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    2023-2024学年江西省新余市实验中学高二上学期开学检测数学试题含答案

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    这是一份2023-2024学年江西省新余市实验中学高二上学期开学检测数学试题含答案,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2023-2024学年江西省新余市实验中学高二上学期开学检测数学试题 一、单选题1.若集合,则等于A B C D【答案】C【分析】解不等式,可得集合A与集合B,根据交集运算即可得解.【详解】集合解不等式,可得所以所以选C【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题.2.一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍,若该圆锥的体积为,则该圆锥的母线长为(    A3 B C6 D【答案】C【分析】设圆锥的底面圆半径为r,高为h,母线长为l,根据圆锥侧面积与圆的面积关系可得,由勾股定理可得,结合圆锥的体积公式计算即可求解.【详解】设圆锥的底面圆半径为r,高为h,母线长为l则圆锥侧面展开的扇形面积为,底面圆面积为因为,所以,得所以圆锥的体积为解得,所以,即圆锥的母线长为6.故选:C.3.在中,,则    A BC D【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.【详解】可得边中点,如图所示:  故选:B.4.已知,则    A B C D【答案】C【分析】先根据已知条件求出,从而求出,进而利用二倍角的余弦公式求出结论.【详解】因为,所以,所以所以所以.故选:C.5.如图所示,一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形,则原四边形的面积是(    A B C16 D8【答案】B【分析】根据斜二测画法规则求出,判断的形状,确定,由此求出原四边形的面积.【详解】在正方形中可得由斜二测画法可知所以四边形为平行四边形,所以故选:B.6.某教学软件在刚发布时有100名教师用户,发布5天后有1000名教师用户,如果教师用户人数与天数t之间满足关系式:,其中为常数,是刚发布的时间,则教师用户超过30000名至少经过的天数为(    (参考数据:A11 B12 C13 D14【答案】C【分析】根据题意,列出方程组求得,由不等式,结合对数的预算性质,即可求解.【详解】由题意得,可得所以,则所以教师用户超过20000名至少经过.故选:C7.函数的大致图象为(    A   B  C   D      【答案】D【分析】首先判断函数的奇偶性,排除选项,再根据特殊值的正负,再排除选项,即可求解.【详解】函数的定义域为为偶函数,图象关于y轴对称,故排除AC,故排除B故选:D.8.在三棱锥中,平面,则三棱锥的外接球半径为(    A3 B C D6【答案】C【分析】先求出外接圆半径,利用勾股定理求出三棱锥的外接球半径.【详解】由正弦定理得,△外接圆直径为,得r=3.设球心到平面的距离为,则.三棱锥的外接球半径为.故选:C 二、多选题9.下列说法不正确的是(    )A.函数的零点是B.正实数ab满足,则不等式的最小值为C.函数的最小值为2D的一个必要不充分条件是【答案】ACD【分析】A:求出函数的零点即可判断;B:利用和基本不等式即可判断求解;C:令,利用换元法和基本不等式即可判断;D:判断从是否可得,结合充分条件和必要条件的概念即可判断.【详解】对于选项A则函数的零点是,故A错误;对于选项B当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为,故B正确;对于选项C:令,则则函数化为,当且仅当,即时等号成立,t≥2,故等号不成立,即,故C错误;对于选项D:若,则,即的充分条件,故D错误.故选:ACD10.已知复数,则(    A BC D.若,则【答案】ACD【分析】根据复数的乘法运算即可判断A,由模长公式以及共轭的性质即可判断BCD.【详解】由题意,得正确;因为,所以错误;因为,所以C正确;由题意,得,因为,所以D正确.故选:ACD11.将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图像向左平移个单位,得到的图像对应的解析式为(  )A BC D【答案】BC【分析】根据题意,由三角函数的图像变换即可得到变换之后的函数解析式,从而得到结果.【详解】由题意可得,将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数,再将所得的图像向左平移个单位,可得函数,即,且.故选:BC12.如图,四棱锥的底面是正方形,平面ABCD是线段的中点,是线段上的动点,则以下结论正确的是(      A.平面平面B.直线与平面所成角正切值的最大值为C.二面角余弦值的最小值为D.线段上不存在点,使得平面【答案】ABC【分析】对于A,利用线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可;对于BC,利用线面角与面面角的定义,结合的取值范围求解即可;对于D,找特殊点重合时,证得平面,由此得解.【详解】对于A,因为底面平面,所以因为为正方形,所以平面平面,所以平面因为平面,所以因为为线段的中点,所以又因为平面平面,所以平面又因为平面,所以平面平面,故A正确;对于B,由选项A可知平面所以为直线与平面所成角,则不妨设,则在中,中,因为是线段上的动点,故,则所以直线与平面所成角正切值的最大值为,故B正确;对于C,由选项A可知平面平面所以,则为二面角的平面角,因为所以二面角余弦值的最小值为,故C正确;对于D,当重合时,连接,连接,如图,  因为底面是正方形,所以的中点,为线段的中点,所以平面平面,所以平面即线段上存在点,使得平面,故D错误.故选:ABC.【点睛】关键点睛:本题解决的关键是利用线面垂直的判定定理证得平面平面,从而得到直线与平面所成角与二面角的平面角,由此得解. 三、填空题13.已知,且,则的值是           .【答案】【分析】由平方关系求得,再求出即可得解.【详解】解:因为,且所以,且所以.故答案为:.14.甲、乙两名考生填报志愿,要求甲、乙只能在ABC3所院校中选择一所填报志愿.假设每位同学选择各个院校是等可能的,则院校AB至少有一所被选择的概率为         【答案】【分析】利用对立事件的概率计算公式和独立事件的乘法公式即可得到答案.