2023-2024学年江苏省淮安市高二上学期期初调研测试数学试题

  2023—2024学年度第一学期期初调研测试

高二数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 过点且与直线平行的直线方程为

A．B．C．D．

2. 设直线与关于直线对称，则直线的方程是

A．B．C．D．

3. 点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径

A．最大值为B．最小值为C．最小值为D．最大值为

4. 已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为

A．1 B． C． D．2

5. 已知圆与圆的公共弦长为2，则m的值为

A． B． C． D．3

6. 已知圆，从点出发的光线要想不被圆挡住直接到达点，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

7. 在平面直角坐标系中，已知点P在直线上，且点P在第四象限，点．以PQ为直径的圆C与直线l的另外一个交点为T，满足，则圆C的直径为

A． B． C． D．

8. 圆和圆的交点为，则有

A．公共弦所在直线方程为 B．公共弦的长为

C．线段中垂线方程为 D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 下列说法中，正确的有

A．点斜式可以表示任何直线

B．直线在轴上的截距为

C．直线关于对称的直线方程是

D．点到直线的的最大距离为

10. 已知点在圆上，动点的坐标为，则

A．的最小值为

B．的最大值为

C．当直线的斜率不存在时，的最大值为1 

D．当直线的斜率不存在时，的最大值为

11. 经过点，和直线上一动点作圆，则有

A．圆面积的最小值是

B．最大值是

C．圆与相切且以点为切点的圆有且仅有一个 

D．圆心的轨迹是一段圆弧

12. 关于圆C：，下列说法正确的是

A．k的取值范围是

B．若，过的直线与圆C相交所得弦长为，其方程为

C．若，圆C圆相交

D．若，，直线恒过圆C的圆心，则恒成立

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 圆的半径为__________.
14. 已知两定点，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为__________.
15. 已知直线和两点，在直线上求一点，使最小，则点坐标是_________
16. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，则四边形面积最大值为___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （10分）

在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为.

(1)求点和点的坐标；

(2)求边上的高所在的直线的斜截式方程.

18. （12分）

已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线，，切点为.

(1)若，试求点的坐标；

(2)求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

19. （12分）

已知圆经过、两点，且圆心在直线上．

(1)求圆的标准方程；

(2)过点的直线与圆相切，求直线的方程．

20. （12分）

已知圆过两点，且圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.

21. （12分）

已知圆M与直线x=2相切，圆心M在直线x+y=0上，且直线被圆M截得的弦长为2.

(1)求圆M的方程，并判断圆M 与圆N：的位置关系；

22. （12分）

已知圆.

(1)若圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程.

2023—2024学年度第一学期期初调研测试

高二数学试题（参考答案）

5.联立和,得，由题得两圆公共弦长，

圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，

所以，

平方后整理得,，所以或（舍去）。

6.由题意知，从点出发的光线与圆相离时，光线不被挡住，

设过点与圆相切的直线方程为，即，

又圆，所以圆心到的距离，解得，故，令，，所以或.

7.如图示：因为PQ为圆C的直径，所以.而为圆心，所以.

又，所以三角形为等腰直角三角形.所以.

因为直线上，且，所以，所以.又，所以.所以点T的坐标满足：，解得：，即.所以，所以.即圆C的直径为.

8.解：对于A，联立两圆方程得，可得，

即公共弦所在直线方程为，故错误；对于B，设到直线：的距离为，则有，则弦长公式得：，故错误；

对于C，由题意可知线段中垂线为直线，又因为，，

所以直线的方程为，故错误；对于D，由，解得或，

取，所以所以，所以。

11解：已知，，过三点作圆，设圆的圆心坐标为，，可知，到距离相等，则，在线段的中垂线上，即圆心在直线上，，所以圆心的轨迹是一条直线，故D错误；到距离相等，则，

则，在直线上，，，即，则，所以，

当时，则；当时，，

当且仅当时取等号，所以，则圆的半径，所以圆的半径最小值为，所以圆面积的最小值是，故A正确；由于三点都在圆上，可知，而圆心在直线上，，可知当越小时，越大，

所以当时，，此时，即为的最大值，故B正确；

当圆与相切且以点为切点时，圆心到直线的距离等于半径，

即，解得：，所以圆与相切且以点为切点的圆有2个，故C错。

12.对于A，若方程表示圆，则，解得，故A正确；对于B，若，则圆C：，即，圆心为，半径为若过的直线的斜率不存在时，直线方程为，则圆心到直线的距离为1，

所以直线与圆C相交所得弦长为，满足已知条件，故直线方程可以为；

若过的直线的斜率存在时，设斜率为m，则直线方程为，即，

设圆心到直线的距离为d，又弦长为，

则，则，即，解得，故直线方程为；

故满足已知条件的直线方程为或，故B错误；对于C，，则圆C：，圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为1，两圆心间的距离为，且，故两圆相交，故C正确；对于D，若，圆心为，若直线恒过圆C的圆心，则，又，则，当且仅当，即时等号成立。

15.因为，所以在直线同侧，

设关于直线的对称点为，

则，解得，即，，当且仅当共线时等号成立，，直线方程为，即，

由，解得，所以所求点坐标为．

16.圆，，由题意直线的斜率不为，

设直线的方程为，与圆的方程联立得，

，设，

所以，所以，

所以，令，则，则，当时有最大值，所以有最大值，此时，即.

17.（1）由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，

由，得，故，

由，所以所在直线方程为，

所在直线方程为，由，得

所以点和点的坐标为，.

（2）由（1）知所在直线方程为，所以直线的斜率为，因为，

所以直线所在的方程为，即，所以直线的斜截式方程为.

18.（1）设，因为是圆的切线，，

所以,，所以，解得，，

故所求点的坐标为，或.

（2）设，的中点，因为是圆的切线，

所以经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆。

故其方程为，化简，得，

此式是关于的恒等式，所以，解得或，所以经过，，三点的圆必过定点和.

19.（1）解：线段的中点为，直线的斜率为，

所以线段的中垂线方程为，即．圆心为的中垂线与直线的交点，联立，解得，故圆心为，

圆的半径，所以圆的标准方程为．

（2）解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

由题意可得，解得或.的方程为或．

20.（1）根据题意，因为圆过两点，，设的中点为，则，

因为，所以的中垂线方程为，即，

又因为圆心在直线上，联立解得所以圆心，

半径，故圆的方程为．

（2）由题意得，．当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，则，解得，

所以直线的方程为，即．综上，直线的方程为或．

21.（1）设圆M的圆心为，半径为r，因为圆M与直线x=2相切，所以，

又因为直线被圆M截得的弦长为2，所以

解得即圆心坐标为(0，0)，r=2，所以圆M的方程为.由题意知，圆N的圆心为(3，-4)，半径R=， ， .因为 ，，所以圆M与圆N相交.

（2）存在.设l：， ， ，

由得.由根与系数的关系，得

假设存在Q(t，0)满足条件，则 ,

由 ，得，

即即

即且m≠0，所以.所以存在满足条件.

22.（1）圆标准方程为，圆心为，半径为，

圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，则圆心到直线的距离为，

由题意截距不为0时，设直线方程，所以，，

所以直线方程为．截距为0时，设方程为，即，由，解得或，直线方程为或，综上，直线方程为或，．

（2）假设存在一点和固定常数，使得，设，，由切线长公式得，所以，，

又，

 整理得：，这是关于的恒等式，

所以．显然，解得或．

所以存在满足题意的点和，，或，．