2023-2024学年江苏省淮安市高二上学期期初调研测试数学试题含答案

2023-2024学年江苏省淮安市高二上学期期初调研测试数学试题

一、单选题

1．过点且与直线平行的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意设线的方程为，再根据经过点，待定系数即可得答案.

【详解】由题可得，设平行于直线的直线的方程为，

因为直线过点，

所以，解得，

所以直线的方程为.

故选：D.

2．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.

【详解】联立，得，

取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，

直线的斜率，所以直线的方程为，

整理为：.

故选：A

3．点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ）

A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为

【答案】C

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】由，得，

所以圆心为，半径为，

由题意可得直线经过圆心，

故有，即，

所以半径为，

当时，圆C的半径的最小值为.

故选：C.

4．已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.

【详解】圆：中，圆心，半径

设，则，

则,

当时，，

故选：C

5．已知圆与圆的公共弦长为2，则m的值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.

【详解】联立和,

得，由题得两圆公共弦长，

圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，

所以，

平方后整理得,

，

所以或（舍去）；

故选：A.

6．已知圆，从点出发的光线要想不被圆挡住直接到达点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件，将问题转化成点落在过点且与圆相切的两直线“外”，再通过求出切线方程即可求出结果.

【详解】由题意知，从点出发的光线与圆相离时，光线不被挡住，

设过点与圆相切的直线方程为，即，

又圆，所以圆心到的距离，解得，故，令，，

所以或.

故选：B.

7．在平面直角坐标系中，已知点P在直线上，且点P在第四象限，点．以PQ为直径的圆C与直线l的另外一个交点为T，满足，则圆C的直径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意作出符合题意的图形，判断出直径,求出，利用两点间的距离公式即可求解.

【详解】如图示：

因为PQ为圆C的直径，所以.

而为圆心，所以.

又，所以三角形为等腰直角三角形.

所以.

因为直线上，且，所以，所以.

又，所以.

所以点T的坐标满足：，解得：，即.

所以，

所以.

即圆C的直径为.

故选：D

8．圆和圆的交点为，则有（    ）

A．公共弦所在直线方程为 B．公共弦的长为

C．线段中垂线方程为 D．

【答案】D

【分析】对于A，联立两圆方程即可得公共弦所在直线方程；

对于B，由弦长公式计算即可；

对于C，由题意可知线段中垂线为直线，求出直线的方程即可判断；

对于D，求出坐标，计算出的值，即可判断.

【详解】解：对于A，联立两圆方程得，可得，

即公共弦所在直线方程为，故错误；

对于B，设到直线：的距离为，

则有，

则弦长公式得：，故错误；

对于C，由题意可知线段中垂线为直线，

又因为，，

所以直线的方程为，故错误；

对于D，由，解得或，

取，

所以

所以，

所以，故正确.

故选：D.

二、多选题

9．下列说法中，正确的有（    ）

A．点斜式 = 可以表示任何直线

B．直线在轴上的截距为-2

C．直线关于对称的直线方程是

D．点到直线的最大距离为2

【答案】BD

【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误；

对B：在轴上的截距为，故B正确；

对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误；

对D：，即，其恒过定点，

又，

故点到直线的最大距离为2，D正确.

故选：BD.

10．已知点在圆上，动点的坐标为，则（    ）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．当直线的斜率不存在时，的最大值为1 D．当直线的斜率不存在时，的最大值为

【答案】AD

【分析】对于A，B选项：先判断点在直线上，则的最小值为圆心到直线的距离与半径之差，求出最值即可；

对于C，D选项：当直线斜率不存在时，的值为到直线距离的倍，通过圆心到直线的距离与半径之差或之和来求最值.

【详解】对于A，B选项，

圆标准方程为，圆心，半径，

易知动点在直线上，则的最小值为圆心到直线的距离与半径之差.

即.

因为，所以无最大值.

故A正确，B错误；

对于C，D选项，

当直线斜率不存在时，的值为到直线距离的倍，

故，.

故C错误，D正确.

故选:AD.

