专题10 天体运动-2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练（原卷版）

这是一份专题10 天体运动-2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练（原卷版），共31页。试卷主要包含了开普勒定律的应用，万有引力定律的理解，天体质量和密度的计算，卫星运行参量的分析，卫星的变轨和对接问题，天体的“追及”问题，星球稳定自转的临界问题，双星或多星模型等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11502" 题型一 开普勒定律的应用 PAGEREF _Tc11502 \h 1
\l "_Tc497" 题型二 万有引力定律的理解 PAGEREF _Tc497 \h 6
\l "_Tc909" 类型1 万有引力定律的理解和简单计算 PAGEREF _Tc909 \h 6
\l "_Tc5306" 类型2 不同天体表面引力的比较与计算 PAGEREF _Tc5306 \h 8
\l "_Tc5988" 类型3 重力和万有引力的关系 PAGEREF _Tc5988 \h 8
\l "_Tc17479" 类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算 PAGEREF _Tc17479 \h 12
\l "_Tc22695" 题型三 天体质量和密度的计算 PAGEREF _Tc22695 \h 16
\l "_Tc23904" 类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度 PAGEREF _Tc23904 \h 17
\l "_Tc4316" 类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度 PAGEREF _Tc4316 \h 20
\l "_Tc23520" 类型3 利用椭圆轨道求质量与密度 PAGEREF _Tc23520 \h 25
\l "_Tc2844" 题型四 卫星运行参量的分析 PAGEREF _Tc2844 \h 28
\l "_Tc19075" 类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系 PAGEREF _Tc19075 \h 28
\l "_Tc27433" 类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 PAGEREF _Tc27433 \h 33
\l "_Tc23057" 类型3 宇宙速度 PAGEREF _Tc23057 \h 38
\l "_Tc4732" 题型五 卫星的变轨和对接问题 PAGEREF _Tc4732 \h 41
\l "_Tc12999" 类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较 PAGEREF _Tc12999 \h 42
\l "_Tc10868" 类型2 卫星的对接问题 PAGEREF _Tc10868 \h 44
\l "_Tc23092" 题型六 天体的“追及”问题 PAGEREF _Tc23092 \h 47
\l "_Tc25932" 题型七 星球稳定自转的临界问题 PAGEREF _Tc25932 \h 52
\l "_Tc6378" 题型八 双星或多星模型 PAGEREF _Tc6378 \h 55
\l "_Tc21388" 类型1 双星问题 PAGEREF _Tc21388 \h 56
\l "_Tc26280" 类型2 三星问题 PAGEREF _Tc26280 \h 59
\l "_Tc23037" 类型4 四星问题 PAGEREF _Tc23037 \h 64
题型一 开普勒定律的应用
【解题指导】1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)Δl1r1＝eq \f(1,2)Δl2r2，eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
【例1】（2023·福建·模拟预测）某国际团队使用望远镜上安装的暗能量相机，发现了3颗隐藏在太阳强光中的近地小行星，将其中一颗命名为2021PH27。在一年中的前5个节气间该小行星的位置如图所示。已知该小行星近日点到太阳的距离为日地距离的，一年近似取360天，可近似认为24个节气在一年内均匀分布。可能用到的数据：，，。则该小行星经过近日点和远日点时的动能之比约为（ ）
A．B．C．D．
【例2】．（2023春·湖北武汉·高三统考阶段练习）如图所示是“嫦娥五号”探测器登月飞行的轨道示意图，探测器通过推进器制动从圆形轨道Ⅰ上的P点进入到椭圆过渡轨道Ⅱ，然后在轨道Ⅱ的近月点Q再次制动进入近月圆形轨道Ⅲ。已知轨道Ⅰ的半径是轨道Ⅲ的半径的两倍，不考虑其它天体引力的影响。下列说法正确的是（ ）
A．探测器登月飞行的过程中机械能增大
B．探测器在轨道Ⅰ与轨道Ⅲ上的运行速率的比值为
C．探测器在轨道Ⅱ上经过P点的速率与经过Q点的速率的比值为
D．探测器在轨道Ⅱ与轨道Ⅲ上的运行周期的比值为
【例3】．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）2022年12月15日2时25分，我国在西昌卫星发射中心用长征二号丁运载火箭，成功将遥感三十六号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。卫星进入预定轨道之前进行了多次变轨，如图，1是近地圆轨道，2是椭圆轨道，3是预定圆轨道，P、Q分别是椭圆轨道上的近地点和远地点，它们到地心的距离分别为rP和rQ，卫星在椭圆轨道上运行时经过P、Q两点的速率分别为vP和vQ，加速度大小分别为aP和aQ。卫星在1、2、3轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．此卫星的发射速度可能小于7.9km/s
