专题11 平面解析几何（选择题、填空题）--《2023届浙江省高考数学一轮复习提升训练01》【解析版】

这是一份专题11 平面解析几何（选择题、填空题）--《2023届浙江省高考数学一轮复习提升训练01》【解析版】，共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

专题11 平面解析几何（选择题、填空题）
一、单选题
1．（2022·浙江·高三开学考试）若圆（为圆的半径）关于直线对称，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知直线过圆心，由此可求得实数的值.
【详解】由题意可知直线过圆心，所以，，解得.
故选：A.
2．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知直线及圆，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A为切点，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由切线长公式可得 ，据此可得当取得最小值时， 取得最小值，又由的最小值即点C到直线l的距离，计算可得答案.
【详解】根据题意，圆的圆心C(-1，-2)，半径r= 2，
过直线上任意一点P向圆引切线PA，切点为A
则 ，
当取得最小值时， 取得最小值，
又由的最小值即点C到直线l的距离，
取得最小值为.
故选：A
3．（2022·浙江·高三开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，，然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率.
【详解】由已知，可根据条件做出下图：

因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
故选：D.
4．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）过抛物线上一点作其切线，该切线交准线于点，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若，则（    ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据题意分别表示出点的坐标，然后根据，列出方程，即可得到结果.
【详解】
如图所示，当在第一象限时，
设，，则切线斜率
由点斜式可得，，
因为点在抛物线上，则，
则



或舍

同理，当点在第二象限时，可以得到一样结果.
故选:B.
5．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知点、，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点，由题意可求出点的轨迹方程，再利用平面内两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】设点，由题意可得，整理可得，
则，其中，
所以，，
所以，当时，取最大值，即.
故选：C.
6．（2022·浙江·高三开学考试）已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，以为直径的圆经过，则直线恒过（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出圆心坐标，和直径的长度，再根据圆经过圆点，有，化简式子，即可得出，代入直线方程，即可得出定点坐标.
【详解】如图所示：

设直线方程为：，，联立方程得，有.
，，，
故中点，即圆心C的坐标为
直径.
因为以为直径的圆经过，故有，
即，
化简得：，故直线方程为：，当时，，
即直线经过定点.
故选：D
7．（2022·浙江·高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.
【详解】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.

故选：A
【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.
二、多选题
8．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知点，若过点的直线交圆于两点是圆上一动点，则（    ）
A．的最大值为
B．点到直线的距离的最大值为4
C．的最小值为
D．的最小值为
【答案】AC
【分析】首先求出圆心坐标与半径，求出，即可得到，从而判断A，再判断在圆内，即可求出点到直线的距离的最大值为，即可判断B，当直线时，弦取得最小值，即可判断C，设，表示出，，利用坐标法求出数量积，再根据辅助角公式计算即可判断D.
【详解】解：圆的圆心为，半径，
又，所以，故A正确；
因为，所以点在圆内，又，
所以点到直线的距离的最大值为，当且仅当直线时取最大值，故B错误；
因为，所以当直线时，弦取得最小值，，故C正确；
设，，所以，，
所以
，其中，
所以当时，故D错误；
故选：AC
9．（2022·浙江·高三开学考试）已知常数，直线与抛物线交于两点（异于坐标原点），且，交于点，则（    ）
A．直线过定点
B．线段长度的最小值为
C．点的轨迹是圆弧
D．线段长度的最大值为
【答案】AC
【分析】对A，设，联立直线与抛物线的方程，根据垂直数量积为0求解可得即可证明；
对B，利用弦长公式结合韦达定理，结合函数值域的方法分析即可；
对C，由A根据判断即可；
对D，由A根据判断即可.
【详解】对A，设，因为，所以，

所以，因为，所以，
所以.因为，所以，
所以，解得.所以，所以直线过轴上的定点，故A选项正确.
对B，，
因为，所以，B选项错误.
对C，设与轴的交点为，因为为定值，所以在以为直径的圆上运动，C选项正确.
对D，因为在中，，且当时，，所以最大值为，D选项错误.
故选：AC
10．（2022·浙江·杭十四中高三阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，点P在抛物线C上，，若为等腰三角形，则直线AP的斜率可能为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】由题意知，然后分和两种情况求出点的坐标，从而可求出直线AP的斜率
【详解】由题意知，设，
若，则，解得，
则点P的坐标为或，
所以或；
若，则.
因为，所以，解得或（舍去），
所以点P的坐标为或，
所以或.
故选：AB
11．（2022·浙江·高三开学考试）已知抛物线上的四点，，，，直线，是圆的两条切线，直线、与圆分别切于点、，则下列说法正确的有（    ）
A．当劣弧的弧长最短时， B．当劣弧的弧长最短时，
C．直线的方程为 D．直线的方程为
【答案】BD
【分析】对于AB选项，当劣弧最短时，即最小，最大，最小，根据二倍角公式及三角函数可得，设点，求的最小值即可得解；对于CD选项，根据相切可得直线与的方程，进而可得点与点的坐标，即可得直线.
【详解】由已知得抛物线过点，即，所以，
即抛物线为，
对于AB选项，如图所示，

