专题13 一元函数导数及其应用（选择题）--《2023届浙江省高考数学一轮复习提升训练01》【解析版】

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专题13 一元函数导数及其应用（选择题）
一、单选题
1．（2022·浙江省桐庐中学高三阶段练习）设（其中是自然对数的底数），则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件构造函数()可比较a，b，作出a与c的差，再构造函数判定正负即可作答.
【详解】令，，则，即函数在上单调递增，
则有，即，于是得，
，令，，则当时，，即函数在上单调递增，
因此，，即，
令，则当时，，
即在上单调递减，则，即，于是有，即成立，
所以.
故选：D
2．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，推出函数与导函数的周期性，利用周期性进行转化求解即可.
【详解】解：由为偶函数知，，即，
即函数关于对称，则，
由是奇函数知，，即函数关于点对称，
则，且，
所以，即，即函数的周期是4，
则；
又
所以，则，即
所以，即导函数关于点对称，且.
由，即导函数的周期是4，
则；
所以.
故选：D.
3．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知函数为周期函数，且周期为，求得，，结合可求得的值.
【详解】对任意的，由可得，
所以，，则，
所以，函数为周期函数，且周期为，
因为为偶函数，所以，
所以，函数的图象关于直线对称，则，
因为，则，
因为且，则，所以，，
因为，且，
因为，故.
故选：D.
4．（2022·浙江·高三开学考试）已知数列满足递推关系，且，若存在等比数列满足，则公比为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设，，，，分析得，，所以，又分析得，再用数学归纳法证明得，，再设函数，分析得函数在单调递增，所以，得到，即，再利用条件得，分析得，再设函数，，分析得在单调递减，所以，得到，即，即，再结合条件得到，分析得，即可求解.
【详解】设，，，
因为，所以，所以，
所以，所以．因为，
所以．
下面用归纳法证明．当时，，
假设当时，，那么对，，所以，
因为，所以，所以．因此，.
，所以，，
综上，．
再设，所以，
所以函数在单调递增，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以，而，
所以取足够大，易知，即．
设，，
，所以在单调递减，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，即，
而，所以，所以，
所以，当足够大时，易知须满足，即．综上，．
故选：A.
【点睛】本题主要考查数列和函数相结合问题，通过构造合适的函数，再利用数学归纳法得到数列的相关性质，属于难题.
5．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知点P在函数的图像上，点Q是在直线上，记，则（    ）
A．M有最小值 B．当M取最小值时，点Q的横坐标是
C．M有最小值 D．当M取最小值时，点Q的横坐标是
【答案】D
【分析】先判定与直线平行且与的图像相切的直线的位置，切点到直线的距离即为M的最小值，再利用导数的几何意义求出切点坐标和M的最小值，再联立直线方程求出Q的横坐标.
【详解】将化为，
即直线l的斜率为，
因为，所以，
令，得，
∴当M最小时，点P的坐标为，
此时点P到直线的距离为，
所以M的最小值为；
过点P且垂直于的直线方程为，
联立，得，
即点Q的横坐标为.
故选D
6．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知是自然对数的底数，若，则有（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件变形为，令，利用导数法求解.
【详解】解：因为，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
又因为，
所以，
即，
又因为，且递减，
所以，
故选：A
7．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性，进一步得到，根据基本不等式化简求出c的范围以及b的范围，进一步求出答案.
【详解】设，∴，
∴在的范围内单调递增，，
∴
由此可得，
设，∴，
∴在的范围内单调递减，，
∴
由此可得，，
显然，


所以，
综合可得.
故选：D.
8．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）若，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先将化简，然后分别对，和，进行作差，构造函数，利用导数判断出构造函数的单调性，通过单调性对作差结果的正负进行判断，从而比较出大小.
【详解】∵
∴
令
则，易知在区间单调递增，，
∴在区间单调递增，
又∵
∴，即，
∴