【详解】设事件为院校AB至少有一所被选择,则其对立事件为两人均选择院校,甲选择院校的概率为,乙选择院校的概率为则甲乙同时选择院校的概率为.则院校AB至少有一所被选择的概率为.故答案为:.15.已知)满足,且上单调,则的最大值为        .【答案】【分析】得到,再由函数在区间上单调,求出的取值范围,即可求出的取值集合,从而求出的最大值;【详解】满足,即上单调,,即最大,最大值为故答案为:16.已知,若对,恒有,且点满足的中点,则        【答案】【分析】根据数量积的运算律得到恒成立,即可得到恒成立,根据求出,再根据及数量积的运算律计算可得.【详解】因为因为对,恒有所以恒成立,恒成立,恒成立,所以,所以所以.故答案为: 四、解答题17.已知向量(1),求的值;(2),求的值.【答案】(1)(2) 【分析】1)由向量平行的坐标运算求解;2)由向量垂直的坐标运算求解.【详解】1)因为,所以.2,,则18.在中,其内角ABC所对的边分别是abc,且满足___________请从上述所给的三个条件中任选一个,补充到上面的横线上,并解答下列问题:(1)求角A的大小;(2)已知外接圆的半径为,如图所示,AD的角平分线,且,求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】1)若选利用正切的两角和公式恒等变形即可求解;若选利用余弦的二倍角公式及其辅助角公式恒等变形即可求解;若选利用正弦定理边化角,并利用正弦的二倍角公式恒等变形即可求解.2)利用正弦定理即可求得,利用面积关系及其余弦定理即可求得,最后即可求得的面积.【详解】1)若选,由已知式化简得所以中,所以所以因为,所以若选,在中,则已知式化为所以,即所以因为,所以,所以,即若选,由题设及正弦定理,得中,,且所以,即因为,所以,所以又因为,所以,所以2)由(1)和题设知,外接圆的半径从而在中,由正弦定理得由于所以所以中,由余弦定理,即联立①②,得解得,或(舍去),所以19.某市为了鼓励市民节约用电,实行阶梯式电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过的部分按0.5收费,超过但不超过的部分按0.8收费,超过的部分按1.0收费.1)求某户居民用电费用(单位:元)关于月用电量(单位:)的函数解析式2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量,统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中,今年1月份电费不超过260元的占80%,求的值;3)在(2)的条件下,计算月用电量的75%分位数.【答案】1;(2;(3375千瓦时.【分析】1)根据题意以及分段函数的知识,求得之间的函数解析式.2)先求得用电量低于400千瓦时的占80%,利用频率之和列方程组,解方程组求得的值.3)根据百分位数的计算方法,计算出分位数.【详解】1)当时,时,时,.所以之间的函数解析式为2)由(1)可知,当时,,即用电量低于400千瓦时的占80%结合频率分布直方图可知解得.3)设75%分位数为因为用电量低于300千瓦时的所占比例为用电量低于400千瓦时的占80%,所以75%分位数内,所以,解得即用电量的75%分位数为375千瓦时.20.如图,正方形和菱形所在平面互相垂直,.四棱锥的体积是.  (1)求证:平面(2)求四面体的体积.【答案】(1)证明见详解 (2)  【分析】1)先由,可证明平面平面,进而得证.2)连接于点,连接,先证平面,可证明平面,四面体在面上的高为,由此能求出四面体的体积.【详解】1)证明:因为四边形是正方形,四边形是菱形,所以所以平面平面是平面内的两条相交直线,平面平面,又平面平面.2)解:连接,与交于点,连接,则的中点,四边形是菱形,是正三角形,平面平面,且交线为,平面同理,得平面设正方形的边长为,则解得四面体在面上的高为四面体的体积为:.  21.从以下给出的两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知的内角所对的边分别是,若______1)求角的值;2)求的面积取得最大值时,边的长.【答案】条件选择见解析(1;(22.【分析】1)若选,利用正弦定理化边为角,可得,即得解;若选,利用正弦定理化角为边,可得,结合余弦定理,即得解;2)由,再结合均值不等式可得,再利用面积公式即得解.【详解】1)若选:由正弦定理可化为,因为,所以若选:由正弦定理可化为,即由余弦定理可得,因为,所以2)因为,即所以当且仅当时,取最大值为,即有,解得22.如图,在四棱锥中,,平面平面PADE的中点,FDC上一点,GPC上一点,且.1)求证:平面平面PAB2)若,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.【答案】1)证明见解析;(2【分析】1)从线面垂直的证明入手,证明平面PAB,从而证得平面平面PAB;(2)添加辅助线,找到直线PB与平面ABCD所成的角,再在直角三角形中求其正弦值,也可以建立空间直角坐标系,利用空间向量法进行求解.【详解】1)如图,取的中点M,连接MDME.,所以所以四边形MDFE是平行四边形,所以.因为,所以.因为平面平面PAD,平面平面,所以平面PAD.因为平面PAD,所以.因为,所以平面PAB所以平面PAB.平面EFG,所以平面平面PAB.2)解法:过点P于点H,则平面ABCD,以H为坐标原点,HA所在直线为x轴,过点H且平行于AB的直线为y轴,PH所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.在等腰三角形PAD中,,因为,所以,解得,则所以,所以.易知平面ABCD的一个法向量为所以所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.解法二:由(1)可知平面PAD因为平面PAD,所以.在直角三角形PAB中,由勾股定理可得.过点P于点H,则平面ABCD,连接HB,则是直线PB与平面ABCD所成的角.在等腰三角形PAD中,因为,所以,解得,在直角三角形PHB中,.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及直线与平面所成角的正弦值的求解,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,属于中档题.试题要求考生能根据题干中的信息正确分析出图形中点、线、面之间的位置关系,对逻辑推理、直观想象等核心素养要求较高. 

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