【例4】．（2023·山东威海·统考二模）如图所示为“天问一号”在某阶段的运动示意图，“天问一号”在P点由椭圆轨道变轨到近火圆形轨道。已知火星半径为R，椭圆轨道上的远火点Q离火星表面的最近距离为6R，火星表面的重力加速度为g0，忽略火星自转的影响。“天问一号”在椭圆轨道上从P点运动到Q点的时间为（ ）

A．B．C．D．
题型二 万有引力定律的理解
【解题指导】1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：Geq \f(m地m,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(m地m,R2)＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(m地m,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(Gm地m,R2)＝mg。
2．星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝eq \f(Gm地m,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(Gm地,（R＋h）2)，所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2)。
类型1 万有引力定律的理解和简单计算
【例1】（2023·全国·高三专题练习）有质量的物体周围存在着引力场。万有引力和库仑力有类似的规律，因此我们可以用定义静电场场强的方法来定义引力场的场强。由此可得，质量为m的质点在质量为M的物体处（二者间距为r）的引力场场强的表达式为（引力常量用G表示）（ ）
A．GB．GC．GD．G
【例2】(多选)在万有引力定律建立的过程中，“月—地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与地球对苹果的力是同一种力。完成“月—地检验”需要知道的物理量有( )
A．月球和地球的质量
B．引力常量G和月球公转周期
C. 地球半径和“月—地”中心距离
D．月球公转周期和地球表面重力加速度g
类型2 不同天体表面引力的比较与计算
【例1】(2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
【例2】 (2020·全国Ⅰ卷，15)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5类型3 重力和万有引力的关系
【例1】（2023·全国·高三专题练习）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是（ ）
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg
C．地球的半径为
D．地球的密度为
【例2】．（2023·山东·模拟预测）射人造航天器时，可利用地球的自转让航天器发射前就获得相对地心的速度。设地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，酒泉卫星发射中心的纬度为φ。将地球视为质量均匀分布的球体，则在酒泉卫星发射中心发射的航天器利用地球自转能获得相对地心的最大速度为（ ）
A．B．
C．D．
【例3】（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
（1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是。若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为，求比值的表达式，并就的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）。
（2）若在赤道表面称量时，弹簧测力计读数为，求比值的表达式；
（3）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为和地球的半径R三者均减小为现在的2.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？
类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算
【例1】（2023秋·全国·高三统考阶段练习）若地球是质量均匀分布的球体，其质量为M0，半径为R。忽略地球自转，重力加速度g随物体到地心的距离r变化如图所示。g-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R部分的面积。（1）用题目中的已知量表示图中的g0；
（2）已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体的引力为0。请你证明：在地球内部，重力加速度与r成正比；
（3）若将物体从2R处自由释放，不考虑其它星球引力的影响，不计空气阻力，借助本题图像，求这个物体到达地表时的速率。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h（约为400km），地球视为理想球体质量为M，半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．航天员漂浮在组合体中，处于平衡状态
B．地球的平均密度可表示为
C．组合体轨道处的重力加速度为
D．组合体的运行速度为
【例3】（2023·辽宁大连·统考二模）如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，为隧道的中点，与地心O的距离为，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转影响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，P点到的距离为x，则（ ）
A．列车在隧道中A点的合力大小为mg
B．列车在P点的重力加速度小于g
C．列车在P点的加速度D．列车在P点的加速度