令
则，当时，，
∴在区间单调递增，
又∵
∴，即，
∴，
综上所述，，，之间的大小关系为.
故选：A.
9．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知实数a满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据得，对AB，构造，根据零点存在性定理判断即可；对CD，构造函数函数，求导分析函数单调性，结合所给不等式判断即可.
【详解】由得，
对于选项A与B，函数在上单调递增，则存在，使得，即，又且，所以，均有可能，即与a大小不确定．故A与B都不正确．
对于选项C与D，令函数得，
令得，所以在上单调递减
所以当时，，所以，所以在上单调递减，
又，所以，所以，即，故D正确．
故选：D
10．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成关于一个变量的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.
【详解】设公切线与函数切于点，
，切线的斜率为，
则切线方程为，即
设公切线与函数切于点，
，切线的斜率为，
则切线方程为，即
所以有
因为，所以，可得，，即，
由可得：，
所以，
令，则，，
设，则，
所以在上为减函数，
则，所以，
所以实数的取值范围是，
故选：B．
【点睛】方法点睛：求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：
（1）设切点
（2）求出在处的导数，即在点处的切线斜率；
（3）构建关系解得；
（4）由点斜式求得切线方程.
11．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知，，，则它们的大小关系正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数可证，又，可得，即可证．
【详解】由
令，则，当，；当，；
所以在上单调递增，在上单调递减，且
则，因此，所以
又因为，所以，得
故，有
故选：C
12．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）设在处可导，下列式子与相等的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导函数的定义，将各选项中的式子化简，即可判断出答案.
【详解】对于A，,A错误；
对于B，，B正确；
对于C, ，C错误；
对于D，，D错误，
故选：B
13．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】换元法得到，由导函数得到单调递增，得到，所以，，构造函数，，求出其极值和最值情况，从而得到实数的取值范围.
【详解】令，则，
则，整理得：，
令，
则在R上恒成立，
故单调递增，
所以，
故，，，
令，，
则，当时，
令得：，
令得：，
所以，
又，，其中，
所以实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】求解参数取值范围问题，本题要先通过换元转化得到，，构造函数后，利用导函数研究其单调性和最值情况，从而求出参数的取值范围.
14．（2022·浙江·高三开学考试）若不等式（其中为自然对数的底数，约为2.71828）对一切正实数都成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件将式子变形为，构造函数，求导，利用导数求解单调性，进而可求最值进行求解.
【详解】由得，
记，，由于，所以，
故对一切正实数都成立等价于对都成立.
，令
在同一直角坐标系中画出的图象，

由图可知：存在满足，且当时，，即，当时，，即，故在单调递减，在单调递增，故
因为，故，
由于，故，
因此，解得，
故选：B
【点睛】本题考查了导数的应用，主要解决不等式恒成立问题，解决恒成立问题，可将问题等价转化，构造函数，利用导数解决单调性，进而可通过求最值方式求参数的范围.
15．（2022·浙江·高三开学考试）设，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据，判断的大小，由，构造函数，利用导数判断单调性，即可得到.
【详解】由不等式可得，即；，
设，
因为，所以在上单调递增，
所以当，所以，即.
所以.
故选：C
16．（2022·浙江·杭十四中高三阶段练习）设，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，求出导数，利用导数性质判断函数的单调性，由此能求出结果．
【详解】解：令，所以，
当时，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，当且仅当时取等号，令，可得，
令，，则在时，，
在上单调递增，
，时，．，
令，则，
所以当时，当时，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即，当且仅当时取等号，
所以当，可得，所以最小，
设，则，
在上单调递增，，
，
，
综上可得；
故选：C
二、多选题
17．（2022·浙江省桐庐中学高三阶段练习）设函数，下列说法正确的是（    ）
A．若，是奇函数
B．若，，在单调递减
C．若，，在有且仅有一个零点
D．若，，
【答案】BC
【分析】取不同的值时，对每一个选项逐个判断.
【详解】选项A，若时，，，又，故A不下正确；
选项B，时，，，，，故B正确；
选项C，时，，，
函数在R上单调递减，，所以函数在有且仅有一个零点；
选项D，取，，
当时，若成立，即成立.
令，，
，所以，故在是单调递增，
所以时，不成立.
故选：BC.
18．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数且且，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．若，则
C．若是单调增函数
D．若，则
【答案】BD
【分析】令，通过导数可得在上递增，在上递增，然后分和两种情况进行分类讨论，即可判断每个选项
【详解】解：令，
则，
所以在上递增，在上递增，
若，则，
且，所以
，
且，所以
，
且，所以
通过以上可以发现，当时，
当，且成立时，可推出，且，故A错误，B正确；
若时，，且， 故C错误；
当且时， ，
当，时， ，
综上所述，恒成立，故D正确，
故选：BD
19．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知函数，若存在，使得成立，则（    ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，的最小值为
【答案】ACD
【分析】求出，则可得在上单调递增在上单调递减，则可画出的图像，利用同构可知等价于，结合图像则可判断AB选项，当时，则可得，，构造函数即可判断CD选项.
【详解】，，
，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以的图像如图所示：

