2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市实验中学高二上学期开学考试数学试题含答案

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市实验中学高二上学期开学考试

数学试题

一、单选题

1．已知m、n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则且

C．若，，，则

D．若，，则

【答案】D

【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】对A，若，，则，可能平行，相交，异面，故A错误；

对B，若，，则可能，故B错误；

对C，若，，，则，可能平行，相交，异面，故C错误；

对D，若，则存在，且，又，则，所以，故D正确，

故选：D

2．在中，角的对边分别为，若的面积，且，，则

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角形面积公式，得到，从而得到，再由余弦定理，求出的值.

【详解】由，

所以，即

由，且

，

由余弦定理得：

，.

【点睛】本题考查三角形面积公式，同角三角函数关系，余弦定理，属于简单题.

3．已知外接圆的圆心为，且，，是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据已知条件化简可得，则为圆的直径，即点O为中点，得为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.

【详解】因为，即，

则，

整理得，即，则为圆的直径，

又因为，则为等边三角形，即，

所以在上的投影向量为.

故选：A.

4．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（　　）

A．91m B．74m C．64m D．52m

【答案】B

【分析】利用正弦定理求解即可.

【详解】在△中，,

在△中，,,

则,

由正弦定理得，即，解得,

在△中，，

故选:.

5．已知向量，将向量绕原点逆时针旋转得到向量，将向量绕原点顺时针旋转得到向量，则下列选项错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据向量旋转求出向量、，利用平面向量线性运算的坐标运算可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BCD选项.

【详解】已知向量，将向量绕原点逆时针旋转得到向量，则，

将向量绕原点顺时针旋转得到向量，则，

对于A选项，所以，故A错误；

对于B选项，，

，

所以，，，

所以，，故B正确；

对于C选项，，故C正确；

对于D选项，，

则，故D正确，

故选：A.

6．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ）

A． B． C．4 D．2

【答案】C

【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由二面角的平面角的定义知，

∴，

由，得，又，

∴

，

所以，即.

故选：C.

7．已知三棱锥内接于球，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意分析可知：平面，并且经过球的球心，结合球的性质运算求解.

【详解】设的外接圆圆心为，半径为，

如图，底面中，，则，

因为，则在平面的投影为G，且外接球的球心，

可得，

设外接球的半径为，则，即，解得，

所以球的表面积为：.

故选：C.

8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．

【详解】由

及余弦定理，可得

正弦定理边化角，得

是锐角三角形，

，即．

，，

那么：

则，

故选：

【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略

一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

二、多选题

9．圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（    ）

A．母线长是20 B．表面积是

C．高是 D．体积是

【答案】ABD

【分析】如图所示，设圆台的上底面周长为，由已知求得母线长，即可求得高，再利用表面积和体积公式即可求得表面积和体积，从而得出答案.

【详解】解：如图所示，

设圆台的上底面周长为，因为扇环的圆心角为，所以，又，所以，同理，故圆台的母线，高，

体积，

表面积.

故选：ABD．

10．有下列说法，其中错误的说法为（    ）.

A．、为实数，若，则与共线

B．若、，则

C．两个非零向量、，若，则与垂直

D．若，、分别表示、的面积，则

【答案】AB

【分析】由零与任何向量共线，即可判断B；由三角形的重心的向量表示和性质可判断D；由向量共线的性质可判断A；根据平面向量数量积的运算律判断C．

【详解】解：对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误，

对于B选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错，

对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确，

若，设，，可得为的重心，

设，，，

则，，，由，

可得，故D正确；

故选：AB.

11．下列说法正确的是（    ）

A．某企业有职工150人，其中高级职称有15人，中级职称有45人，一般职员有90人，现抽取30人，进行分层抽样，则各职称人数分别为3，9，18

B．一组数据的平均值为7，方差为4，记的平均值为11，方差为9

C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见是简单随机抽样

D．高二（1）班7人摍舍中每个同学的身高分别为170，168，172，，172，175，176，180，这7人身高的第60百分位数为175

【答案】ABD

【分析】根据抽样比即可求解A，根据平均数和方差的性质即可求解B，根据分层抽样的特征即可求解C，根据百分位数的计算即可求解D.

【详解】对于A，抽样比为，所以高级职称,中级职称以及一般职员分别抽取3，9，18，故A正确，

对于B，一组数据的平均值为7，方差为4，则的平均值为，方差为1，所以的平均值为，方差为9，故B正确，

对于C，行政人员、教师、后勤人员是三个不同的群体，故采用分层抽样比较合适,C错误，

对于D，将7个人的身高从小打到排列为：168，170，172，172，175，176，180，由于，故这7人身高的第60百分位数为第5个数据175，D正确，

故选：ABD

12．如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．平面

B．与平面所成角的余弦值为

C．三棱锥的体积为

D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为

【答案】BD

【分析】取的中点，的中点，连接，则由已知可得平面 ，而底面为矩形，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴 ，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.

【详解】解：取的中点，的中点，连接，

因为三角形为等边三角形，所以,

因为平面平面，所以平面 ，

因为，所以两两垂直，

所以，如下图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴 ，轴，

建立空间直角坐标系，则，

，

因为点是的中点，所以，

平面的一个法向量为，

，显然 与不共线，

所以与平面不垂直，所以A不正确；

，

设平面的法向量为，则

，

令，则，

所以，

设与平面所成角为，

则，

所以，所以B正确；

三棱锥的体积为

，

所以C不正确；

设四棱锥外接球的球心为，则，

所以，

解得，即为矩形对角线的交点，

所以四棱锥外接球的半径为3，

设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，

将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，

故正方体的棱长为，所以，得，

所以正四面体的表面积为，所以D正确.

