2022-2023学年江西省宜春市上高二中高二上学期第一次月考数学试题含答案

2022-2023学年江西省宜春市上高二中高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则集合，，的关系表示最准确的为（    ）

A． B． C． D．，

【答案】B

【分析】对三个集合中元素进行变形，确定元素间的关系，判断出集合的包含关系.

【详解】因为，，，

其中均表示全体整数，表示全体奇数，

所以．

故选：B．

2．若，则下列式子成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用对数的性质判断各式的大小关系.

【详解】由，即.

故选：A

3．已知向量 ，满足， ，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.

【详解】，，，.

，

因此，.

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.

4．已知是方程的两个根，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】利用两角和的正切公式计算．

【详解】由于是方程的两个根，所以，，所以．

故选：B．

5．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可．

【详解】因为为奇函数，∴；

又

，，又

∴，

故选C．

【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数．

6．已知矩形ABCD中，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断当与所成角最大时，，进而证得面，再证得是直角三角形，故可由求得结果.

【详解】因为异面直线最大角为直角，故当时，与所成角最大，

因为四边形是矩形，所以，

又，，面，

故面，又因为面，所以，

在中，，所以，

又，所以，故，

所以.

故选：C.

7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于（　　）

A．20π B．10π C．5π D．5π

【答案】A

【分析】底面三角形ABC的外心是，球心为O，由正弦定理求得底面三角形外接圆半径，然后由勾股定理求得三棱柱外接球半径，从而可得球表面积．

【详解】如图底面三角形ABC的外心是，，

在△ABC中AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，

由余弦定理得BC2，

由正弦定理可得△ABC外接圆半径，

设球心为O，则平面，平面，所以，

在'中，

，，

故此球的表面积为．

故选：A．

8．对于函数和，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由函数单调性确定只有一个零点，这样由定义在上存在零点，由二次方程根的分布知识求解即可得．

【详解】的定义域为，易得在上单调递增，又，∴只有一个零点．若和互为“零点相邻函数”，则在上存在零点．

∴，解得或．

（1）若，即或时，只有一个零点，显然当时，，符合题意，当时，，不符合题意；

（2）若，即或时，

①若在上存在1个零点，则，即，解得，．

②若在上存在2个零点，则，∴．

综上a的取值范固是．

故选：B．

二、多选题

9．已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A．复数在复平面内对应的点在第四象限

B．复数的虚部为

C．复数的共轭复数

D．复数的模

【答案】BD

【分析】根据复数的除法运算化简求解，根据复数对应的点、复数的模、共轭复数、复数的虚部概念逐项分析即可求解.

【详解】，

故复数在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；

所以复数的虚部为，故B正确；

故复数的共轭复数，故C错误；

所以复数的模，故D正确.

故选：BD

10．已知一组样本数据，其中（，2，…，15），由这组数据得到另一组新的样本数据 ， ，…， ，其中，则（    ）

A．两组样本数据的样本方差相同

B．两组样本数据的样本平均数相同

C．，，…，样本数据的第30百分位数为

D．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5

【答案】AC

【分析】根据一组数据加减一个数以及乘以一个数时，平均数以及方差的性质可判断ABD；根据百分位数的计算可判断C；

【详解】由题意可得：，

∵，则，，故A正确，B错误；

由于求第30百分位数：15×0.3=4.5，故为第5个数，

的排列为：，

因此，第30百分位数为，C正确；

将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，

新样本的平均数为，D错误，

故选：AC．

11．下列选项中正确的是（    ）

A．若平面向量，满足，则的最大值是5；

B．在中，，，O是的外心，则的值为4；

C．函数的图象的对称中心坐标为

D．已知P为内任意一点，若，则点P为的垂心；

【答案】ABD

【分析】利用数量积的运算律及性质计算判断A；利用三角形外心及数量积计算判断B；求出函数的对称中心判断C；利用数量积运算律及垂直的向量表示判断D作答.

【详解】对于A，因，则，

当且仅当时取等号，A正确；

对于B，令边AB的中点为D，因O是的外心，则，

则，同理有,

所以，B正确；

对于C，由，得，，因此函数图象的对称中心为，，C不正确；

对于D，点P在内，由得：，即，有，

由，同理有，因此点P为的垂心，D正确.

故选：ABD

12．“奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积，托盘由边长为4的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②则下列结论正确的是（    ）

A．直线与平面所成的角为

B．直线平面

C．异面直线与所成的角的余弦值为

D．球上的点离球托底面的最大距离为

【答案】AD

【分析】A选项，由题意得到平面⊥平面，得到为直线与平面所成的角，大小为；B选项，作出辅助线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到，B错误；C选项，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值；D选项，求出球的半径，得到四面体为正四面体，棱长为1，求出到平面的距离，从而得到球上的点离球托底面的最大距离.

【详解】A选项，因为托盘由边长为4的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，

所以平面⊥平面，

过点作⊥于点，

因为平面平面，所以⊥平面，

故即为直线与平面所成的角，大小为，A正确；

B选项，过点C作⊥于点，同A选项，可证明⊥平面，

所以，

由三线合一可得分别为的中点，故，

连接，则四边形为平行四边形，故，

同理可得，

连接，则⊥，

以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

则，

平面的法向量设为，

则，

令得，，故，

又，

故直线与不垂直，故直线与平面不平行，B错误；

C选项，，

故异面直线与所成的角的余弦值为，C错误；

D选项，由B选项可知，，设为球心，球半径为，

由，解得，则为正四面体，棱长为1，

设为的中心，则⊥平面，又平面，

所以⊥，，则，

又，所以球离球托底面的最大距离为，D正确.