设点当劣弧的弧长最短时，最小，
又，所以最大，即最小，
又，
又圆，所以圆心，半径，
，
又，
所以当时，取最小值为，此时最小为，
所以A选项错误，B选项正确；
对于CD选项，设过点作圆切线的方程为，即，
所以，解得，
则直线的方程为：，即，
直线的方程为：，即，
联立直线与抛物线，得，
故，，，
同理可得，
所以，
直线的方程为，即，所以C选项错误，D选项正确；
故选：BD.
12．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴交于点，为坐标原点，则（    ）
A．线段长度的最小值为4
B．若线段中点的横坐标为，则直线的斜率为
C．
D．
【答案】ABD
【分析】设点、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式可判断A选项；利用韦达定理计算出的值，可判断B选项；计算出，可判断C选项；计算，可判断D选项.
【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为，点，
设点、，
若直线轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，，
对于A选项，，
当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，由题意可得，解得，B对；
对于C选项，，同理可得，
所以，
，，C错；
对于D选项，，
所以，，D对.
故选：ABD.
13．（2022·浙江省桐庐中学高三阶段练习）已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（    ）
A． B．|k1﹣k2|＝2
C．AB过定点 D．的最小值为8
【答案】AC
【解析】设，则y12＝4x1，y22＝4x2，对抛物线的方程两边求导，可得切线的斜率、切线的方程，联立两切线方程求得P的横坐标，可判断A；由切线的斜率相减，化简可判断B；求得AB的直线方程，结合恒过定点，可判断C；由抛物线的定义和基本不等式可判断D．
【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为，设，
则，，由y2＝4x得，求导得，
所以，所以过A的切线的方程为x﹣x1＝，
化为x＝y① ，同理可得过B的切线方程为x＝y② ，
由①②解得x＝，由P的横坐标为，即，则，
k1k2＝，故A正确；
因为|k1﹣k2|＝＝不为定值，故B错误；
因为AB的直线方程为y﹣y1＝，即y＝y1+x，
整理得y＝，所以AB恒过定点，故C正确；
将转化为到准线的距离，即＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝+1+＝5+≥5+2＝9，当且仅当|y1|＝|y2|时取得等号，所以的最小值为9，故D错误．
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题关键是找到过A、B两点的切线斜率与方程得到，然后利用此结论表示各个选项可得出判断，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.
14．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）如图，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，，准线与轴的交点为，则（    ）

A．直线与抛物线必相切 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】设点的坐标，及过点的直线方程；选项A，联列方程，整理成的一元二次方程，用判别式判定是否恒为零即可；选项B，由知，选项B正确；选项C，计算得，，两式不恒等，故C不正确；选项D，先计算，从而得，由等面积法知选项D正确.
【详解】由已知 ， ，设过点的直线方程为： ，
设点， ，
则 ， ，
由 得 ，
所以 ，
选项A：直线 的方程为 ，联立方程组得：
，所以 ，
不恒为零，故选项A不正确；
选项B：由题得 ，
而
所以 ，所以 ，
所以 ，故B正确；
选项C： ，
所以 ；
，
所以 ，
，
，
，

所以
所以选项C不正确；
选项D： ， ，
，

在 中， ，
故D正确.
故选：BD.
15．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）拋物线的焦点为，过的直线交拋物线于两点，点在拋物线上，则下列结论中正确的是（    ）
A．若，则的最小值为4
B．当时，
C．若，则的取值范围为
D．在直线上存在点，使得
【答案】BC
【分析】对A，根据抛物线的定义转化求解最小值即可；对B，根据抛物线的定义，结合三角函数关系可得直线倾斜角，再根据抛物线焦点弦长公式求解即可；对C，根据抛物线的定义可得，再分析临界条件求解即可；对D，
【详解】对A，如图，由抛物线的定义，的长度为到准线的距离，故的最小值为与到准线距离之和，故的最小值为到准线距离 ，故A错误；

