2023-2024学年黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校高二上学期开学考试数学试题含答案

2023-2024学年黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的乘法可求.

【详解】，

故选：D.

2．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为，从而可得到正确的选项．

【详解】∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，

∴第一个打电话给甲的概率为．

故选B．

【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

3．小王与小张二人参加某射击比赛预赛的五次测试成绩如下表所示，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据表格数据分别求得两人的平均数和方差即可比较大小.

【详解】，，；

，，.

故选：C.

4．为了更好了地解高中学生的身高发育情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样本，其中某班的24位男生身高由低到高排序情况如下：164.0，165.0，165.0，166.0，167.0，168.0，168.0，169.0，170.0，170.0，171.0，171.0，172.0，172.0，172.0，173.0，174.0，175.0，175.0，176.0，176.0，177.0，177.0，178.0（单位：），则这24个数据的中位数、众数，以及预估该班男生的第30百分位数为（　　）

A．171、170、168.5 B．171.5、170、169

C．171.5、172、169 D．172、172、169

【答案】C

【分析】利用中位数，众数，百分位数的定义求解即可.

【详解】这24个数据的中位数为，

众数为172，

∵，∴第30百分位数为第8个数169，

故选：C.

5．设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．，则 B．，则

C．，则 D．，则

【答案】B

【分析】A. 利用直线与平面的位置关系判断； B.利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理判断；C.利用直线与直线的位置关系判断；D.利用平面与平面的位置关系判断.

【详解】A. ，则或，故错误；

B. 过直线a作平面，有，因为，所以，

又因为，所以，所以，故正确

C. ，则或a，b异面，故错误；

D. ，则或相交，故错误；

故选：B

6．在中，点D在边AB上，．记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，

所以．

故选：B．

7．已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为，则根据正四面体的表面积即可得出，从而得出对应的正方体的棱长为1，而正方体的外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径为，最后根据球的体积公式即可得出结果.

【详解】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为，

所以该正四面体的表面积为，

所以，又正方体的面对角线可构成正四面体，

若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，

所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，

所以外接球的直径为，半径为，所以球的体积为．

故选：C.

8．已知分别为三个内角的对边，且，则是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角即可求解.

【详解】由及正弦定理，得,

因为，所以,

所以,即，

当时，因为，所以，

当时，所以，即，

因为所以，

所以为等腰或直角三角形.

故选：D.

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答.

【详解】

对于A，，，与不垂直，A不正确；

对于B，，有，B正确；

对于C，，有，C不正确；

对于D，，由选项C知，，D正确.

故选：BD

10．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（    ）

A．频率分布直方图中的值为0.04

B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20

C．这100名学生体重的众数约为52.5

D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25

【答案】ACD

【分析】利用频率之和为1可判断选项A，利用频率与频数的关系即可判断选项B，利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众数，即可判断选项C，由百分位数的计算方法求解，即可判断选项D．

【详解】解：由，解得，故选项A正确；

体重不低于60千克的频率为，

所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为人，故选项B错误；

100名学生体重的众数约为，故选项C正确；

因为体重不低于60千克的频率为0.3，而体重在，的频率为，

所以计该校学生体重的分位数约为，故选项D正确．

故选：ACD．

11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：

用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（    ）

A．54周岁以上参保人数最少

B．18～29周岁人群参保总费用最少

C．丁险种更受参保人青睐

D．30周岁以上的人群约占参保人群20%

【答案】AC

【分析】A选项，根据扇形统计图可得A正确；B选项，从扇形统计图和折线统计图计算出54周岁以上人群参保总费用比18～29周岁人群参保总费用低，B错误；C选项，从条形统计图可得C正确；D选项，从扇形统计图可得到D错误.

【详解】设抽查的5个险种参保客户的总人数为，

A选项，从扇形图可得到54周岁以上参保人数占比为，人数最少，A正确；

B选项，18～29周岁人群人均参保费用高于3500元，故参保总费用高于，

54周岁以上人群人均参保费用为6000元，故参保总费用为，

由于，故18～29周岁人群参保总费用不是最少的，B错误；

C选项，从条形统计图可看出丁险种所占比例为，比其他险种均高，故更受参保人青睐，C正确；

D选项，30周岁以上的人群约占参保人群为，D错误.

故选：AC

12．在正方体中，，E，F分别为的中点，则下列正确的是（    ）

A． B．

C． D．平面截正方体所得截面面积为

【答案】ABC

【分析】以点D为原点，向量的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积

可判断A，B；求出点E到平面的距离再求体积可判断C；作出截面并求其面积判断D作答.

【详解】在正方体中，以点D为原点，向量的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，

，

对于A，棱DC中点，棱中点，，

，则，即，A正确；

对于B，，，则，即，B正确；

对于C，平面，，

，设平面的一个法向量，

于是得，令，得，则点E到平面的距离d为：

，而，，

，，C正确；

对于D，取中点G，连，则，，点E不在直线上，

则，又，从而有等腰梯形是平面截正方体的截面，

等腰梯形的高，其面积，D不正确.

