2022-2023学年山东省临沂第十八中学高二上学期质量检测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山东省临沂第十八中学高二上学期质量检测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省临沂第十八中学高二上学期质量检测数学试题 一、单选题1．曲线在处的切线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的导数，再由导数的几何意义即可得切线斜率，进而得解.【详解】因，则，当时，，由导数的几何意义知，曲线在处的切线斜率为1，其倾斜角为，所以切线的倾斜角为.故选：C2．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离是（    ）A．6 B．26 C．4 D．14【答案】D【分析】根据椭圆的定义及椭圆上一点到焦点的距离等于6 ，可得的长.【详解】解：根据椭圆的定义，又椭圆上一点到焦点的距离等于6， ，则，故选：D.3．已知两条直线和，若，则实数的值为（    ）A．或1 B． C．1 D．【答案】B【分析】根据题意得，解方程得或，再检验即可得答案.【详解】解：因为直线和， 所以，解得或，当时，直线和重合，不满足；当时，直线和，满足平行.所以故选：B4．数列满足，则等于（    ）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】由递推公式求出前若干项，再由周期性可得.【详解】由，得由上可知，数列的周期为3，所以.故选：C5．若抛物线的准线与圆相切，则抛物线的方程为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】求出圆心到准线的距离，再利用准线和圆相切列方程求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为2，抛物线的准线为，圆心到准线的距离为，因为圆与准线相切，所以有，解得或，所以抛物线方程为或.故选：B.6．已知等差数列中，若，则的值为(   )A．24 B．﹣24 C．20 D．﹣20【答案】A【分析】运用等差数列中若，则即可解决.【详解】又故选：A．7．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（    ）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】D【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，则，因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，，所以.故选：D8．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接， 由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，设，则，，，在中，，解得或m＝0（舍去），从而有，中，，整理得，，所以双曲线E的离心率为．故选：B 二、多选题9．已知直线过原点，且，两点到直线的距离相等，则直线方程可以为（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由题意先设出方程，根据已知条件建立方程解出直线的斜率即可【详解】直线过原点，且，两点到直线的距离相等，斜率必存在，设所求直线的方程为，由已知及点到直线的距离公式可得：，解得或，即所求直线方程为或.故选：AC.10．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为为上一点，则（    ）A．双曲线的实轴长为2B．双曲线的一条渐近线方程为C．D．双曲线的焦距为4【答案】ABD【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质运算求解.【详解】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故，实半轴长为1，实轴长为，A正确；因为可求得双曲线渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确；由于可能在的不同分支上，则有，C错误；焦距为正确.故选：ABD.11．下列命题正确的是（    ）A．若方程表示圆，则的取值范围是或B．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是C．已知点在圆上，的最大值为1D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为【答案】ABD【分析】利用一般式为圆的判定公式,可判定A选项；圆与轴相切可设出圆心坐标，再根据圆与直线相切，得到圆心到直线的距离等于半径，构建参数方程解决，则可判定B选项；从几何意义角度解读为圆上的点与原点连线的斜率，则可知相切时取得最值，则可判定C选项;两圆相减可得公共弦的直线方程，再通过弦长公式计算即可，则可判定D选项.【详解】若方程表示圆，则，即，解得或，故A正确；设圆心，则圆心到直线的距离为，又圆与直线直线相切可得解得，即，所以圆的标准方程是，故B正确；由可得，表示圆上的点与原点连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，则，显然不是方程的解，故的最大值不是1，故C错误；将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，圆配方可得，继而可知圆心，，圆心到直线的距离，所以弦长为，所以公共弦长为，故D正确.故选：ABD.12．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出合适的选项.