2022-2023学年江西省南昌市八一中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江西省南昌市八一中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省南昌市八一中学高二上学期12月月考数学试题 一、单选题1．为促进中学生综合素质全面发展，某校开设5个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有（    ）A．60种 B．120种 C．125种 D．243种【答案】C【分析】采用分步乘法计数原理进行计算。【详解】由题意知，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，所以每个人有5种选择．则不同的报名方式共有（种），故选：C．2．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（    ）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】根据离心率，面积公式结合求出得椭圆方程．【详解】由题意，解得，∴椭圆方程为或故选：A．【点睛】本题考查求椭圆的标准方程中，求解题方法是根据已知条件列出方程组求出，只是要注意由于焦点的位置不确定，因此方程有两种．3．设直线的方向向量为，，，为平面的三点，则直线与平面的位置关系是（    ）A． B．或C． D．【答案】C【分析】设直线的方向向量为，利用，，又与有公共点B，从而即可求解.【详解】解：因为，，为平面的三点，所以，，设直线的方向向量为，则，因为，,所以，，又与有公共点B，所以直线垂直于平面，即，故选：C.4．若直线的方向向量为，平面、的法向量分别为、，则下列命题为假命题的是（    ）A．若，则直线平面B．若，则直线平面C．若，则直线与平面所成角的大小为D．若，则平面、的夹角为【答案】B【分析】利用空间线面位置关系与空间向量的关系，可判断AB选项的正误；利用空间角与空间向量的关系可判断CD选项的正误.【详解】对于A选项，若，则为平面的一个法向量，故直线平面，A对；对于B选项，若，则直线平面或直线平面，B错；对于C选项，若，则直线与平面所成角的大小为，C对；对于D选项，若，则平面、的夹角为，D对.故选：B.5．如图，在长方体中，，，点在线段上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构建空间直角坐标系，求，的坐标，应用空间向量夹角的坐标表示求与所成角的余弦值即可.【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，.∴，∴异面直线与所成角的余弦值为.故选：B6．已知直线交椭圆于两点，若点为两点的中点，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用点差法求得直线的斜率.【详解】椭圆，依题意可知直线的斜率存在，设，则，两式相减并化简得，即，所以直线的斜率为.故选：D7．已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角换元的方法，结合三角函数的值域求得正确答案.【详解】椭圆的焦点，设，，所以，由于，，所以的取值范围为.故选：A8．棱长为2的正方体中，为的中点，在底面内运动，与平面所成角为，与平面所成角为，若，则的最小值为（          ）A．2 B． C．4 D．1【答案】A【分析】先证明PD=2PC，再在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系，求出，再利用三角函数的图象和性质求出|AP|的最小值.【详解】设，所以，，所以PD=2PC.在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系，设点P(x,y),则，整理得，所以，即,所以|AP|的最小值为2.故选：A【点睛】本题主要考查线面角的计算，考查空间几何的轨迹问题，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、多选题9．到直线的距离等于的直线方程可能为（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】易知所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为，利用平行线间的距离求解.【详解】因为所求直线与直线的距离为，所以所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为，所以，解得或，故所求直线方程为或．故选：CD10．下列四个结论正确的有 （    ）A．对于任意两个向量，若，则或或B．若空间中点 满足，则三点共线C．空间中任意三个向量 都满足D．对于任意两个向量， 都有【答案】AB【分析】对选项A，根据得到或或，即可判断A正确，对选项B，根据题意得到和为公共点，即可判断B正确，对选项C，利用特殊向量即可判断C错误，对选项D，根据即可判断D错误.【详解】对选项A，若，则或或，故A正确.对选项B，因为，所以，所以，又因为为公共点，所以三点共线，故B正确.对选项C，若为空间向量中的单位向量，且夹角为，的夹角为，则，，，故C错误.对选项D，因为，当时，，故D错误.故选：AB11．圆与圆相交于，两点，则（    ）A．的直线方程为 B．公共弦的长为C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为【答案】ACD【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可.【详解】由，得，则，半径，由，得，则，半径，对于A，公共弦所在的直线方程为，即，所以A正确，对于B，到直线的距离，所以公共弦的长为，所以B错误，对于C，因为，，，所以圆与圆的公切线长为，所以C正确，对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为，所以直线为，即，所以D正确，故选：ACD12．某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（    ）第1节第2节第3节第4节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．此人有4种选课方式 B．此人有5种选课方式C．自习不可能安排在第2节 D．自习可安排在4节课中的任一节【答案】BD【解析】根据表格分类讨论即可得到结果.【详解】由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有种（此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节）；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．