故选：ABC

三、填空题

13．若复数z满足，则z的虚部为      ．

【答案】5

【分析】求出即得解.

【详解】解：由题得，

所以z的虚部为5.

故答案为：5

14．某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为    ．

【答案】100.

【详解】试题分析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．

详解：分层抽样的抽取比例为，

总体个数为3500+1500=5000，

∴样本容量n=5000×=100．

故答案为100．

点睛：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．分层抽样适用于总体内的个体间有明显差异，将特性相同的分为一类.

15．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为        ．

【答案】0.38

【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求得结果.

【详解】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，

∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

＝P(A)P()＋P()P(B)

＝0.2×0.7＋0.8×0.3

＝0.38.

故答案为：0.38.

16．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为                      

【答案】

【分析】由面面平行的判定定理和性质定理确定F的位置，有此可求EF长度的范围.

【详解】过作，交于点，交于，则底面

∵平面，平面，

平面平面，又平面    平面

又平面平面，平面 ∴

∵为中点    为中点，则为中点

即在线段上

，

，

则线段长度的取值范围为： ，

故答案为：.

四、解答题

17．已知

(1)若与的夹角为，求

(2)若+与垂直，求与的夹角．

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）先计算出，从而求出；

（2）根据向量垂直得到方程，得到，进而利用向量夹角余弦公式进行求解，得到夹角.

【详解】（1），

.

（2），，即，即，

，

又，所以与的夹角为.

18．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)求出的值；

(2)求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）．

【答案】(1)

(2)平均数为41.5岁，中位数42.1岁

【分析】（1）根据频率分布直方图面积之和等于1即可求出结果；

（2）根据平均数和中位数公式即可求出结果.

【详解】（1）由，得．

（2）平均数为：岁；

因为，

所以中位数在之间，

设中位数为，则，

∴岁．

19．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：

（1）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；

（2）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？

（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在和中各有1个的概率.

【答案】（1）0.4；（2）1；（3）答案见解析.

【分析】（1）根据重量在的频数除以总数求得结果；

（2）利用抽取的总数乘以该层所占的比例可求得结果；

（3）先将抽出的苹果标记，然后用有序数对表示出任取两个的所有可能结果，最后分析所有可能结果求解出目标事件的概率.

【详解】（1）苹果的重量在的频率为；

（2）重量在的有（个）；

（3）设这个苹果中重量在的有个，记为；重量在的有个，分别记为；

从中任取两个，可能的情况有：共6种，

设任取个，重量在和中各有个的事件为，则事件包含有共3种，

所以.

20．如图，在正方体中，点为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接BD与AC交于点O，根据O，E为为中点，易得,再利用线面平行的判定定理证明；

（2）根据（1），由得到异面直线与所成的角，然后证得 ，得到是直角三角形求解.

【详解】（1）如图所示：

，

连接BD与AC交于点O，

因为O，E为为中点，

所以,又平面，平面，

所以平面；

（2）由（1）知，则异面直线与所成的角，

在正方体中，

因为，且，

所以平面，又因为平面，

所以 ，

所以是直角三角形，

设正方体的棱长为a,则 ， ，

所以 ，

所以，

故答案为：

【点睛】方法点睛：求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．

21．的内角，，的对边分别为，，．已知.

(1)求角的大小；

(2)若为锐角三角形，且，，求的面积．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由已知结合正弦定理可求，进而可求；

（2）由已知结合余弦定理可求，，然后结合三角形面积公式可求．

【详解】（1）解：由正弦定理，得，又，所以，

又为的一个内角，，

或；

（2）解：为锐角三角形，则，

由余弦定理，

所以，解得（负值舍去），所以．

．

22．在四棱台中，平面，，，，，，垂足为M．

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角正弦值为，求直线与平面所成角的余弦．

【答案】（1）证明见解析，（2）.

【分析】（1）连接，由平面，可得，而，可得平面，从而有，再由可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；

（2）由已知可得平面平面，从而由二面角正弦值为，可得二面角的余弦值为，由条件可得为二面角的平面角，所以，求出，的长，再由平面，可得为直线与平面所成角，从而可求得结果.

【详解】（1）证明：连接，

因为平面，平面，

所以，

因为，，

所以平面，

因为平面，

所以，

因为，,

所以平面，

因为平面，

所以平面平面；

（2）因为，，所以，即，

因为平面，平面，

所以，

因为,所以平面，

因为平面，所以平面平面，

因为二面角正弦值为，

所以二面角的余弦值为，

因为平面，平面，故，

因为，

所以为二面角的平面角，

因为平面，平面，

所以，

所以，

因为

所以，所以，

因为平面，

所以为直线与平面所成角，

所以，

所以直线与平面所成角的余弦为

【点睛】关键点点睛：解题的关键是证出平面平面，然后将二面角正弦值为，转化为二面角的余弦值为，从而为二面角的平面角，属于中档题.