2022-2023学年辽宁省营口市大石桥市第三高级中学高二上学期10月月考数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省营口市大石桥市第三高级中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．若复数满足（是虚数单位），则（    ）

A．2 B． C．5 D．

【答案】D

【分析】由条件等式可得，即可求.

【详解】由题设，，

∴.

故选：D.

2．已知、、三点共线，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值.

【详解】由于、、三点共线，则，即，解得.

故选：C.

3．已知圆的方程是，则它的半径是（    ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】将圆的一般方程化为标准方程，可得半径的长．

【详解】圆的方程可化简为

则它的半径是

故选：B

4．直线与直线平行，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据两直线平行的条件求解．

【详解】时，显然两直线不平行，

时，由两直线平行得，解得．

故选：B．

【点睛】易错点睛：本题考查由两直线平行求参数，掌握分类讨论，一个方程中各系数为0和不为0两种情形，有一个系数为0可直接验证，系数均不为0时用的系数比例相等求解，这样求出参数后代入方程检验，否则易出错．

5．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由向量，，共面得出，列方程组可求得的值．

【详解】，，三向量共面，则，其中；

则，

即，解得．

故选：A．

6．若直线在第一、二、三象限，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】易知直线的斜率存在,将直线ax+by+c=0变形为y=-x-,如图所示.数形结合可知

即ab<0,bc<0.

7．如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出AD，BD，再利用余弦定理计算作答.

【详解】依题意，在中，，则m，

在中，，则m，

在中，，由余弦定理得：，

即，解得m，即有，

所以他的步行速度为.

故选：D

8．已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出曲线（上半圆），直线过定点，求出图中两条的斜率可得所求范围．

【详解】曲线整理得，

则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线，即，

则令，解得，则其过定点，

如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，

由，得或，所以，

，

所以实数的取值范围是.

故选：C．

二、多选题

9．已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】BC

【分析】由，可得，即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，解得或1．

故选：BC.

10．若（i为虚数单位），则使的的值可能是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】BD

【解析】将复数的三角形式代入方程中，进一步解三角方程，既可得到的值.

【详解】因为，

，，

，所以，

令，得，

令，得，

故选：BD.

【点睛】本题考查复数三角形式的运算、三角恒等变换中的倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

11．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且，则（    ）

A．平面EGHF B．平面ABC

C．平面EGHF D．直线GE，HF，AC交于一点

【答案】AD

【分析】由条件可得，FH与AC为相交直线，即可判断ABC，EG与FH必相交，设交点为M，然后可证明，即可判断D正确.

【详解】因为，所以.

又E，F分别为AB，AD的中点，所以，且，则.

易知平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误.

因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，

所以平面ABC，平面ACD，

则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，

所以，即直线GE，HF，AC交于一点，即D正确.

故选：AD

12．给出下列命题，其中是假命题的是（    ）

A．若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有

B．是，共线的充要条件

C．若，共线，则

D．对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面

【答案】BCD

【分析】根据向量的加法运算、共线与共面的条件，即可判断正误.

【详解】解：由向量的加法运算，显然A是真命题；

若，共线，则（同向）或（反向），故B是假命题；

若，共线，则直线AB，CD平行或重合，故C是假命题；

只有当时，P，A，B，C四点才共面，故D是假命题．

故选：BCD．

三、填空题

13．直的方程为，则该直线过定点          ．

【答案】

【分析】转化等式对于参数恒成立，列式求解

【详解】即，令得，

直线过定点，

故答案为：

14．已知的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，则的最小角的余弦值为          .

【答案】/

【分析】由题设可得最小，利用余弦定理可求其余弦值.

【详解】因为，故可设，

因为，故最小，从而.

故答案为：.

15．经过点，且一个法向量为的直线方程是          ．

【答案】

【分析】根据直线的一个法向量求出方向向量和斜率，再写出直线方程．

【详解】直线一个法向量为，所以直线的一个方向向量为，直线斜率为，

直线过点，所以直线方程为，即为．

故答案为：．

16．已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于           .

【答案】/

【分析】将三棱锥补全为棱长为的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧的圆心、半径及对应圆心角，进而求出弧长，即可知最长弧长.

【详解】由题设，将三棱锥补全为棱长为的正方体，如下图示：

若，则，即在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，

又，，

所以，面与球面所成弧是以为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为；

面与与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；

面与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；

所以最长弧的弧长为.

故答案为：.

四、解答题

17．求满足下列条件的直线方程．

(1)经过点，且斜率等于直线斜率的3倍；

(2)过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先由已知直线方程求出斜率，再可求出所求直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线方程，

（2）设直线的方程为，则由题意可得，求出，从而可求得直线方程

【详解】（1）直线可化为，斜率为，

所以所求直线的斜率为

故所求直线方程为，即

（2）设直线的方程为，，解得，

故所求的直线方程为，

即或

18．如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.

(1)求证：；

(2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明过程见解析；

(2).

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；

（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.

【详解】（1）因为平面，平面，

所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：

，

，因为，

所以，即，

（2）设平面的法向量为，

，

所以有，

因为直线与平面所成角为，

所以，

解得，即，因为，

所以点到平面的距离为：

.

【点睛】19．设直线的方程为.

(1)已知直线在轴上的截距为，求的值；

(2)已知直线的斜率为1，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据截距的定义可知，且可解得的值；（2）将直线方程化成斜截式方程，可得斜率关于的表达式，即可求得结果.

【详解】（1）由题意知，即且，

令，则，

即，得或 (舍去)．

∴.

（2）由题意知，，即且，

由直线l化为斜截式方程

得，

则，

得或 (舍去)．

∴.

20．如果实数，满足，求：

（1）的最大值与最小值；

（2）的最大值和最小值.

【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为.

【解析】（1）设，整理得，解不等式即得解；

（2）表示的是原点到圆上的任意点的距离的平方，即得解.

【详解】（1）实数，满足，

则设，整理得，

所以圆心到直线的距离，

整理得，即，

所以的最大值为，最小值为.

（2）由于表示的是原点到圆上的任意点的距离的平方，

所以利用最大距离为圆心到原点的距离与半径的和，

即的平方，

故最大值为，

最小距离为圆心到原点的距离与半径的差，

即的平方，

故最小值为.

【点睛】方法点睛：解析几何中的最值常用的方法有：（1）函数的方法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.本题就利用了数形结合法求最值，要根据已知条件灵活选择方法求解.

21．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点.

(1)证明：

(2)若F为棱PC上一点，且满足，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，进而计算出即可证明问题；

（2）设，进而根据求出，然后根据空间向量的夹角公式求得答案.

【详解】（1）以点A为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则可得，，，，，，向量，，故，

所以.

（2）向量，，，.

设，，

所以，

由，得，因此，解得，

即，

设为平面FAB的法向量，则，即

令，得为平面FAB的一个法向量.

因为y轴⊥平面ABP，取平面ABP的法向量，则，

经观察知二面角是锐角，所以其余弦值为.

22．已知向量，，，设函数

(1)求函数的单调递增区间；

(2)设，，分别为的内角，，的对边，若，，的面积为，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据向量数量积公式及三角恒等变换得到，从而利用整体法求出函数单调递增区间；

（2）在（1）基础上，求出，结合三角形面积公式求出，进而由余弦定理求出答案.

【详解】（1），，

令，，

解得，，

的单调递增区间是，

（2）由（1）知：

，

，即

，

，

，

，

，

的面积为，

，解得，

，

由余弦定理得

，

，

综上所述，结论是：.