2022-2023学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学高二上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题设条件和双曲线的性质，在三角形值寻找等量关系，得到之间的等量关系，进而求出离心率.

【详解】依题意，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知，

根据双曲定义可知，整理得，

代入整理得，求得；

∴．

故选：D．

【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率问题，正确解题的关键是熟练掌握双曲线的性质，以及寻找判断三角形中边的关系.

2．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（    ）

A．3 B．5 C． D．13

【答案】B

【分析】由，结合图形即得.

【详解】因为椭圆，

所以，，

则椭圆的右焦点为，

由椭圆的定义得：，

当点P在点处，取等号，

所以的最大值为5，

故选：B.

3．如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（      ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．

【详解】-＝，

.

故选：A．

4．已知边长为2的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立直角坐标系，设，写出的坐标，利用列式得关于的等式，可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，写出直线的方程，计算和点距离直线的最小距离，代入三角形面积公式计算.

【详解】以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，

设，因为，所以，得，

所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最小距离为：，所以面积的最小值为.

故选：A

5．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

6．设、，向量，，且，，则（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.

【详解】因为，则，解得，则，

因为，则，解得，即，

所以，，因此，.

故选：D.

7．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.

【详解】到点的距离为2的点在圆上，

所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，

即两圆相交，故，

解得或，

所以实数a的取值范围为，

故选：A．

8．已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即可求得离心率的取值范围.

【详解】由椭圆的定义得，又∵，∴，，

而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，

即，即，则，即.

故选：D．

9．如果且，那么直线不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据横截距和纵截距的范围求得正确答案.

【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；

令，得；令，得；

所以直线不经过第三象限.

故选：C

10．已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直线经过点，且与圆相切可知，再使用点斜式即可.

【详解】直线经过点，且与圆相切，则,

故直线的方程为，即.

故选：A.

11．空间四边形中,点在上,且, 为中点,则等于(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】按照向量运算律计算即可

【详解】因为,所以

因为为BC中点,所以

所以

故选：B

12．已知两点到直线的距离相等，则（    ）

A．2 B． C．2或 D．2或

【答案】D

【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.

【详解】（1）若在的同侧，

则，所以，，

（2）若在的异侧，

则的中点在直线上，

所以解得,

故选:D.

二、填空题

13．如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且.则下列结论：

①长度的最小值为；

②当时，与相交；

③始终与平面平行；

④当时，为直二面角．

正确的序号是          ．

【答案】①③

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间中两点间的距离公式、二次函数的基本性质可判断①的正误，证明、、不共面可判断②的正误，利用空间向量法可判断③的正误，利用二面角的定义可判断④的正误.

【详解】因为平面平面，平面平面，，平面，平面，

因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、、、、、.

对于①，，

当且仅当时，等号成立，①正确；

对于②，当时，，，

，，，

设，即，该方程组无解，所以，②错误；

对于③，、.

，平面的一个法向量为，

，则，平面，平面，③正确；

对于④，当时，、.

设平面的法向量为，，，

由，得，取，可得，

设平面的法向量为，，，

由，得，取，可得，

所以，，此时，二面角不是直二面角，④错误.

故答案为：①③.

【点睛】结论点睛：利用空间向量法处理平行与垂直问题：设直线、的方向向量分别为，，平面、的法向量分别为，.

（1），，

；

（2）；

（3），；

（4）；

（5），，；

（6）.

14．过四点中的三点的一个圆的方程为            ．

【答案】或或或．

【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；

【详解】[方法一]：圆的一般方程

依题意设圆的方程为，

（1）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（2）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（3）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；

故答案为：或 或 或．

[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）

设

（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，

则，所以圆的方程为；

（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；

（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；

（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．

故答案为：或 或 或．

【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；

方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．

15．已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长         ．

【答案】

【分析】将圆的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.

【详解】由题可知：

，即

且

由两圆向外切可知，解得

所以

到直线的距离为，设圆的半径为

则直线被圆所截的弦长为

故答案为：

16．在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是      ．

【答案】

【分析】求得点关于轴的对称点为，结合圆的性质，即可求解.

【详解】由圆，得圆心坐标，半径为，

求得点关于轴的对称点为，

可得.

如图所示，可得爬到的最短路程为.

故答案为：

17．直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m=           .

【答案】1

【分析】求出直线MN过定点A（1,1），进而判断点A在圆内，当时，|MN|取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可.

【详解】直线MN的方程可化为，

由，得，

所以直线MN过定点A（1，1），

因为，即点A在圆内.

当时，|MN|取最小值，

由，得，∴，

故答案为：1.

三、解答题

18．已知直线和直线.

(1)当m为何值时，直线和平行？

(2)当m为何值时，直线和重合？

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）（2）由直线平行与重合的公式列方程组求解.

【详解】（1）由题意，，

得，解得或

当或时，直线和平行.

（2）由题意，，

得，解得，

当时，直线和重合.

19．已知圆与圆.

(1)求证：圆与圆相交；

(2)求两圆公共弦所在直线的方程.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求两个圆的圆心距结合两圆位置关系即可证明；

（2）直接利用两圆方程作差即可得出公共弦方程.

【详解】（1）将圆：化为标准方程为，

，，

圆的圆心坐标为，半径为，

，

，

两圆相交；

（2）由圆与圆，

将两圆方程相减，可得，

即两圆公共弦所在直线的方程为.

20．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，异面直线与所成的角为 .

(1)在平面内是否存在一点M，使得直线平面，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；

(2)若二面角的大小为 ，求P到直线的距离.

【答案】(1)存在，在平面可以找到一点，使得直线平面

(2)

【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，即，故，从而找到点M的位置；

（2）先求出是二面角的平面角，大小为，得到，设，则，建立空间直角坐标系，求出方向上的单位向量，求出P到直线的距离.

【详解】（1）延长交直线于点，

点为的中点，

，

，

∴，

，即，

四边形为平行四边形，即.

，

∴，故，

平面平面，

平面，

平面，

平面，

故在平面内可以找到一点，使得直线平面；

（2）如图所示，，即，

且异面直线与所成的角为，即，

又平面，

平面.

平面，

又平面，

平面，

平面，

，

因此是二面角的平面角，大小为.

.

不妨设，则.

以A为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，

建立空间直角坐标系，

，

，方向上的单位向量坐标为，

则在上的投影的绝对值为，

所以到直线的距离为.

21．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）．

(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；

(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）结合图形可证四边形是平行四边形，可得，可得∥平面；

（2）根据题意结合二面角的定义可得，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角．

【详解】（1）取线段中点，连接，

由图1可知，四边形是矩形，且，

是线段与的中点，

且，

在图1中且，且．

所以在图2中，且，

且

四边形是平行四边形，则

由于平面，平面

平面

（2）由图1，，折起后在图2中仍有，

即为二面角的平面角．

，

以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系如图，

且设，

则，

，

，

设平面的一个法向量，

由，得，取则

于是平面的一个法向量，

，

∴直线与平面所成角的正弦值为