2023-2024学年山西省阳泉市第一中学校高二上学期开学分班数学试题含答案

2023-2024学年山西省阳泉市第一中学校高二上学期开学分班数学试题

一、单选题

1．已知实数集为，集合，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：先求出，再根据集合的交集运算，即可求解结果.

详解：由题意，集合，

所以，又由集合，

所以，故选C.

点睛：本题主要考查了集合的混合运算，熟练掌握集合的交集、并集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

2．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的四则运算化简，再得出的共轭复数.

【详解】

故选：D

【点睛】本题主要考查了复数的除法以及求共轭复数，属于基础题.

3．甲盒中有一个红球，两个白球，这三个球除了颜色外完全相同，有放回地连续抽取两次，每次从中任意抽取一个，取出的两个球中至少有一个白球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先分析总的基本事件个数，再分析满足题意的事件的基本事件个数，最后根据古典概型求出概率即可.

【详解】由题意可知，设抽到红球为事件A，抽到两个白球分别为事件

则基本事件共有,,,,,,,,共9个，

则取出的两个球中至少有一个白球由8个基本事件，

所以由古典概型可知： ,

故选：D

【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

4．已知关于的不等式的解集为，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题得、为方程的根，将代入，即得解

【详解】由题得、为方程的根，

将代入，得，

即，

故选：A

5．若正数满足，则的最小值为

A．9 B．8 C．5 D．4

【答案】A

【分析】将x+4y＝xy，转化为，再由x+y＝（x+y）（）展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．

【详解】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy，

∴,

∴x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+2＝9，当且仅当x＝2y取等号，结合x+4y＝xy，

解得x＝6，y＝3

∴x+y的最小值为9，

故答案为A．

【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.

6．要得到函数的图象，只需要将函数的图象

A．向左平移个单位

B．向右平移个单位

C．向左平移个单位

D．向右平移个单位

【答案】B

【详解】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位．

本题选择B选项.

点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．

7．设非零向量满足，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，由平方化简计算可得.

【详解】解：设，由平方，得，，

化简得，，，又

.

故选：B

8．棱长为1的正四面体中，点，分别是线段，上的点，且满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，，，以这3个向量为空间中的基底，将转化为基底的数量积运算，即可得答案.

【详解】设，，，

由题意可得，，

则

.

故选：A.

【点睛】本题考查空间向量基本定理的运用、数量积运算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意基底思想的运用.

二、多选题

9．不等式成立的充分不必要条件可以是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】求出不等式的解，然后概率充分必要条件的定义判断．

【详解】由得，因此A是充要条件，B既不是充分条件也不是必要条件，CD是充分不必要条件．

故选：CD．

10．已知复数（为虚数单位），则（    ）

A．的共轭复数的虚部为

B．为纯虚数

C．的模为

D．若在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为

【答案】BCD

【分析】由已知复数相等，应用复数的四则运算得，结合各选项的描述即可判断正误.

【详解】，

A：，虚部为，错误；

B：，正确；

C：，所以，正确；

D：，由，其对应的复数为，正确.

故选：BCD.

11．已知、是随机事件，则下列结论正确的是（    ）

A．若、是互斥事件，则

B．若、是对立事件，则、是互斥事件

C．若事件、相互独立，则

D．事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率

【答案】BD

【分析】利用互斥事件的定义可得出，进而可判断A选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用并事件的概率公式以及独立事件的概率公式可判断C选项；列举两个事件所包含的基本情况，可判断D选项.

【详解】对于A选项，若、是互斥事件，则，则，A错；

对于B选项，若、是对立事件，则、是互斥事件，B对；

对于C选项，若事件、相互独立，

则，C错；

对于D选项，事件、至少发生一个包含三种情况：、、，

事件、恰好发生一个包含两种情况：、，

因此，事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率，D对.

故选：BD.

12．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作，为垂足.设，则的取值可以是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】BC

【分析】首先连接，设，，根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，利用勾股定理得到，，，根据得到，即可得到，再根据即可得到答案.

【详解】连接，设，.

因为平面平面，，所以平面.

又因为平面，所以.

在中，，

在中，，

在中，，

设，在中，，

在中，，

所以，即.

又因为，所以.

故选：BC

三、填空题

13．已知函数，则        .

【答案】4

【分析】本题根据分段函数由内向外求函数值即可.

【详解】解：∵ ，

∴ ，，

故答案为：4.