11．经过点，和直线上一动点作圆，则有（    ）

A．圆面积的最小值是 B．最大值是

C．圆与相切且以点为切点的圆有且仅有一个 D．圆心的轨迹是一段圆弧

【答案】AB

【分析】根据题意，设圆的圆心坐标为，，可知，由圆的性质可知，从而可知圆心在直线上，即可判断D选项；由，利用两点间的距离公式并结合得出，利用基本不等式即可得出，从而得出，即可判断A选项；根据圆心角和圆周角的关系可知，且当越小时，越大，从而可判断B选项；根据直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式即可求出的值，即可判断C选项.

【详解】解：已知，，过三点作圆，

设圆的圆心坐标为，，可知，

到距离相等，则，

在线段的中垂线上，即圆心在直线上，，

所以圆心的轨迹是一条直线，故D错误；

到距离相等，则，

则，

在直线上，，

，即，

则，所以，

当时，则；当时，，

当且仅当时取等号，所以，

则圆的半径，所以圆的半径最小值为，

所以圆面积的最小值是，故A正确；

由于三点都在圆上，可知，

而圆心在直线上，，可知当越小时，越大，

所以当时，，此时，即为的最大值，故B正确；

当圆与相切且以点为切点时，

圆心到直线的距离等于半径，

即，解得：，

所以圆与相切且以点为切点的圆有2个，故C错误.

故选：AB.

12．关于圆C：，下列说法正确的是（    ）

A．k的取值范围是

B．若，过的直线与圆C相交所得弦长为，其方程为

C．若，圆C圆相交

D．若，，直线恒过圆C的圆心，则恒成立

【答案】AC

【分析】根据圆的一般方程可判断A；利用点到直线的距离为可判断B；根据圆心距可判断C；由题可得，然后利用基本不等式可判断D.

【详解】对于A，若方程表示圆，

则，解得，故A正确；

对于B，若，则圆C：，

即，圆心为，半径为

若过的直线的斜率不存在时，直线方程为，则圆心到直线的距离为1，

所以直线与圆C相交所得弦长为，满足已知条件，故直线方程可以为；

若过的直线的斜率存在时，设斜率为m，则直线方程为，即，

设圆心到直线的距离为d，又弦长为，

则，则，即，解得，

故直线方程为；

故满足已知条件的直线方程为或，故B错误；

对于C，，则圆C：，圆心为，半径为2，

圆的圆心为，半径为1，

两圆心间的距离为，且，故两圆相交，故C正确；

对于D，若，圆心为，

若直线恒过圆C的圆心，则，又，

则，

当且仅当，即时等号成立，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．圆的半径为          .

【答案】

【分析】根据给定条件，把圆的方程化成标准方程即可作答.

【详解】圆的标准方程为，所以此圆的半径为．

故答案为：

14．已知两定点，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为          .

【答案】12

【分析】首先求点的轨迹方程，再利用数形结合求的最大值.

【详解】设点，则，

整理为：，

设圆的圆心为，圆的圆心为，

如图，可知，的最大值是圆心距加两个圆的半径，即.

故答案为：12

15．已知直线和两点，在直线上求一点，使最小，则点坐标是        

【答案】

【分析】先判断两点是在直线同侧还是异侧，因为，所以在直线同侧，求关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所求

【详解】因为，所以在直线同侧，

设关于直线的对称点为，

则，解得，即，

，当且仅当共线时等号成立，

，直线方程为，即，

由，解得，

所以所求点坐标为．

故答案为：．

16．在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，则四边形面积最大值为           .

【答案】/

【分析】设直线的方程为，与圆的方程联立，设，由韦达定理表示，令，转化为求利用配方法求的最值可得答案.

【详解】圆，，

由题意直线的斜率不为，

设直线的方程为，与圆的方程联立

得，

，设，

所以，

所以，

所以，

令，则，则，

当时有最大值，

所以有最大值，此时，即.

故答案为：.

四、解答题

17．在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为.

(1)求点和点的坐标；

(2)求边上的高所在的直线的斜截式方程.

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）联立方程组求解即可；（2）由（1）得直线的斜率为即可解决.