【详解】对于A，，，当时，，，，故在上不是凸函数；对于B，，对任意的，，故在上是凸函数；对于C，，对任意的，，故在上是凸函数；对于D，，对任意的，，故在上不是凸函数.故选：BC 三、填空题13．已知直线过点，并且倾斜角是直线的倾斜角的倍，则直线的方程是       .【答案】【分析】求出直线的倾斜角，即可求得直线的倾斜角，从而可得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程，即可求出直线的方程．【详解】∵直线的斜率为∴直线的倾斜角为∵直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍∴直线的倾斜角为，即直线的斜率为∵直线过点∴直线的方程为，即.故答案为：.14．已知等比数列中的各项均为正数，，则的值为        ．【答案】10【分析】由等比数列的性质可得，再根据对数的运算，即可求解.【详解】由题意，等比数列中的各项均为正数，满足，由等比数列的性质可得 所以，故答案为：10.15．已知抛物线C：的焦点为F，点，点M是抛物线C上一个动点，当取最小值时，点M的坐标为      ．【答案】/【分析】根据抛物线的定义，结合图象，转化，利用数形结合，求最小值，即可求点的坐标.【详解】分别过M，A作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为，，则，当且仅当A，M，三点共线时，等号成立，所以的最小值为，此时点M的坐标为．故答案为：16．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是              .【答案】或【分析】令切线方程为、切点为并对曲线求导，由且得到有两个不相等的实根，即可求范围.【详解】由题设，令切线方程为，而，若切点为，则且，所以，故有两个不相等的实根，则，可得或.故答案为：或 四、解答题17．在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．(1)求直线CD的方程；(2)求四边形ABED的面积．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求出，由，由点斜式即可写出直线CD的方程；（2）四边形ABED为梯形，E是线段BC的中点，求出E坐标、直线AD的方程，即可求出E到直线AD的距离，再求出，即可求梯形面积.【详解】（1）由，，∴直线CD的方程为，即；（2）四边形ABED为梯形，E是线段BC的中点，则，即，直线AD的方程为，即，则E到直线AD的距离为，.故四边形ABED的面积为.18．已知函数的图象在处的切线斜率均为.（1）求，的值；（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）求导数，利用函数在处的切线斜率均为0，建立方程，即可求，的值；（2）设切点，确定切线方程，代入点，即可得出结论．【详解】（1），函数的图象在处的切线斜率均为，，，.（2）由（1），知函数，点不在曲线上，设切点为，则，切线方程为将点代入，可得，切点为，切线方程为.19．已知抛物线：的焦点到顶点的距离为.(1)求抛物线的方程；(2)已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由抛物线的几何性质有焦点到顶点的距离为，从而即可求解；（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立抛物线的方程，由韦达定理及两点间的斜率公式即可求解.【详解】（1）解：依题意，，解得，∴抛物线的方程为；（2）解：当直线的斜率不存在时，直线与抛物线仅有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，，，由消去可得，∵直线交抛物线于不同的两点，∴，由韦达定理得，∴.20．如图，正三棱柱的棱长都为2，D为的中点．(1)求直线与平面所成角的大小；(2)求点C到平面的距离．【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求直线与平面所成角的大小；（2）以向量的方法去求点C到平面的距离即可解决．【详解】（1）取BC的中点O，取中点Q，连接OA，OQ.以O为原点，分别以OB,OQ,OA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图：则，所以，因为，且，所以平面；所以是平面的一个法向量，又，设直线与平面所成角为，则，又因为，所以；（2）因为，则点C到平面的距离为．21．已知等差数列为递增数列，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，若为数列的前n项和，且存在，使得成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)(2). 【分析】（1）用基本量表示出=36和的关系式，解方程组可得首项和公差，进而得到通项公式；（2）运用裂项相消法先求出数列和，代入不等式可得.【详解】（1）依题意有：，又等差数列为递增数列，代入（2）由（1）知：，代入得：综上所述：22．已知椭圆：过点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于，两点，，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根据已知点，离心率以及列方程组，解方程组可得的值即可求解；（Ⅱ）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程消去，可得，，利用向量数量积的坐标表示列方程可得的值，计算，利用面积公式计算即可求解.【详解】（Ⅰ）将代入椭圆方程可得，即①因为离心率，即，②由①②解得，，故椭圆的标准方程为．（Ⅱ）由题意可得，，设直线的方程为．将直线的方程代入中，得，设，，则，．所以，，所以，由，解得，所以，，因此．