故选：AD

三、填空题

13．计算的结果为      .

【答案】

【分析】先求出，所以，代入即可得出答案.

【详解】，

，

，

所以.

故答案为：

14．已知正实数满足，则的最小值为           .

【答案】8

【分析】根据结合基本不等式即可得解.

【详解】解：因为，

所以

，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为8.

故答案为：8.

15．如图，在棱长为1的正方体中，点、是棱、的中点，是底面上（含边界）一动点，满足，则线段长度的最小值为          .

【答案】

【分析】如图所示：连接，，故平面，故在线段上，计算得到答案.

【详解】如图所示：

连接，，易知，，故，

，故平面，故，，

故平面，故在线段上，故线段长度的最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

16．已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则           .

【答案】

【分析】根据给定条件，推理论证出函数的周期，再利用周期性计算作答.

【详解】因函数的图象关于直线对称，而函数的图象右移1个单位得的图象，

则函数的图象关于直线对称，即，而对都有，

则，即，，有，

因此函数是周期函数，周期为8，又当时，，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知

(1）求的值；

(2）若，求边c的值.

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，并根据sinA的值不为0，即可求出cosA的值；

（2）由第一问求出的cosA的值及A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得出B+C的度数，用B表示出C，代入已知的等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（B+）的值，由A的度数求出B+的范围，利用特殊角的三角函数值得出B的度数，根据锐角三角函数定义即可求出c的值．

【详解】（1）由及正弦定理得

即

又所以有即

而，所以

(2）由及0＜A＜，得A＝ 因此

由得

即，即得

由知于是或

所以，或

若则在直角△ABC中，，解得

若在直角△ABC中，解得

【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

18．在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有1，2，3，4的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回.①若取出的两个小球上数字之积大于8，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[4，8]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于4，则奖励饮料一瓶.

(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；

(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由.

【答案】(1)

(2)每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率，理由见解析

【分析】（1）根据古典概型的方法，列举所有可能的情况，再分析满足条件的情况求解即可；

（2）分别列举事件的样本点，求出概率再比较大小即可.

【详解】（1）样本空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}共16个样本点.

记“获得飞机玩具”为事件A，事件A包含的样本点有（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）共4个.

故每对亲子获得飞机玩具的概率为

（2）同（1），记“获得汽车玩具”为事件B，记“获得饮料”为事件C.

事件B包含的样本点有

（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（4，1），（4，2）共7个.

所以，

事件C包含的样本点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）共5个，

所以.

所以P（B）>P（C），即每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率.

19．已知函数（，）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为.求：

(1)求函数的解析式；并求的单调递增区间、对称中心坐标；

(2)若将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移单位，得到函数的图象，若在区间上的最小值为，求m的最大值.

【答案】(1)；（）；（）

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角将化为，然后根据函数性质选择条件求出和，进而得到，再利用整体思想和正弦函数的单调性、对称性进行求解；

（2）利用函数平移变换得，利用函数的性质得到进行求解.

【详解】（1）

，

当选条件①时，，解得；

当选条件②时，，

显然条件②不合理；

当选条件③时，，即，

解得；

综上所述，条件①③能确定函数解析式，

且；

令，

得，

所以函数的单调递增区间为（）；

令，得，，

所以函数的对称中心坐标为，；

（2）将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，

得到的图象，再向右平移单位，

得到函数的图象，

即；

因为，所以，

因为在区间上的最小值为，

所以，解得.

所以的最大值为.

20．如图，AB 是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.

(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC；

(2)若PC=AB=2，点C是的中点，求二面角E-l-C的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用三角形中位线的性质，结合线面平行的判定、性质推理作答.

（2）以点C为原点，射线CA，CB，CP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.

【详解】（1）因E，F分别是PA，PC的中点，则EF//AC，而AC平面ABC，EF平面ABC，因此EF//平面ABC，

又EF平面BEF，平面BEF与平面ABC的交线为l，则EF//l，又l平面PAC，EF平面PAC，

所以l//平面PAC.

（2）AB是圆O的直径，点C是的中点，AB=2，则CA⊥CB，又直线PC⊥平面ABC，即有CP，CA，CB两两垂直，

以点C为原点，射线CA，CB，CP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

而，则，，

设平面EFB的法向量，则，令y=1，得，

显然是平面ABC的一个法向量，则，

所以二面角E-l-C的正弦值为.

21．在中，内角，，所对的边分别为，，，为上一点，，．

(1)若，求；

(2)若，当面积取最小值时，求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正余弦定理及三角形内角性质求；

（2）利用等面积法结合基本不等式可得面积取最小值时，再由余弦定理即可得解.

【详解】（1）令，又，

所以，即，

则，即，

又，则，故.

（2）由三角形面积公式可得，

且，

所以，即，

即，当且仅当时，等号成立，此时面积取最小值，

此时，，

所以当面积取最小值时，.

22．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，平面平面，为线段的中点.

(1)证明：.

(2)在直线BC上是否存在点，使得直线AF与平面ABP所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，或1

【分析】(1)作于 ，根据勾股定理分别可求得，的值，只需证得，即可求出，即可得出为等腰三角形，从而可得.

(2)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可求解.

【详解】（1）证明：作于 ，由平面平面ABC，且平面平面，得平面，∴.

∵，，，由勾股定理得，

所以，

∴，，.

在直角三角形中，由勾股定理可得.

又.∴.

（2）在平面内，过点作，垂足为点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

∴，，，，，设，

∴，.

设是平面的法向量，

∴，取，得，

又.

设直线与平面所成的角为，

∴，

化简得，解得或.当时，（在线段上）；

当时，（在线段的延长线上）

∴存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或1.