2022-2023学年吉林省长春外国语学校高二上学期开学数学试题含答案

这是一份2022-2023学年吉林省长春外国语学校高二上学期开学数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春外国语学校高二上学期开学数学试题 一、单选题1．设为虚数单位，复数z满足，则复数（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数运算法则直接求解即可.【详解】，.故选：C.2．某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：次品数 频率 则次品数的众数、平均数依次为（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】读懂题意，根据众数和平均数的定义求解.【详解】将频率看作概率，本题所给的表格的意义是：假如这种生产1000个产品这件事发生100次，则没有次品的次数是，有1个次品的次数是，有2个次品的次数是，有3个次品的次数是，有4个次品的次数是，所以出现最多的是次品数，在100次生产中出现次品的平均数；故选：A.3．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg），将所得数据整理后画出了频率分布直方图如图所示，体重在内适合跑步训练，体重在内适合跳远训练，体重在内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（    ）A．4：3：1 B．5：3：1C．5：3：2 D．3：2：1【答案】B【解析】根据频率分布直方图分别计算出概率，从而得到比例即可得解.【详解】解：体重在内的频率为，体重在内的频率为，体重在内的频率为，，可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远投掷三项训练的人数之比为5：3：1，故选：【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.4．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】A【解析】根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.【详解】选项：由线面垂直的性质定理可知正确；选项：由线面垂直判定定理知，需垂直于内两条相交直线才能说明，错误；选项：若，则平行关系不成立，错误；选项：的位置关系可能是平行或异面，错误.故选：【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.5．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是A．57.2，3.6 B．57.2，56.4C．62.8，63.6 D．62.8，3.6【答案】D【详解】平均数是2.8+60=62.8,根据方差公式可知方差不变．6．在中，角的对边分别为，已知，，，那么角等于（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理可求得，根据大边对大角的特点求得.【详解】由正弦定理得：        本题正确选项：【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形的问题，涉及大边对大角的特点，属于基础题.7．已知为的一个内角，向量.若，则角A． B． C． D．【答案】C【分析】 带入计算即可．【详解】即 ,选C.【点睛】本题考查向量向量垂直的坐标运算，属于基础题．8．已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为　　A． B． C． D．【答案】C【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．【详解】解：因为三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为，，，，所以球的半径为：．故选：C．   二、多选题9．已知i为虚数单位，复数，则下列结论正确的是（　　）A．z的共轭复数为B．z的虚部为C．D．z在复平面内对应的点在第一象限【答案】CD【分析】根据复数的运算法则化简，然后逐个判断各选项即可；【详解】解析：因为，所以z的共轭复数为 z的虚部为，，z在复平面内对应的点为，在第一象限．故选C、D.10．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（    ）A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件【答案】BD【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案【详解】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确故选：BD【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题11．在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（    ）A．，，则的外接圆半径是4B．若，则C．若，则一定是钝角三角形D．若，则【答案】BC【解析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D.【详解】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；若，显然，故D错误.故选：BC12．如图垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆上异于，的任一点，则下列结论中正确的是（    ）A． B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】AD【分析】根据线面垂直、面面垂直的判定与性质判断各选项．【详解】是圆直径，在圆上，则，平面，平面，则，，∴平面，又平面，∴，A正确；又平面，∴平面平面．