又，即，
当时，要使越小，则取，故有，故A正确；
又与均可趋向于，故B错误；
当，且，
记，，
恒成立，即在上单调递增，
所以，即当成立，故C正确；
，令，
在单调递减，在单调递增，
，故D正确，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：
本题考查利用导数研究函数的单调性与交点，属于难题；画出的图像，利用同构可知等价于，则可求出判断出AB选项，构造函数，则可判断C选项，构造函数则可判断D选项.
20．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知，则（    ）
A．不等式的解集为
B．函数在单调递减，在单调递增
C．方程有两个不同的根的充要条件是
D．若关于x的方程无解，则实数m的取值范围是
【答案】ABD
【分析】对于A，不等式转化为，从而可求出其解集，对于B，对函数求导后，利用导数可求出函数的单调区间，对于C,D，由选项B可求出函数的值域，从而可求出实数m的取值范围.
【详解】对于A，由，得，且，因为，
所以，且，解得，所以不等式的解集为，所以A正确，
对于B，的定义域为，由，得，令，得或，令，得或，所以在和上递增，在和上递减，所以B正确，
由选项B可知，在和上递增，在和上递减，因数，，且当从1的左侧趋近于1时，，当从1的右侧趋近于1时，，所以的值域为，所以若关于x的方程有两个不同的根的充要条件是，故C错误.
关于x的方程无解，则实数m的取值范围是，故D正确.
故选:ABD.
21．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）已知函数，其中实数，点，则下列结论正确的是（    ）
A．必有两个极值点
B．当时，点是曲线的对称中心
C．当时，过点可以作曲线的2条切线
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
【答案】ABD
【分析】对求导，得到的单调性，判断的极值点个数可判断A；当时，计算可判断B；当时，设切点为，求出过点的切线方程，通过求可判断C；设切点为，求出过点的切线方程，令所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数即可判断D.
【详解】对于A，，
令，解得：或，
因为，所以令，得或，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值.
所以A正确；
对于B，当时，，
，
，所以点是曲线的对称中心，所以B正确；
对于C，当时，，令，
，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
化简得：，，
所以过点不可以作曲线的切线，所以C不正确；
对于D，，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得：，令
所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.
,
则在上单调递增，在上单调递减，
，如下图所示，