对B，不妨设在第一象限，分别过作准线的垂线，垂足，作.则根据抛物线的定义可得，故
.
故，所以.故B正确；

对C，过作垂直于准线，垂足为，则，由图易得，故随的增大而增大，当时在点处，此时取最小值1；当与抛物线相切时最大，此时设方程，联立有，，此时解得，不妨设则方程，此时倾斜角为，.
故的取值范围为，故C正确；

对D， 设，中点，故到准线的距离，又，故，故以为直径的圆与准线相切，又满足的所有点在以为直径的圆上，易得此圆与无交点，故D错误；

故选：BC
16．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）将两圆方程作差，得到直线的方程，则（    ）
A．直线一定过点
B．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为
C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直
D．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等
【答案】BCD
【分析】利用分离参数法求出直线恒过的定点即可判断A；利用两圆心坐标求斜率进而判断B；利用垂直直线的斜率之积为-1判断C；设直线上一点，利用两点坐标求距离公式和勾股定理化简计算即可判断D.
【详解】由题意知，
，
两式相减，得，
A：由，得，
则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；
B：，故B正确；
C：因为，故C正确；
D：，，
则圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
又，得，即直线与圆相离，
，得，即直线与圆相离，
所以过直线上任一点可作两圆的切线.
在直线上任取一点，
设点P到圆的切线长为，到圆的切线长为，
则
，

，
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
17．（2022·浙江·高三开学考试）已知抛物线的焦点为，直线与交于点与点，点关于原点的对称是点，则下列结论正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若在以为直径的圆上，则
D．若直线与与拋物线都相切，则
【答案】ACD
【分析】设方程为，代入抛物线方程得，由求得判断A由韦达定理求得弦长后求得，判断B，由求得判断C，设出切线方程为，求出两点坐标判断D．
【详解】设方程为，由得，
，
，，
A．由得得，所以直线过点，A正确；
B．，
由，当时，，，B错误；
C．，，，
，即，所以，，，C正确；
D．设（或）方程为，
由上面推理过程得，，
代入得，，
不妨设，，则，所以直线过点，D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，解题方法是设出直线方程，代入抛物线方程后应用韦达定理得出，然后把此结论代入各选项计算可得．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题．
三、填空题
18．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）已知直线与圆相切，则______.
【答案】
【分析】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】由点到直线的距离公式可得，
故答案为：
19．（2022·浙江·高三开学考试）如图，抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与交于点在轴上方），则___________.

【答案】3
【分析】根据题意可得直线方程，联立直线与抛物线方程可解坐标，进而根据两点间距离公式即可求解.
【详解】由题意可知,直线方程为：，
联立方程，解得，
由于在轴上方,故可得，
因此，
故答案为：3
20．（2022·浙江·高三阶段练习）已知双曲线恰好满足下列条件中的两个：①过点；②渐近线方程为；③离心率．则双曲线C方程为______．
【答案】
【分析】利用渐近线以及离心率的定义，列出方程求解即可.
【详解】若选②③，，得，又，化简得，
可得，不符题意，故选②③错；
若选①③，，得，过点，得，又由，得到，无解，故选①③错；
若选①②，，化简得，又由且过点，得，解得，
故此时，双曲线C方程为
故答案为：
21．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）抛物线上的动点到的距离最小值记为，则满足的所有实数的和为___________.
【答案】
【分析】设点，可得出，其中，令，对实数的取值进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可得出关于实数的方程，解出的可能取值，即可得解.
【详解】设点，则，
令，其中，
当时，即当时，函数在上单调递增，
所以，，
整理可得，解得或；
当时，即当时，，
整理可得，因为，解得，
因此，满足条件的实数之和为.
故答案为：.
22．（2022·浙江·高三开学考试）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，点的轨迹方程是___________.
【答案】
【分析】由题意求出过A点的切线，可得与直线垂直的直线，求出C、D点坐标，平方后作差即可得出轨迹方程.
【详解】由得，，
因为与双曲线有唯一的公共点，即相切于点，
所以
化简得，，
所以过点且与垂直的直线为，
所以，
所以
所以点的轨迹是.
故答案为：
23．（2022·浙江·杭十四中高三阶段练习）椭圆（焦点在轴上）的上､下顶点分别为，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的离心率为___________.