【例4】（2023春·北京西城·高三北京市第六十六中学校考阶段练习）地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域，进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示，假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计，如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg（k＜1），已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是（ ）
A．B．C．D．
题型三 天体质量和密度的计算
类型
方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质
量
的
计
算
利用运
行天体
r、T
Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(4π2,T2)r
m中＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
r、v
Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(v2,r)
m中＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(v2,r)，Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(4π2,T2)r
m中＝eq \f(v3T,2πG)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(Gm中m,R2)
m中＝eq \f(gR2,G)
—
密
度
的
计
算
利用运
行天体
r、T、R
Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(4π2,T2)r
m中＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时，ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(Gm中m,R2)，m中＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
—
类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度
【例1】（2023·陕西安康·统考模拟预测）宇航员登上某半径为R的球形未知天体，在该天体表面将一质量为m的小球以初速度竖直上抛，上升的最大高度为h，万有引力常量为G。则（ ）
A．该星球表面重力加速度为
B．该星球质量为
C．该星球的近地面环绕卫星运行周期为
D．小球到达最大高度所需时间
【例2】（2023·湖南邵阳·统考模拟预测）一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直面内做半径为r的圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．设R、m、r、引力常量G以及F1和F2为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是（ ）
A．该星球表面的重力加速度为
B．小球在最高点的最小速度为
C．该星球的密度为
D．卫星绕该星球的第一宇宙速度为
【答案】B
【详解】A.在最低点有
在最高点有
由机械能守恒定律得
联立可得
故A错误；
B.设星球表面的重力加速度为g，小球能在竖直面上做圆周运动，即能过最高点，过最高点的条件是只有重力提供向心力，有
则最高点最小速度为
故B正确；
C.由
可得
故C错误；
D.由
可得
故D错误。
故选B。
（2023·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校联考二模）航员在月球表面附近自高处以初速度水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为。已知月球半径为，万有引力常量为。则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度B．月球的质量
C．月球的第一宇宙速度D．月球的平均密度【答案】D
【详解】A．根据平抛运动规律
联立解得
故A错误；
B．由
得
故B错误；
C．由
故C错误；
D．月球的平均密度
故D正确。
故选D。
类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度
【例1】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）下表是有关地球的一些信息，根据万有引力常量G和表中的信息无法估算的物理量是（ ）
信息序号
①
②
③
④
⑤
地球半径约为
日地距离大约是
A．地球的质量B．地球的平均密度C．太阳的平均密度D．太阳对地球的吸引力
【例2】．（2023·高三课时练习）已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球之间的距离（两球中心之间的距离）为L。月球绕地球公转的周期为，地球自转的周期为，地球绕太阳公转周期为，假设公转运动都视为圆周运动，引力常量为G，由以上条件可知（ ）
A．月球运动的加速度为B．月球的质量为
C．地球的密度为D．地球的质量为
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）同步卫星距地面高度为h，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为，近地卫星周期为，万有引力常量为G，则下列关于地球质量及密度表达式正确的是（ ）
A．地球的质量为B．地球的质量为
C．地球的平均密度为D．地球的平均密度为
【例4】（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）2023年3月17日，我国成功将“高分十三号02星”发射升空，卫星顺利进入预定轨道。假设入轨后，“高分十三号02”以线速度为v绕地球做周期为T的匀速圆周运动。已知地球的半径为R，万有引力常量用G表示。由此可知（ ）