当时，过点可以作曲线的3条切线.
故D正确.
故选：ABD.
22．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知函数在上单调递增，为其导函数，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用函数的单调性与导数符号之间的关系可判断ACD选项；分析的符号可判断B选项.
【详解】因为函数在上单调递增，对任意的，，A对；
的符号不能确定，B错；
，则，可得，C对D错.
故选：AC.
23．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】设，，对求导，将问题转化为存在唯一的整数使得在直线的上方，求导数可得函数的极值，解，求得的取值范围．
【详解】解：设，，
则，
，，单调递增，
，，，单调递减，
时，取得最大值为，
，，
又直线恒过定点且斜率为，
，
，又，
的取值范围，对照选项可知只有C、D符合要求．
故选：CD．
24．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）若正实数满足，则下列不等式可能成立的有（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】构造函数，，利用导数可求得的单调性，由此可得满足不同大小关系时，，与的大小关系；由此依次判断各个选项得到结论.
【详解】令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
若，则，即，成立；
若，则，成立；
令，则，在上单调递增，
当时，，即；
对于A，当，时，，即成立，又此时成立，
当时，可能成立，A正确；
对于B，当时，，即，不等式不成立，B错误；
对于C，当时，，即，不等式不成立，C错误；
对于D，当时，必然成立，D正确；
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值大小关系的比较问题，进而根据单调性得到自变量的大小关系.易错点是题干中考查“可能成立”的关系，而非“必然成立”的关系，审题不清易造成漏选.
25．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知函数，，若对任意的，均存在，使得，则a的取值可能是（    ）
A．0 B．2 C． D．1
【答案】BD
【分析】先判断出在单调递减，在单调递增；在单调递增，在单调递减.对a进行分类讨论，利用的值域是值域的子集求出a的范围，对于四个选项一一判断即可.
【详解】依题意有，
所以在单调递减，在单调递增，
又，所以在单调递增，在单调递减，
（i）若，即，有在单调递减，则，
而，则在单调递增，则，
易知有，，符合题意；
（ii）若，即，有f(x)在单调递增，则，
（1）若，则在单调递增，则，
有，只需，得；
（2）若，则在单调递减，则，
有，不符合；
（3）若，有，不符合；
（iii）若，有，，
而，则在单调递增，则，
又有，，符合题意；
综上可知.
故选：BD．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）相等关系
记的值域为A, 的值域为B,
①若，，有成立，则有；
②若，，有成立，则有；
③若，，有成立，故；
（2）不等关系
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
26．（2022·浙江·杭十四中高三阶段练习）已知直线y=a与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】画出函数图像，得到x1，x2，x3的范围，由得出A正确，由得出B错误，由得出C正确，由得出D正确.
【详解】

在上单调递增，在上单调递减，.
，
在上单调递增，在上单调递减，.
，则，A对.
在上单调递增，
，B错.
在单调递减，，C对.
对.
故选：ACD.
27．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数，则（    ）
A．在上单调递增 B．在上单调递增
C． D．
【答案】AD
【分析】求出的导数判断A，求出的导数，并利用的单调性判断B，根据的单调性判断C，由的单调性判断D即可.
【详解】，因为，所以，即在上单调递增，选项正确；
，因为在上单调递增，，所以，所以，即在在上单调递减，选项B错误；
要比较，即比较的大小，因为在上单调递增，，所以，即，选项C错误；
因为在在上单调递减，所以，即，选项D正确.
故选：AD
28．（2022·浙江·杭十四中高三阶段练习）已知函数，下列结论中正确的有（    ）
A．
B．函数的图象是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间单调递减
D．若是的极值点，则
【答案】ABD
【分析】对于选项A：利用零点存在性定理判断即可；
对于选项B：利用函数图象成中心对称的定义进行判断即可；
对于选项C：采取特殊函数方法，若取，利用导数判断函数的单调性和极值；
对于选项D：根据导数的意义和极值点的定义即可判断.
【详解】对于选项A：因为当x→+∞时，→+∞，当x→-∞时，→-∞，
由题意知函数为定义在R上的连续函数，所以，
故选项A正确；
对于选项B ：

，
所以，即点为函数的对称中心，
故选项B正确；
对于选项C：若取， 则,
所以，
由可得，x>1或，由可得，
所以函数的单调增区间为，减区间为
所以1为函数的极小值点，但在区间并不是单调递减,故选项C错误；
对于选项D：若是的极值点,根据导数的意义知=0， 故选项D正确；
故选：ABD.