【答案】
【分析】由题意得在以为直径的圆上，求出圆的方程，结合椭圆求出，进而求得，即可求得离心率.
【详解】
根据题意可得，设，由，可得点在以为直径的圆上，
又原点为圆上的弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，可得圆心在轴上，所以，
又，可得，故圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为，将代入结合，可得，所以，则，
所以该椭圆的离心率为.
故答案为：.
24．（2022·浙江·杭十四中高三阶段练习）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.
【答案】4
【详解】试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
【考点】直线与圆的位置关系
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
25．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】作出图形，分析可知，，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】如下图所示：

在双曲线中，，，，
圆的圆心为，半径长为，
所以，双曲线的左、右焦点分别为、，
由双曲线的定义可得，，
所以，，
当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立，
故的最小值是.
故答案为：.
26．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）已知椭圆，点，过点的直线与椭圆相交于两点，直线的斜率分别为，则的最大值为______.
【答案】
【分析】从直线斜率为和不为两个方面取讨论.斜率为时，分别为椭圆左、右顶点，可直接求;斜率不为时，设出直线方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、直线的斜率公式与直线方程化简的式子，通过分析的正负，再根据基本不等式即可得到的最值.
【详解】当直线的斜率为时，分别为椭圆左、右顶点，则
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，点，
由消去，整理得.
.


当时，，当且仅当，即时取得等号.
此时，.
当时，，当且仅当，即时取得等号.
此时，.
综上可知，的最大值为：
故答案为：1.
27．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是___________.（写出符合条件的一个方程即可）
【答案】
【分析】由题意设直线方程为，利用直线与单位圆和曲线均相切，联立直线与曲线方程，消去变量后整理为关于的一元二次方程，利用判别式为0，求得关系，解出的值，可得直线方程.
【详解】解：由题可知，直线的斜率存在，设直线方程为，
单位圆的方程为：
所以
则，整理得：
所以
则，整理得：
所以，解得
则
则直线的方程为：.
故答案为：.
28．（2022·浙江·高三开学考试）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，以坐标原点为圆心，过点的圆与双曲线的一条渐近线交于位于第一象限的点，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为________．
【答案】
【分析】先由题意得到圆的方程，再与双曲线的渐近线联立得到的坐标，利用的坐标求出直线的斜率，得到，继而求出双曲线的渐近线方程
【详解】解：由题意得圆的方程为，双曲线经过第一象限的渐近线方程为，
联立方程，解得点的坐标为，有，
又由直线的斜率为，可得，有，
故双曲线的渐近线方程为．
故答案为：
29．（2022·浙江·高三开学考试）已知，是双曲线的左、右焦点，A，B分别在双曲线的左右两支上，且满足（为常数），点C在x轴上，，，则双曲线的离心率为_______．
【答案】
【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的性质、双曲线的定义、余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】解析： ，∵，所以∴，∴，设，则．由可知，平分，由角分线定理可知，∴，∴，，，由双曲线的定义知，，∴，即①，，∴，∴，即是等边三角形，∴，在中，由余弦定理知，，即，化简得，②，由①②可得，，∴离心率．
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用角平分线的性质是解题的关键.
30．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）设直线与圆交于两点，当面积的最大值为2时，的值为___________.
【答案】
【分析】先找出l所过定点，然后根据知为等腰直角三角形
时面积最大，结合图形列方程即可得a的值.
【详解】直线的方程可化为，
由，解得直线的恒过定点，
又点到直线的距离为，
因为，则为等腰直角三角形时面积最大，
即，
圆心到直线的距离为，
解得.
故答案为：
31．（2022·浙江省桐庐中学高三阶段练习）如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，，若，则的取值范围是_______．

【答案】
【解析】由于点在椭圆上运动时，与轴的正方向的夹角在变，所以先设，又由，可知，从而可得，而点在椭圆上，所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果．
【详解】设，，，则，
由，得，代入椭圆方程，
得，化简得恒成立，
由此得，即，故．
故答案为：
【点睛】此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率，综合性强，属于难题 ．
四、双空题
32．（2022·浙江·高三开学考试）已知过P的直线与圆C：交于A，B两点，（A点在轴上方），若，则直线到与其斜率相同的圆的切线距离是___________，___________.
【答案】         
【分析】设出直线的方程，联立直线与圆的方程，由求解直线方程，根据圆心与切线关系判断直线与切线距离.
【详解】因为，所以点在圆C内，即P点在弦AB上，
因为P点在x轴上，A点在轴上方，所以B点在轴下方，则可作出图像如下图所示.

则直线AB必不可能与y轴垂直，可设方程为，
则，整理得，
由直线AB与圆C由两个不同交点可得，该方程有两个不相等的实数根，
设，由题意知，
则，，
因为，所以，即，
则，即，由可得，
所以，整理得，
解得，根据可得，
则直线AB方程为，一般式为，
则圆心到直线AB距离为，
因为圆心到与直线AB斜率相同的圆的切线距离是半径2，
所以直线到与其斜率相同的圆的两条切线距离分别是和.
故答案为：；.