2022-2023学年山东省泰安市宁阳县第四中学高二上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山东省泰安市宁阳县第四中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由空间向量的加减结合相反向量的运算可得答案.

【详解】

故选：A

2．已知的三个顶点为，，，则边上的中线长为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据中点坐标公式以及点点距离公式即可求解.

【详解】边上的中点为,所以,

故选：C

3．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，及可求解．

【详解】由，得，故斜率为，因，所以倾斜角．

故选：D．

4．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】D

【分析】由题意，分截距为或不为两种情况，分别设对应的直线方程，代入已知点，可得答案.

【详解】显然，所求直线的斜率存在．

当两截距均为时，设直线方程为，将点代入得，此时直线方程为；

当两截距均不为时，设直线方程为，将点代入得，此时直线方程为．

故选：D．

5．双曲线3x2－y2＝9的焦距为(　　)

A．  B．2 C．4 D．2

【答案】C

【分析】双曲线化为标准方程，求出双曲线的实半轴与虚半轴，即可求解双曲线的焦距.

【详解】双曲线化为标准方程，

的实半轴,虚半轴 ,

则，

双曲线的焦距为，故选C.

【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程以及几何性质，意在考查对基础知识的掌握与应用,属于简单题.

6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.

【详解】因为抛物线的焦点坐标为，

双曲线的渐近线方程为,

由点到直线的距离公式可得.

故选：B

7．在等差数列中，若，，则等于（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】D

【分析】设出等差数列的公差，然后根据等差数列通项公式的基本量进行求解.

【详解】设等差数列的公差为，则，故

而.

故选：D

8．设为等比数列的前项和，且，则等于（    ）

A． B． C．5 D．11

【答案】A

【分析】根据已知求出数列公比即可由等比数列求和公式得出.

【详解】，，，则公比，

，，.

故选：A.

二、多选题

9．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B． C． D．与相交

【答案】BD

【分析】依题意可得，即可判断.

【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，

，即，，则与相交.

故选：BD

10．把圆的半径减小一个单位正好与直线相切，则实数的值为（    ）

A．3 B．3 C．0 D．1

【答案】AB

【分析】根据点到直线距离公式和直线与圆相切的几何关系即可求解.

【详解】圆的方程可变为，圆心为，半径为，

由题意得，

解得．

故选：AB.

11．已知方程，则

A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示双曲线

C．当时，方程表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线

【答案】BD

【解析】根据椭圆，双曲线，抛物线的定义依次判断每个选项得到答案.

【详解】A. 取，此时表示圆，错误；

B. 当时，方程表示焦点在轴或轴上的双曲线，正确；

C. 当，时，方程不成立，错误；    

D. 方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确；

故选：.

【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解.

12．已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（    ）

A．数列是等差数列 B．数列是等比数列

C．数列的通项公式为 D．

【答案】BCD

【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，由数列的裂项相消求和可得.

【详解】解：由即为，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，

又，可得

故选：BCD

三、填空题

13．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为       

.

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，再用夹角公式计算.

【详解】不妨设CB＝1，建立如下的空间直角坐标系，

则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1).

∴.

∴.

故答案为：

14．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为           .

【答案】或

【分析】设直线方程为，根据题设条件得到关于的方程组，解方程组后可得所求的直线方程.

【详解】设直线的方程为，则，且，

解得或者，

∴直线l的方程为或，即或.

故答案为：或.

15．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为        ．

【答案】

【详解】双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．

答案：

16．已知数列an＝则S100＝        ．

【答案】5000

【分析】利用分组求和法即可求解.

【详解】由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100

＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)

＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000．

故答案为：5000

四、解答题

17．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．

【答案】，

【分析】根据题中条件，由向量的线性运算，即可得出；再由向量模的计算公式，结合题中条件，可求出，即得出结果.

【详解】解：因为是的中点，底面是正方形，

所以

，

又由题意，可得，，，，

，

因此

，

所以，即的长为.

18．已知正方形的中心为直线和的交点，正方形一边所在直线方程为，求其它三边方程．

【答案】其它三边所在直线方程为，，

【分析】先联立求得正方形的中心，再根据正方形各边的性质，设相邻两边方程为和，根据点到各边的距离相等列式求解即可

【详解】联立得，故正方形的中心为，又正方形相邻两边互相垂直，一边所在直线方程为，故可设正方形相邻两边方程为和，∵点到各边的距离相等，故，即，故或，或，故其它三边所在直线方程为，，

19．已知P是直线上的动点，、是圆的两条切线，A、B是切点.

（1）求四边形面积的最小值；

（2）直线上是否存在点P，使？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）不存在；答案见解析.

【分析】（1）如图，而，所以只要当最小时，四边形面积取最小值，而的最小值为点到直线的距离；

（2）由（1）知圆心C到直线的最小距离为3，即，而要使，就要，所以不存在

【详解】解析（1）易知.如图，连接，

易知.

因为，

所以当最小时，最小.

的最小值即为点C到直线的距离，故，

所以，

所以，

即四边形面积的最小值为.

（2）不存在.理由：

由（1）知圆心C到直线的最小距离为3，即，要使，则，显然不成立，所以这样的点P是不存在的.

【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题

20．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，

则，

解得，

所以点A到平面的距离为；

（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,

又平面平面，平面平面，

且平面，所以平面，

在直三棱柱中，平面，

由平面，平面可得，，

又平面且相交，所以平面，

所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得，所以，，所以，

则,所以的中点，

则，,

设平面的一个法向量，则，

可取，

设平面的一个法向量，则，

可取，

则，

所以二面角的正弦值为.

21．已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，且数列的前项和为，求证：.

【答案】(1).(2)见详解.

【分析】(1)设公差为，由已知条件列出方程组，解得，解得数列的通项公式.

(2)得出，可由裂项相消法求出其前项和，进而可证结论.

【详解】(1)设等差数列的公差为().

由题意得则

化简得解得

所以.

(2)证明：，

所以

.

【点睛】本题考查等差数列和等比数列的基本量运算、裂项相消法求和、不等式的证明.通项公式形如的数列，可由裂项相消法求和.

22．设椭圆为左右焦点,为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.

(Ⅰ)求椭圆的方程

(Ⅱ)设动直线椭圆有且仅有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在求出点的坐标,若不存在.请说明理由.

【答案】（1） （2）存在定点P(1,0)

【分析】（Ⅰ）由椭圆长轴长为4，焦距为2c，且b＞c，△BF1F2的面积为，列方程组，求出a，b，c，得椭圆方程．（Ⅱ）将直线l方程与椭圆方程联立，由直线与椭圆有且只有一个公共点，求出M，由，得N（4，4k+m）．假设存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．设P（x1，0），由，得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3＝0，由此可求出满足条件的定点.

【详解】(1)由题意知，解得：，故椭圆C的方程是．

(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．

因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，

即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)

此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－

由得N(4,4k＋m)．

假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．

设P(x1,0)，则对满足(*)式的m、k恒成立．

因为＝(－，＝(4－x1,4k＋m)，由，

得-＋－4x1＋x＋＋3＝0，

整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)

由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.

故存在定点P(1,0)，使得以MN为直径的圆恒过点M.

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查是否存在以线段为直线的圆恒过定点的判断与求法，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．