，所以，

在中，有，

又因为，所以 ，

所以，即，

又因为，平面，所以平面，

又因为平面 ，所以平面平面.

（2）不妨设，在中，，所以，

在底面内作于点，则 两两垂直，

以点为原点，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，

所以，，，，

设，

则，

设平面的法向量为，

所以 ，

令，可得，，所以，

可取平面ABC的一个法向量为，

所以，

整理可得，即，解得或（舍去）.

所以，所以当时，二面角的大小为 .

22．已知等轴双曲线    的右焦点为，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分别交两条渐近线于M，N两点，点M，P 在第一象限，O是原点.

(1)求直线l斜率的取值范围；

(2)设的面积分别为，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）已知等轴和焦点坐标，可求出双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由韦达定理即可解得直线l斜率的取值范围.

（2）由直线与渐近线方程联立可求出M，N两点的坐标，再求出P到两条渐近线的距离，整体代入求出，分割利用韦达定理结合三角形面积公式，可求得，进而得到关于t的函数关系式，即可得到答案.

【详解】（1）已知双曲线等轴，可设双曲线方程为，因为右焦点为，故，由得，所以双曲线方程的方程为，设直线l的方程为，联立双曲线方程得， ，解得

即直线l斜率的取值范围为.

（2）设，渐近线方程为，则P到两条渐近线的距离满足，，而，，同理，所以，由，，所以，，