2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果.

【详解】由抛物线方程知其焦点在轴上且，其焦点坐标为.

故选：C.

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据必要不充分条件的定义可得答案.

【详解】由不一定能推出，如当时，，但是，

由，可以推出，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3．下列叙述中，错误的是（    ）

A．数据的极差反映了数据的集中程度

B．数据的标准差比较小时，数据比较分散

C．样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响

D．任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变

【答案】B

【分析】根据极差、标准差、中位数和平均数的概念逐个选项分析可得答案.

【详解】数据的极差反映了数据的集中程度，故A正确；

数据的标准差比较小时，数据比较集中，故B错误；

样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响，故C正确；

任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确.

故选：B.

4．完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是（    ）

A．①简单随机抽样，②系统抽样

B．①分层抽样，②简单随机抽样

C．①系统抽样，②分层抽样

D．①②都用分层抽样

【答案】B

【分析】可以从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法，①中某社区420户家庭的收入差异较大;②中总体数量较少，且个体之间无明显差异.

【详解】①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法;②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法．故选：B

【点睛】本题主要考查抽样方法的特点及适用范围，属于容易题.

5．已知命题p：直线的倾斜角为；命题q：椭圆的长轴长为2．则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断出命题与的真假，再根据真值表可得答案.

【详解】因为直线的斜率为，倾斜角为，故命题p为真命题；

因为椭圆的长轴长为，故命题q为假命题，

所以为假命题，为假命题，为真命题，为假命题.

故选：C

6．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据.由表中数据，求得线性回归方程为.若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（    ）

A．9.2 B．9.7 C．9.5 D．9.9

【答案】C

【分析】求出，线性回归方程恒过，代入即可求出，再令x＝12，代入求解即可.

【详解】由表中数据可得，，，

线性回归方程为，则，解得，

故，当x＝12时，.

故选：C.

7．向半径为2的圆中均匀投点M个，若落入其内接正方形的点有N个，则圆周率近似值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何概型的概率公式可得结果.

【详解】半径为的圆的面积为，其内接正方形的边长为，面积为，

根据几何概型的概率公式得，所以.

故选：B.

8．《九章算术》中介绍了一种研究两个整数间关系的方法即“更相减损术”，该方法的算法流程图如图所示，若输入a＝12，b＝8，i＝0，则输出的结果为（    ）

A．a＝6，i＝2 B．a＝5，i＝3 C．a＝4，i＝2 D．a＝4，i＝3

【答案】D

【分析】模拟程序运行的过程，分析循环中各变量值的变化，可得答案.

【详解】初始值a＝12，b＝8，i＝0，

第一次执行循环体后，i＝1，a＝4，不满足退出循环的条件；

第二次执行循环体后，i＝2，b＝4，不满足退出循环的条件；

第三次执行循环体后，i＝3，a＝b＝4，满足退出循环的条件；

故输出i＝3，a＝4，

故选：D.

9．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据列举法和古典概型的概率公式可得结果.

【详解】从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中随机抽取两张卡片，则抽到的两张卡片上的数字之积有，共种，

其中抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的有，共种，

所以所求概率为.

故选：C.

10．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度|AB|＝6m，那么车辆通过隧道的限制高度约为（    ）

A．3.1m B．3.3m C．3.5m D．3.7m

【答案】B

【分析】根据题意，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，得到抛物线方程，即可得到结果.

【详解】  

取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，

则，

设抛物线方程，将点C代入抛物线方程得，

∴抛物线方程为，

行车道总宽度，

∴将代入抛物线方程，则，

∴限度为.

故选：B.

11．已知三棱锥的底面是正三角形，侧面底面，且，，若该三棱锥的外接球的表面积为，则AB的值为（    ）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】设的外接圆的圆心为，设为的中点，推出为三角形的外接圆的圆心，设该三棱锥的外接球的球心为，取的中点，根据球的性质推出四边形为矩形，所以，再根据已知条件计算可得结果.