【点睛】本题考查分段函数求函数值，是基础题.

14．已知，，若，则      .

【答案】

【分析】根据给定条件，利用垂直的坐标表示求解作答.

【详解】向量，，且，则，

所以.

故答案为：

15．已知，都是锐角，，，则           ．

【答案】

【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值．

【详解】解：，都是锐角，，

又，，

，，

则

．

故答案为：

【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．

16．已知、、分别为的三个内角、、的对边，且，点是边上的中点，若，则的面积最大值为       ．

【答案】

【分析】利用余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用平面向量的数量积结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】因为，所以，，

即，所以，.

，解得.

，

所以，，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，即的最大值为，

所以，.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

四、解答题

17．集合A＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0}，B＝{x|x＜1或x＞2}，若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】a＞2或a＜0．

【分析】先求出集合A的范围，结合充分不必要条件的定义，建立不等式关系进行求解即可．

【详解】在集合A中x2﹣（2a+1）x+a2+a=（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0得a≤x≤a+1，即A＝{x|a≤x≤a+1}，

且B＝{x|x＜1或x＞2}，因为p是q的充分不必要条件，则A⊊B，即a+1＜1或a＞2，解得a＞2或a＜0，

实数a的取值范围是a＞2或a＜0．

【点睛】本题主要考查充分条件不必要条件的应用，结合条件转化为集合关系是解决本题的关键，属于基础题.

18．已知点A、B、C的坐标分别为、、，.

（1）若，求角的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得的值，根据的范围求得；（2）根据向量的基本运算根据，求得和的关系式，然后用同角和与差的关系可得到，再由化简可得，进而可确定答案．

【详解】（1）∵，

∴化简得，

∵，∴．

（2）∵，

∴，

∴，∴，

∴．

【点睛】本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题，属于中档题.

19．如图，在棱长为的正方体中，点是的中点．

（1）证明：平面;

（2）求三棱锥外接球的表面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）将三棱锥补成长方体，计算出该长方体的体对角线长，可得出外接球的半径，结合球体的表面积公式可求得结果.

【详解】（1）连接交于点，连接，则为的中点，

因为为的中点，则，

平面，平面，因此，平面；

（2）将三棱锥补成长方体，如下图所示：

则长方体的体对角线长为，

所以，三棱锥外接球半径为，因此，三棱锥外接球表面积为.

【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

20．正三棱锥的高为，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，求：

（1）棱锥的表面积；

（2）内切球的半径.

【答案】（1） ；（2）.

【解析】（1）根据正三棱锥棱长与锥体的高关系求出锥体的表面积；

（2）根据等体积法求出内切球的半径.

【详解】（1）如图，过点作平面于，

连结并延长交于，连结，

∵是正三角形，

∴是边上的高和中线，为的中心，

∵，∴，

又，∴，

∴，

∴三棱锥的表面积为；

（2）设内切球的半径为，以球心为顶点，

棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，

∵，∴，

由等体积可得，∴内切球的半径为.

【点睛】对于正三棱锥常构造以下四个直角三角形：

1、斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形；（含侧棱与底边夹角）

2、高、斜高、斜高射影构成的直角三角形；（含侧面与底面夹角）

3、高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形；（含侧棱与底面夹角）

4、斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。

第二问解题关键点是几何体内切球的大小用等体积法求其半径．

21．习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.

(1)求的值及频率分布直方图中的值；

(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?

【答案】(1)2000，

(2)

【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解，

（2）由分层抽样与对立事件的概率公式求解．

【详解】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，

所以，解得.

（2）由（1）知，

所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，

若按分层抽样抽取人，

则调查评分在有人，有人，

因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，

所以选出的人经过心理疏导后，

心理等级均达不到良好的概率为，

所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.

22．已知向量，，且.

(1)求及；

(2)求函数的最小值，并求使函数取得最小值时x的值.

【答案】(1)，；(2)当时，.

【解析】(1)由向量的数量积的计算公式和向量的模的计算公式，结合三角恒等变换的公式，即可求解，得到答案；

(2)利用向量的数量积的运算，求得，再结合题设条件和二次函数的性质，即可求解.

【详解】(1)由向量的数量积的计算公式，可得，

又由

因为，所以，所以.

(2)由函数，

因为，所以，

所以当，即时，函数有最小值，最小值为.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积和向量的模的运算，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记向量的运算公式，合理应用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.