根据分类加法计数原理可得选课方式有种．综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选：BD. 三、填空题13．求双曲线的渐近线为        .【答案】【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案.【详解】双曲线的标准方程为，所以，且双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为.故答案为：.14．已知向量，，则的值为         .【答案】【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案.【详解】.故答案为：15．设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是        【答案】【分析】通过直线与的交点，以及直线上一点关于的对称点求得反射光线所在直线方程.【详解】由解得，所以直线与的交点为，点在直线上，点关于直线的对称点在反射光线上，所以反射光线所在直线方程为，整理得故答案为：   四、双空题16．如图，在四面体中，是的重心，G是上的一点，且，若，则           ；若四面体是棱长为2的正四面体，则           .【答案】     /0.75     /【分析】第一空：利用空间向量的线性运算法则，结合三角形重心的性质求解；第二空：将两边同时平方，利用数量积的运算律计算即可.【详解】，则将两边同时平方得：故答案为：；. 五、解答题17．已知抛物线C的方程是.(1)求C的焦点坐标和准线方程；(2)直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，与抛物线C的交点为A，B，求的长度.【答案】(1)焦点为，准线方程：(2) 【分析】（1）抛物线的标准方程为，焦点在轴上，开口向右，，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）现根据题意给出直线的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．【详解】（1）（1）抛物线的标准方程是，焦点在轴上，开口向右，，∴，∴焦点为，准线方程：.（2）∵直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，，∴直线L的方程为，代入抛物线化简得，设，则，所以．故所求的弦长为12．18．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．（1）求证：；（2）试验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）利用平面可得，再利用即可；（2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系即可求出；或利用等体积法也可.【详解】（1）证明：∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，又平面．∴．（2）解：法一：如图，以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设为平面的法向量，则，即，令，则，设直线与平面所成角为，则．法二：如图，在中，由得，在中，由得，在中，由得．在中，由得，在中，由，得，，设点到平面的距离为，由，得，即，设直线与平面所成的角为，则．19．正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：  (1)点到直线的距离；(2)点到平面的距离．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得到直线的距离.（2）利用向量法求得到平面的距离.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，，，所以到直线的距离为:.  （2）由（1）得设平面的法向量为，则，故可设，所以点到平面的距离为．20．如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，.(1)试用向量，，表示向量；(2)若，，，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用，然后，最后计算即可.（2）根据（1）的条件，先平方后开方计算即可.【详解】（1）由题可知：，点E为的中点所以，所以所以（2）由（1）可知，且，，所以所以21．在梯形中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）.将沿AC折起到位置，使得平面平面（如图2）.  (1)求证：平面；(2)求二面角的大小；(3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在， 【分析】（1）根据线面平行的判定定理来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的大小.（3）设，根据与平面所成角的正弦值列方程，求得，进而求得正确答案.【详解】（1）在梯形中，，，，P为AB的中点，可得为等边三角形，四边形为菱形，故，而平面，平面，所以平面.（2）由（1）得，，，故，，而平面平面，平面平面，平面，，平面，两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则取得，平面的一个法向量为，由图得二面角为锐角，设二面角为，故，因为，所以二面角的大小为.    （3）设，则，，，的，，设平面的一个法向量为CQ与平面所成角的正弦值为，化简得，解得（舍去），故存在，使得CQ与平面所成角的正弦值为．22．已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析； 【分析】(1)由题意知C： ，进而设直线l的方程为 ，与双曲线方程联立，结合韦达定理，向量数量积的坐标表示求解即可；(2）设直线l的方程为），进而结合向量的坐标表示得 ， 再结合在双曲线上,推得得是方程的两根，进而得 ，证明结论.【详解】（1）当 时 ，双曲线C：，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与C联立得， ，则，则 ，由，可得 ，所以 ，所以．（2）证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，则，由 , 得 ，所以 ， ， 由点M在双曲线C上，可得 ，化简得 ，同理 ，故是方程的两根，则为定值.