【详解】设的外接圆的圆心为，连，并延长交与，则为的中点，

设为的中点，因为侧面底面，，平面平面，平面，

所以底面，又底面，所以，所以为三角形的外接圆的圆心，

设该三棱锥的外接球的球心为，连，，则平面，平面，

取的中点，则，因为底面，所以平面，

所以，

因为平面，平面，所以，

因为平面，平面，所以，

所以四边形为矩形，所以，

因为三棱锥的外接球的表面积为，所以，得，

设，则，，

因为，，，所以，

所以，

由，得，得，即.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据面面垂直的性质定理和球的性质求解是解题关键.

12．已知F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且与C的右支交于点Q，若（O为坐标原点），则C的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】因为，O是的中点，所以为PF2的中点．又，到渐近线的距离为，得出的余弦值，在△QF2F1中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可.

【详解】根据对称性不妨设P为第一象限的点，

∵O为F1F2的中点，又，∴Q为PF2的中点，

又F2（c，0）到的距离，

∴|PF2|＝b，∴|QF2|＝，

连接，所以，又|F1F2|＝2c，

∵PO的斜率为，又QF2⊥PO，

∴QF2的斜率为，∴，∴，

在△QF2F1中，由余弦定理可得：

，化简可得a＝b，

∴双曲线C的离心率为＝.

故选：A.

二、填空题

13．写出使“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的m的一个值    .

【答案】4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）

【分析】由双曲线焦点在x轴上的特征求解即可.

【详解】∵方程表示焦点在x轴上的双曲线，

则，即，

∴“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的m的一个值4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.

故答案为：4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.

14．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值是      .

【答案】5

【分析】作出不等式组对应的平面区域，再由几何意义求解即可.

【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：

由得，

平移直线，

由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，

此时z最大，

由解得，此时，

故答案为：5.

15．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台O′O的母线长为        cm.

【答案】9

【分析】设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，利用相似知识，求出圆台的母线长．

【详解】：∵截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，

∴圆台的上、下底面半径之比是1：4，

如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，

根据相似三角形的性质得 ．

解此方程得y=9．

所以圆台的母线长为9cm．

故答案为9cm．

【点睛】本题考查圆锥与圆台的关系，考查计算能力．属基础题.

16．关于曲线有如下四个命题：

①曲线C经过第一、二、四象限；

②曲线C与坐标轴围成的面积为；

③直线与曲线C最多有两个公共点；

④直线与曲线C有且仅有一个公共点.

其中所有真命题的序号是         （填上所有正确命题的序号）.

【答案】①③④

【分析】分，，，四种情况讨论，去绝对值符号，作出曲线的图象，根据图象逐一分析即可.

【详解】当，可得曲线方程为，为圆的一部分；

当，可得曲线方程为，为双曲线的一部分；

当，可得曲线方程为，为双曲线的一部分；

当，曲线方程为，不存在这样的曲线；

作出曲线得图象，如图所示，

由图可知，曲线C经过第一、二、四象限，故①正确；

②中，围成的面积S＝，故②不正确；

③中，因为直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，

圆心O到直线的距离，，

则时，直线与曲线相切，只有一个交点，

当时，直线与曲线有两个交点，

当或时，直线与曲线无交点，

所以直线与曲线C最多有两个公共点，故③正确；

④由图象知直线与曲线C有且仅有一个公共点，故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：去绝对值符号，作出曲线的图象，是解决本题的关键.

三、解答题

17．已知函数，.

(1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由题意可得判别式小于0，由此即可求出的范围；

（2）化简不等式，然后讨论，，三种情况，根据一元二次不等式的解法即可求解．

【详解】（1）因为不等式的解集为，则，解得，

所以实数的范围为；

（2）不等式化简为，即，

因为方程的两根分别为，，

当时，不等式化为，此时不等式无解，

当时，解不等式可得，

当时，解不等式可得，

综上可得：当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为．

18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，E，F分别为SD，BC的中点．

(1)证明：平面；

(2)若平面平面，．求证：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）取的中点，连，，可证四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理可证平面；

（2）先推出，再根据面面垂直的性质定理推出平面，从而可得.

