2023-2024学年新疆生产建设兵团第二师八一中学高二上学期8月开学考试数学试题含答案

2023-2024学年新疆生产建设兵团第二师八一中学高二上学期8月开学考试数学试题

一、单选题

1．已知向量，，若，则（    ）

A．1 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式可求出结果.

【详解】因为，所以，解得.

故选：A

2．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】运用正弦定理求解.

【详解】根据正弦定理有，得；

故选：D.

3．已知，若（i为虚数单位），则的值为（     ）

A．3 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】根据复数相等，则实部和虚部分别相等，然后可得.

【详解】因为，，则，所以.

故选：B

4．下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③周期为π的函数有（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的性质判断正余弦及正切函数的区间单调性、最小正周期，即可得答案.

【详解】由在上为减函数，不符合；

由、的最小正周期为，不符合；

而满足题设三个条件.

故选：A

5．已知平面向量，满足，，，则，的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用平面向量的数量积及夹角公式计算即可.

【详解】，

，

设，的夹角为，则，

又，

．

故选：C．

6．已知，则的值为（    ）

A．3 B．－3 C． D．

【答案】B

【分析】利用两角和的正切公式求解.

【详解】解：因为，

所以，

故选：B

7．在中，为的中点，为的中点，设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据图形特征进行向量运算即可.

【详解】因为为的中点，为的中点，

所以，

又因为，，

所以.

故选：C

8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（    ）

A． B． C．8 D．4

【答案】D

【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.

【详解】在中，由可得，

即

所以，因为，

所以，且，

所以，又，可得，

由正弦定理可得．

故选：D.

二、多选题

9．已知复数，则（    ）

A．

B．

C．在复平面内对应的点在第二象限

D．为纯虚数

【答案】BCD

【分析】化简，然后根据复数的几何意义计算即可求解；

【详解】因为，所以故A错误；

故B正确；

在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限，故 C正确；

，为纯虚数，故D正确；

故选：BCD

10．已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（    ）

A．与共线

B．单位向量

C．向量在向量上的投影向量为

D．若，则

【答案】BD

【分析】根据向量共线、单位向量、投影向量和向量垂直的坐标表示依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，不存在实数，使得，则与不共线，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，在上的投影向量为，C错误；

对于D，，，D正确.

故选：BD.

11．为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组．对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ）

A．频率分布直方图中的

B．估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为400

C．估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55

D．估计1000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为

【答案】BC

【分析】由频率之和为1可判断A；求出学生每天体育活动不少于一个小时的概率即可估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数可判断B；由众数的定义可判断C；由百分位数的定义求解可判断D.

【详解】由频率之和为1得：，解得，故A错误；

学生每天体育活动不少于一个小时的概率为：，

则估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为，故B正确；

由频率分布直方图可估计1000名学生每天体育活动时间的众数是，故C正确；

由，，

故第25百分位数位于内，则第25百分位数为.

可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5，故D错误.

故选：BC.

12．下列关于函数的表述正确的是（    ）

A．函数的最小正周期 B．是函数的一条对称轴

C．是函数的一个对称中心 D．函数在区间上是增函数

【答案】ABD

【分析】由正弦型函数周期公式求最小正周期，代入法验证对称轴和对称中心，整体法判断函数区间单调性.

【详解】最小正周期为，A对；

由，故是函数的一条对称轴，B对；

由，故不是函数的一个对称中心，C错；

由，则，故在区间上是增函数，D对.

故选：ABD

三、填空题

13．已知，，则     

【答案】

【分析】根据角的范围和同角三角函数关系即可得到答案.

【详解】因为，

可得，

故答案为：.

14．已知i是虚数单位，若，则           .

【答案】/

【分析】根据复数的除法运算，化简可得，，求模即可得出答案.

【详解】，

所以，.

故答案为：.

15．在中，，，面积，则边长为      ．

【答案】或

【分析】根据三角形面积公式求出角，再根据余弦定理求得.

【详解】，，

又，所以或，

当时，根据余弦定理得：

，；

当时，根据余弦定理得：

，，

故答案为：或.

16．已知，则      ．

【答案】

【分析】利用正弦函数的周期性，诱导公式，求得式子的值.

【详解】，

的周期为，

，

则

.

故答案为：.

四、解答题

17．已知平面向量，的夹角为，且，.

(1)求；

(2)若与垂直，求实数的值.

【答案】(1)19

(2)6

【分析】（1）利用向量数量积的定义及运算律求结果即可；

（2）根据向量垂直，结合数量积的运算律列方程求参数即可.

【详解】（1）由，的夹角为，，，则；

故；

（2）由与垂直，则，

故，可得，解得．

18．学校对高一年级生物学科水平测试模拟考试的成绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：

    (1)求表中，的值和频率分布直方图中的值；

(2)若要使20%的学生达到优秀等次，请预测优秀等次的分数线．

【答案】(1)，，

(2)79.6

【分析】（1）根据所给数据直接求解；

（2）利用频率分布直方图求解，即可预测.

【详解】（1）,,,

（2）设优秀等次的分数线为x，由知在内

则，∴,

∴优秀等次的分数线为79.6

19．在中，，，.

(1)求边长与；

(2)求的面积.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可得解；

（2）利用面积公式计算可得.

【详解】（1）因为，，，

由余弦定理可得，即，解得或（舍去），

又，所以，

利用正弦定理得，即，解得，

又，所以；

（2）由、、，

所以.

20．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)求函数的值域和单调递增区间.

【答案】(1)

(2)值域为，单调递增区间为

【分析】（1）化简函数，结合最小正周期的计算公式，即可求解；

（2）由，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】（1）解：由函数，

所以函数的最小正周期为.

（2）解：由函数，

当时，即，此时；

当时，即，此时，

所以函数的值域为.

令，解得，

所以函数的单调递增区间为

21．已知函数的部分图象如图．

(1)求的表达式；

(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象．若关于方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由图可知，求出周期，再利用周期公式求出，然后将代入函数中可求出的值，从而可求出的表达式；

（2）先由三角函数图象变换规律求出的解析式，令，，则将问题转化为与的图象在有两个不同的公共点，作出函数图象，利用图象求解即可.

【详解】（1）函数的周期为，由图象可得，得

所以，

所以，

因为的图象经过点，

所以，解得，得，

因为，所以，

所以，

（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线：，

因为再把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，

所以，

因为关于的方程在上有两个不同的实数解，

所以在上有两个不同的实数解，

令，则，

因为，所以，

所以，

所以，

所以只需与的图象在有两个不同的公共点，

作出在上的简图如下，

由图可知当或时，与的图象有两个不同的公共点，

所以实数的取值范围为

22．在条件①，②，③中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．

已知的内角的对边分别为，且满足__________．

(1)求角的大小；

(2)若的面积为，求的值．

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】(1)选①②③均可得到

(2)

【分析】（1）选①，由正弦定理和余弦定理求出，得到；选②，由正弦定理结合得到，得到；选③，由余弦定理和正弦定理得到，得到；

（2）由（1）得，结合三角形面积公式得到，结合正弦定理得到.

【详解】（1）若选①：

因为，

所以．

由正弦定理得，

由余弦定理得，

所以，解得．

因为，所以．

若选②：

因为，

所以由正弦定理得．

整理得，

即．

又，

所以．

又因为，所以．

又，所以．

若选③：

在中，由余弦定理，得，

所以．

因为，所以．

由正弦定理，得，

所以，

即．

所以，

因为，所以，

所以，得．

（2）由（1）得，

因为的面积为3，

所以，

所以．

因为，所以．

又由余弦定理得，

所以，所以由正弦定理得．

所以，

所以．