2023-2024学年福建省厦门海沧实验中学高二上学期开学考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省厦门海沧实验中学高二上学期开学考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省厦门海沧实验中学高二上学期开学考试数学试题 一、单选题1．复数满足，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，求出复数，把写出的形式，即求.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.2．已知向量若，则实数x的值是（    ）A． B．3C． D．2【答案】D【分析】先求出，再利用平行向量的坐标表示求出的值得解.【详解】因为所以因为，所以，解得故选：D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的充要条件， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（  ）A．38 B．39 C．40 D．41【答案】B【分析】根据第75百分位数的定义计算可得答案.【详解】8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，因为，所以第75百分位数为.故选：B.4．已知表示直线,表示平面,下列正确的是(    )A． B．C． D．【答案】C【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系相关定理对选项分别分析判断.【详解】A选项，若，则或m、n异面；B选项，若，则m、n相交或异面；C选项，根据线面垂直的性质定理可知C选项正确；D选项，若，则或.故选：C【点睛】本题考查空间中线面平行、垂直的性质和判定定理的运用，熟练掌握相关的性质和判定定理是解题关键，属于基础题.5．在平行四边形中，若交于点，则A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意知，点E为CD的中点，并设，根据向量加法、数乘的几何意义及向量的数乘运算即可得出，而根据三点B，F，D共线即可得出λ的值，从而用表示出．【详解】如图，∵，∴E为CD的中点，设，且B，F，D三点共线，∴，解得，∴．故选：D．【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，相等向量和相反向量的定义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．6．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据古典概型的概率公式计算出所求事件的对立事件的概率，再用对立事件的概率公式即可求出结果.【详解】甲、乙、丙至多有2种被选取的对立事件为：甲、乙、丙都被选取，记此事件为，依题意所有基本事件为：（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中事件所包含的事件数为1，所以根据古典概型的概率公式可得，再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为.故选：D【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.7．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱CC1的中点，则异面直线AD1与DN所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中点，可得，则（或其补角）是异面直线AD1与DN所成角，在三角形中可求．【详解】如图，取的中点，连接，连接，∵是中点，则，正方体中，则是平行四边形，∴，∴，∴（或其补角）是异面直线AD1与DN所成角，因为正方体棱长为2，则，，是等腰三角形，∴．故选：A．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成角，然后在三角形中求解即可．8．已知为三角形内部任一点（不包括边界），且满足，则的形状一定为（    ）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】设中点为，由题意可知,可得三角形的形状.【详解】设中点为,则，又,\所以，故三角形为等腰三角形，故选：D【点睛】本题主要考查了向量的加法、减法运算，向量垂直，数量积的性质，属于中档题. 二、多选题9．已知是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是（    ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】ABC【分析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线,分别判断选项中的向量是否共线即可.【详解】因为和是平面向量的一组基底,故和不共线,所以和不共线, 和不共线,和不共线,因为,所以和共线故选:.【点睛】本题考查平面向量的基本定理,难度较易.10．下面四个命题中的真命题为（    ）A．若复数满足，则B．若复数满足，则C．若复数，满足，则D．若复数，则【答案】AD【分析】A选项，设，，根据得到，从而；BC选项，可举出反例；D选项，由，得到，D正确.【详解】A选项，设，，则，故，则，故A为真命题；B选项，复数满足，但，故命题B为假命题；C选项，若复数，满足，但，故命题C为假命题；D选项，若复数，则，故D为真命题.故选：AD11．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（    ）A．A与B是互斥事件但不是对立事件B．A与C是互斥事件也是对立事件C．A与D是互斥事件D．C与D不是对立事件也不是互斥事件【答案】ABD【解析】根据互斥事件的定义以及对立事件的定义逐个判定即可.【详解】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；在B中, A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的判定,属于基础题.12．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ）A．在棱上存在点，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面【答案】ABC【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明.【详解】A选项：如图，取的中点，连接， ∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，又为的中点，又，，在平面内，且相交于点，平面，故选项A正确；B选项：由选项A知，平面，又平面，，即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确；C选项：∵平面，  ， 平面，，，又平面平面，是二面角的平面角，设，则，，在直角中，，即，故二面角的大小为，故选项C正确；D选项：因为平面平面，，所以平面，又平面，所以.假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点，所以平面，又平面，所以，而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.故选：ABC. 三、填空题13．在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，根据打分情况，得到专业人士组对选手A打分的平均数为48，方差为14，观众代表组对选手A打分的平均数为56，方差为140，则选手A得分的总方差为             .【答案】【分析】根据题意，结合分层抽样的方法的计算公式，准确计算，即可求解.【详解】解:选手A得分的平均数为，选手A得分的总方差为.故答案为：.14．若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的体积为        .【答案】【分析】运用勾股定理求得正四棱台的高，由台体体积公式计算即可.【详解】由题意正四棱台如图所示，过A作交于点，  则，，所以，所以在中，，又因为，，所以.故答案为：.15．已知直角梯形，，．，，是腰上的动点，则的最小值为      ．【答案】3【解析】以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，设，，根据向量的坐标运算和模的计算得到，，问题得以解决．【详解】解：如图，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，则，，，设，则，，，，当且仅当时取等号，的最小值为3，故答案为：3．【点睛】本题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，属于基础题． 四、解答题16．某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，.得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表：       乙教师分数频数分布表分数区间频数3315193525(1)在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；(2)从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；(3)如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1）【答案】(1)(2)(3)乙可评为年度该校优秀教师 【分析】（1）由频率分布直方图求得70分以上的频率，进而求得70分以下的频率，进而可求得低于70分的人数.（2）运用列举法求基本事件的个数进而可求得概率.（3）运用平均数公式计算即可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图可知，70分以上的频率为， 所以70分以下的频率为，所以对甲教师的评分低于70分的人数：.即：对甲教师的评分低于70分的人数为32人.（2）由频数分布表有3人，有3人， 记的3人为A、B、C，的3人为、、，随机选出2人的基本事件为：，，，，，，， ，，， ，，， ，，共种，评分均在范围内的基本事件为：， ，，共3种，所以2人评分均在范围内的概率.（3）由频率分布直方图可得的频率为： ，所以甲教师的平均数为： ，乙教师的平均数为：，由于乙教师的平均数大于80分，故乙可评为年度该校优秀教师.17．在中，角所对的边分别为，若，，，且.（1）求角的值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得，再用余弦定理即可得到角C；（2），再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.【详解】（1）因为，所以.在中，由正弦定理得，所以，即.在中，由余弦定理得，又因为，所以.（2）由（1）得，在中，，所以.因为，所以，所以当，即时，有最大值1，所以的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.18．如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面，，交于点. （1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱柱的体积.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【分析】（1）证明是中点从而推出，即可得证；（2）由平面推出，平面推出，即可证明线面垂直；（3）由平面推出平面，再由GF是△ACE的中位线得，代入即可得解.【详解】（1）依题意可知：是中点，∵平面，则，而，∴是中点.在中，，又平面，∴平面.（2）∵平面，，∴平面，又平面，则,又∵平面，平面，,平面，平面，∴平面.（3）由（1）知，而平面，∴平面，∴平面.∵是中点，是中点，平面，，则△CBE为直角三角形，∴，.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的判定与证明，椎体体积的求法，属于中档题.