【详解】（1）取的中点，连，，

因为为的中点，所以，，

又底面为菱形，为的中点，所以，，

所以，，所以四边形为平行四边形，

所以，因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为底面为菱形，，所以，

所以为等边三角形，因为为的中点，所以，

因为，所以，

因为平面平面，平面平面， 平面，

所以平面，因为平面，

所以.

19．某线上零售产品公司为了解产品销售情况，随机抽取50名线上销售员，分别统计了他们2022年12月的销售额（单位：万元），并将数据按照[12，14），[14，16）…[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计该公司销售员月销售额的平均数是多少（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）？

(2)该公司为了挖掘销售员的工作潜力，拟对销售员实行冲刺目标管理，即根据已有统计数据，于月初确定一个具体的销售额冲刺目标，月底给予完成这个冲刺目标的销售员额外的奖励.若该公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，你为该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是多少？并说明理由.

【答案】(1)18.32（万元）

(2)20.8万元，理由见解析

【分析】（1）根据概率和为1算出a的值，再根据频率分布直方图即可计算结果；

（2）根据频率分布直方图即可求解.

【详解】（1）根据频率分布直方图可得：

（0.03+a+0.12+0.14+0.1+0.04）×2＝1，

解得a＝0.07，

∴该公司销售员月销售额的平均数为：

＝13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2＝18.32（万元）；

（2）设该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是x，

则根据频率分布直方图可得：

（22﹣x）×0.1+0.08＝0.2，

解得x＝20.8，

∴该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是20.8万元.

20．已知圆心为C的圆过点，，在①圆心在直线上；②经过点这两个条件中任选一个作为条件.

(1)求圆C的方程；

(2)经过直线上的点P作圆C的切线，已知切线长为4，求点P的坐标.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)或

【分析】（1）根据题意，若选①，可得直线垂直平分线所在直线方程，然后与直线联立，即可得到圆心，从而得到圆C的方；若选②，可设圆的方程一般式，然后将点的坐标代入，即可得到结果；

（2）根据题意，由条件列出方程，然后求解，即可得到结果.

【详解】（1）若选①，∵圆过点，，则直线的斜率为，

所以与直线垂直的直线斜率，且的中点为，即，

则的垂直平分线所在直线方程为，即，

又知圆心在直线上，

∴，解得，所以圆心.

半径为.

所以圆的标准方程为.

若选②，设圆的方程为，（其中），

则，解得，

所以，圆方程为，

化为标准方程为.

（2）设，∵经过直线上的点P作圆C的切线，切线长为4，

∴，化简得，

∴，解得或，

∴点P的坐标为或.

21．在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．

(1)求E的方程，并说明E为何种曲线；

(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．

【答案】(1)E的方程为，曲线E是抛物线.

(2)证明见解析

【分析】（1）设圆心，根据动圆过点，且在轴上截得的弦长为4列式可得结果；

（2）设直线：，代入得，，再利用斜率公式和推出，从而可得结论成立.

【详解】（1）设圆心，半径为，

因为圆心为C的动圆过点，所以，

因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为4，所以，

所以，即，所以曲线E是抛物线.

（2）设直线：，

联立，消去并整理得，

，即，

设，，则，，

因为，，

所以，

所以，

将，代入得，即，

所以直线：，即，

所以直线BD经过定点.

22．已知椭圆的离心率为，过C的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，当l垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；

(2)若点M满足，过点M作AB的垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记，（O为坐标原点）的面积分别为，，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据和求出和可得结果；

（2）设直线：，代入椭圆方程，求出的中点的坐标，再求出直线的方程，得的坐标，再求出，然后换元，利用导数得单调性，根据单调性可求出取值范围.

【详解】（1）设，当时，，，，

依题意得，又，，

解得，，所以C的方程为.

（2）由（1）知，，由题意可知，直线的斜率存在且不为，

设直线：，，，因为，所以为的中点，

联立，消去并整理得，

恒成立，

，，

所以，

所以，

则直线的方程为，

令，得，即，

令，得，即，

则，，

由题意得与相似，所以，

所以

，

所以，

设，因为，所以，

令，，，

所以为上的增函数，

所以，

所以的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：设直线：，利用表示的坐标，进而表示，再根据函数的单调性求取值范围是解题关键.