故选：BD

【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.

三、填空题

13．若为纯虚数，则复数的虚部为         .

【答案】

【分析】根据复数的运算法则，求得，根据题意列出方程组，求得，得到，即看求解.

【详解】由复数，

因为复数为纯虚数，可得，解得，

所以，所以复数的虚部为.

故答案为：.

14．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱底面，底面边长与侧棱长都等于2，，分别为，的中点，则平面与平面之间的距离为        ．

【答案】/

【分析】先证明平面平面，则平面与平面间的距离即为点到平面的距离，以为原点，分别以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离，从而可得答案.

【详解】如图，连接，则，且，

所以四边形为平行四边形，所以，

平面，平面，所以平面，

又，平面，平面，所以平面，

又，平面，所以平面平面，

∴平面与平面间的距离即为点到平面的距离.

根据题意，底面，，两两垂直，

则以为原点，分别以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

∵，，，，

，

设为平面的法向量，则，

即，取可得，

点到平面的距离记为d，

则d＝＝＝，

∴平面与平面间的距离为.

故答案为：.

15．在中，角所对的边分别是，且满足，则的最大值为         .

【答案】2

【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再利用余弦定理结合基本不等式运算求解.

【详解】因为，

由正弦定理可得：，

注意到，

即，

整理得，

且，则，

可得，即，

又因为，则，可得，所以，

由余弦定理可得，

即，当且仅当时，等号成立，

且，可得，所以的最大值为2.

故答案为：2.

16．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形，其中，动点在上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是         .

①若，则    ②若，则

③    ④

【答案】①②④

【分析】建立平面直角坐标系，求得的坐标，设，根据建立等量关系，然后对个说法进行分析，结合三角恒等变换、向量数量积运算、三角函数的最值等知识确定正确答案.

【详解】如图，作，分别以为轴建立平面直角坐标系，

则，

设，则，

由可得，且，

若，则，

解得，（负值舍去），故，①正确；

若，则，所以，

所以，故②正确；

，

由于，故，

故，故③错误；

由于，

故，

而，所以，

所以，故④正确.

故答案为：①②④

【点睛】本题的解题方法包括：坐标法、三角换元法.前者建立平面直角坐标系，利用坐标表示点，然后利用代数的方法对问题进行求解.将点的坐标表示为三角函数后，可以利用三角恒等变换以及三角函数的值域等知识对问题进行求解.

四、解答题

17．某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，…，．

(1)求频率分布直方图中a的值和样本的众数．

(2)若采用分层抽样的方式从评分在，，的师生中抽取10人，则评分在内的师生应抽取多少人？

(3)学校规定：师生对食堂服务质量的评分的均值不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．

【答案】(1)；众数为

(2)5（人）

(3)平均分为；食堂不需要内部整顿

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，求出，再由最高小组的组中值即为众数；

（2）根据频率分布直方图求出频率之比，再按照分层抽样计算可得；

（3）根据频率分布直方图中平均数公式计算平均数即可判断；

【详解】（1）解：由，

解得．

众数为

（2）解：由频率分布直方图可知，

评分在，，内的师生人数之比为

，

所以评分在内的师生应抽取（人）．

（3）解：由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为

．

因为，所以食堂不需要内部整顿．

18．在中，角所对的边分别为，且满足.

(1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长；

(2)若为锐角三角形，求面积的范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦边角关系可得，进而有，应用余弦定理可得，结合已知为等边三角形，则，根据余弦定理求，即可求的长；

（2）由锐角三角形及正弦定理可得且，再应用三角形面积公式及正切函数性质求范围即可.

【详解】（1）由题设，则，故，

又，则，又，则为等边三角形，故，

由，则，

所以（负值舍），故.

（2）由题意，则，又，则，

所以，

由，而，

所以.

19．如图，在三棱柱中，分别为的中点，且平面.

(1)求证：面；

(2)求棱的长度；

(3)若，且的面积，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)1

(3)

【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，则，根据线面平行的判定证结论；

（2）由已知得平面，再由线面垂直、等腰三角形性质有为等腰三角形，即可求线段长；

（3）首先证两两垂直并构建空间直角坐标系，应用向量法求二面角的余弦值，再由平方关系求正弦值即可.

【详解】（1）取的中点，连接，

∵分别为的中点，所以且，

又为三棱柱，且为的中点，则且，

可得且，即四边形为平行四边形，故，

∵面，面

∴面.

（2）由平面，，则平面.

由平面，可得，又为的中点，

所以为等腰三角形，则.

（3）由（2）知，且，所以，即，

则，且.

∵平面平面，则.

∴，解得.

由（1）知平面，平面，则.

又，则，又，则.

由平面，则平面，

由平面，则且，可得，

∴为直角三角形，则.

以为坐标原点，向量方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，

则，

可得，

设平面的法向量为，则

令，得，所以，

∵平面的一个法向量为.

设二面角的平面角为，得，

∴，故二面角的正弦值为.