【详解】（1）由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，

由，

得，故，

由，

所以所在直线方程为，

所在直线方程为，

由，得

所以点和点的坐标为，.

（2）由（1）知所在直线方程为，

所以直线的斜率为，

因为，

所以直线所在的方程为，即，

所以直线的斜截式方程为.

18．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线，，切点为.

(1)若，试求点的坐标；

(2)求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

【答案】(1)，或.

(2)证明见解析，定点和

【分析】（1）利用点在直线上及直角三角形中的锐角三角函数，结合两点间的距离公式即可求解；

（2）根据已知条件及经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于的恒等式即可求解.

【详解】（1）设，

因为是圆的切线，，

所以,，

所以，解得， ，

故所求点的坐标为，或.

（2）设，的中点，

因为是圆的切线，

所以经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆。

故其方程为，

化简，得，此式是关于的恒等式，

所以，解得或，

所以经过，，三点的圆必过定点和.

19．已知圆经过、两点，且圆心在直线上．

(1)求圆的标准方程；

(2)过点的直线与圆相切，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出线段的垂直平分线的方程，与直线的方程，可得出圆心的坐标，求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；

（2）分两种情况讨论：直线的斜率不存在，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出的值，综合可得出直线的方程.

【详解】（1）解：线段的中点为，直线的斜率为，

所以线段的中垂线方程为，即．

圆心为的中垂线与直线的交点，

联立，解得，故圆心为，

圆的半径，所以圆的标准方程为．

（2）解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意，

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

由题意可得，解得或.

的方程为或．

20．已知圆过两点，且圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）的中垂线过圆心，又圆心在直线上，联立方程组可求得圆心，再由两点间距离公式求得半径，可得圆的方程；

（2）分直线斜率存在和不存在两种类型讨论，由垂径定理求解直线方程即可.

【详解】（1）根据题意，因为圆过两点，，设的中点为，则，

因为，所以的中垂线方程为，即，

又因为圆心在直线上，联立解得所以圆心，

半径，

故圆的方程为．

（2）由题意得，．

当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

则，解得，

所以直线的方程为，即．

综上，直线的方程为或．

21．已知圆M与直线x=2相切，圆心M在直线x+y=0上，且直线被圆M截得的弦长为2.

(1)求圆M的方程，并判断圆M 与圆N：的位置关系；

(2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得?若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)，相交

(2)存在，

【分析】（1）设圆心与半径，根据条件求解即可得到圆方程；根据两圆心之间的距离与半径的关系判断两圆位置关系.

（2）设Q(t，0)，直线，代入圆方程写出韦达定理， 将用表示，代入韦达定理即可得到为定值.

【详解】（1）设圆M的圆心为，半径为r，

因为圆M与直线x=2相切，所以，

又因为直线被圆M截得的弦长为2，所以

解得即圆心坐标为(0，0)，r=2，

所以圆M的方程为 .

由题意知，圆N的圆心为(3，-4)，半径R=，

， .

因为 ，，

所以圆M与圆N相交.

（2）存在.

设l：， ， ，

由得 .

由根与系数的关系，得

假设存在Q(t，0)满足条件，

则 ,

由 ，得，

即

即

即且m≠0，所以 .

所以存在满足条件.

22．已知圆.

（1）若圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程.

（2）点为圆上任意一点，过点引单位圆的切线，切点试探究：平面内是否存在一点和固定常数，使得？

【答案】（1）或，；

（2）存在满足题意的点和，，或，．

【分析】（1）求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于半径减去1可得直线方程；

（2）假设存在一点和固定常数，使得，设，，由得一恒等式，求出．如果无解，说明不存在．

【详解】（1）圆标准方程为，圆心为，半径为，

圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，则圆心到直线的距离为，

由题意截距不为0时，设直线方程，所以，，

所以直线方程为．

截距为0时，设方程为，即，由，解得或，

直线方程为或，

综上，直线方程为或，．

（2）假设存在一点和固定常数，使得，设，，

由切线长公式得，

所以，

，又，

 整理得：，这是关于的恒等式，

所以．显然，解得或．

所以存在满足题意的点和，，或，．