D正确；若平面，则，而平面，则，重合，矛盾，B错；若平面平面，作于，∵平面平面，∴平面，而平面，∴，，∴平面，于是平面与平面重合．矛盾，C错．故选：AD．【点睛】易错点睛：本题考查空间线面、面面垂直的判定定理和性质定理．由于是多选题，仅仅判断AD正确还不够，必须说明（证明）BC为什么是错误的．否则会出错． 三、填空题13．设向量，，若，则        ．【答案】【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由向量，，可得，因为，可得，所以.故答案为：.14．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，那么三人中恰有两人合格的概率是        ．【答案】【分析】计算出甲乙，甲丙，乙丙合格的概率，相加后得到答案.【详解】甲乙合格的概率为，甲丙合格的概率为，乙丙合格的概率为，故三人中恰有两人合格的概率为.故答案为：15．如图，在长方体中，，，，是的中点，则异面直线与所成的角等于          【答案】/【分析】取中点，根据平行关系和异面直线所成角定义可知所求角为，由长度关系可得结果.【详解】取中点，连接，  ，，四边形为平行四边形，，异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角），，，，为等边三角形，，即异面直线与所成角为.故答案为：.16．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）： 武术组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，则a的值为      ．【答案】30【分析】根据三个小组的人数之比，结合抽取30人中武术组被抽出12人列式计算，可得答案.【详解】由题意可知三个小组的人数比为，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，故 ，解得，故答案为：30 四、解答题17．已知，与的夹角为．(1)若，求；(2)若与垂直，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，可得与的夹角或，再由平面向量数量积的定义求解即可.（2）由与垂直可得，再由平面向量数量积的定义求解即可.【详解】（1）因为，所以或，所以．（2）因为与垂直，所以，即，所以．又，所以．18．在一个盒子中装有4支圆珠笔，其中2支一等品（记为，），2支二等品（记为，）．现从这个盒子中不放回地依次随机抽出2支圆珠笔．(1)用集合的形式写出试验的样本空间；(2)求抽出的2支圆珠笔都是一等品的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）将所有的基本事件一一列举出来构成集合即可；（2）由古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】（1）试验的样本空间为.（2）由（1）可知基本事件的总数为6，抽取的两支圆珠笔都是一等品有1种情况，所以抽出的2支圆珠笔都是一等品的概率为：.19．的内角的对边分别为，已知，，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理求出，再根据同角公式求出；（2）由余弦定理可求出结果.【详解】（1）因为，，，由正弦定理，可得，所以．因为，所以，则为锐角，．（2）由余弦定理，得，得，（舍），所以．20．如图；为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,为底面直径,．若是底面的内接正三角形,为上一点,．  (1)求该圆锥的表面积；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意结合圆锥的表面积公式运算求解；（2）根据题意可证平面，利用转换顶点法求体积.【详解】（1）由题意可知：该圆锥的底面半径，母线长，所以表面积.（2）连接由题意可得：，因为平面，平面，可知，由题意可知：，，平面，所以平面，在中，因为，所以，可得三棱锥的高为，所以.  21．如图，在直三棱柱中，，E，F分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)由题意可得，证得，推出平面，即可得到面面垂直；(2)结合图形，利用三角形中位线的性质可证得，进而证得线面平行.【详解】证明：（1）在直三棱柱中，∵平面，平面，∴.又∵，∴.又，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）取的中点G，连接､，如图所示.∵G､F分别是､的中点，∴，且.又∵E为的中点，∴，且.∴，且，∴四边形是平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.22．为了响应市教育局号召， 同时也为提升全市高三学生暑期复习备考的有效性， 教育部门组织名师、 骨干团队开设暑期网络专题课程， 为高三学子保驾护航， 得到了学生和家长的一致认可.某校为检验高三学生暑期网络学习的效果， 对全校高三学生进行期初数学测试， 并从中随机抽取了100名学生的成绩， 以此为样本， 分成 ，，，， 五组， 得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中的值；(2)估计该校高三学生期初数学成绩的平均数和分位数；(3)为进一步了解学困生的学习情况， 从数学成绩低于70分的学生中， 分层抽样6人， 再从6人中任取2人， 求2人中至少有1人分数低于60分的概率.【答案】(1)0.001；(2)平均数为75.5,75%分位数为84；(3).  【分析】（1）根据小矩形面积之和为1即可求得答案；（2）每个小矩形的面积乘以该小矩形底边中点之和即可求得平均数，然后根据百分位数的定义求得75%分位数；（3）先求出前两组分别抽取的人数，再结合对立事件求概率的方法即可求得答案.【详解】（1）由题意，.（2）第一组到底五组的频率分布为：0.1，0.2，0.35，0.25，0.1，所以数学成绩的平均数为.前三组频率之和为0.65，前四组频率之和为0.9，设75%分位数为80+x，则，则75%分位数为84.（3）由（2）可知，前两组频率分别为0.1，0.2，比例为1:2，则第一组2人，第二组抽取4人，则所求概率.