A．该卫星到地球表面的高度为B．该卫星到地球表面的高度为
C．地球的质量D．地球的质量
类型3 利用椭圆轨道求质量与密度
【例1】(2021·全国乙卷，18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )信息内容
地表重力加速度约为
地球近地卫星的周期约
地球公转一年约天
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
【例2】（2023·江西宜春·高三江西省樟树中学校考阶段练习）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2021年发射“天问一号”火星探测器。假设“天问一号”被火星引力捕捉后先在离火星表面高度为h的圆轨道上运动，运行周期分别为；制动后在近火的圆轨道上运动，运行周期为，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，下列说法正确的是（ ）
A．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
B．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
C．可以求得火星的密度为
D．由于没有火星的质量和半径，所以无法求得火星的密度
【例3】（2022·安徽高三开学考试）2020年1月24目4时30分，在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送人预定轨道，11月29日20时23分，嫦娥五号从椭圆环月轨道变轨到近月圆轨道。如图所示、两点分别为椭圆环月轨道Ⅰ的远月点和近月点，近月圆轨道Ⅱ与椭圆环月轨道Ⅰ在B点相切。若只考虑嫦蛾五号和月球之间的相互作用，则关于嫦娥五号的运行情况，下列说法正确的是（ ）
A．在轨道Ⅰ上运行经过A点时的速率大于B点时的速率B．在轨道Ⅰ上运行到B点的速度小于在轨道Ⅱ上运动到B点的速度
C．在轨道Ⅰ上运行到B点时的加速度大于在轨道Ⅱ上运行到B点时的加速度
D．若已知引力常量G和卫星在轨道Ⅱ上运动的周期T，则可以推知月球的平均密度
题型四 卫星运行参量的分析
类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系
1．天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．物理量随轨道半径变化的规律
Geq \f(Mm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))
即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢)
3．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
4．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关．
【例1】（2023春·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）在电影《地心引力》中，一颗俄罗斯报废卫星的碎片引起了连锁性的碰撞，造成了宇宙飞船的毁灭，导致了除两人以外的全体宇航员的死亡。电影的片段让人们认识到了太空垃圾对人造卫星造成的威胁。太空垃圾其中一种处理方式就是将它们推向更高的轨道，即“墓地轨道”。保证它丝毫不会影响到正常运行的卫星。墓地轨道又叫垃圾轨道、弃星轨道，墓地轨道位于地球上方36050公里处，比同步卫星轨道高大约300多公里，假设墓地轨道卫星的轨道是圆轨道，处于墓地轨道的卫星与同步卫星比较（ ）
A．周期短B．向心加速度小C．向心力小D．角速度大
【例2】（2023·云南昭通·高三校考期末）随着北斗系统全面建成开通，北斗产业发展被列入国家“十四五”规划重点项目，北斗系统开启了全球化、产业化新征程。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成。如图所示，地球静止轨道卫星A与倾斜地球同步轨道卫星B距地面高度均约为，中圆轨道卫星C距地面高度约为。下列说法正确的是（ ）
A．A与B运行的周期一定不同
B．A与B受到的向心力大小一定相同
C．B比C运行的角速度小
D．B比C运行的线速度大
【例3】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）、是两颗相距较远的行星，其卫星的线速度平方与轨道半径倒数的关系如图所示，、各有一颗在表面附近的卫星、绕其做匀速圆周运动，、的线速度大小均为，则（ ）
A．的质量比的小
B．的质量比的小
C．的平均密度比的小
D．表面的重力加速度比的大
【例4】（2023春·辽宁大连·高三校考阶段练习）如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心的距离分别为、，线速度大小分别为、。则（ ）
A．B．C．D．
【例5】（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期阶段性测试物理试题（四））海南文昌卫星发射场靠近赤道，主要承担地球同步轨道卫星、大质量极轨卫星、大吨位空间站和深空探测航天器等航天发射任务。静止在海南文昌卫星发射场发射塔上待发射的卫星b，其随地球自转的速率为，向心加速度为。在赤道平面上正常运行的近地资源卫星c、同步通信卫星d，做圆周运动的速率分别为、，向心加速度分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3.
【例1】（2023春·江西上饶·高三校联考期中）已知地球半径为R，地球同步卫星轨道半径为r。假设地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a1，第一宇宙速度为v1，地球近地卫星的周期为T1，地球同步卫星的运行速率为v2，加速度为a2，周期为T2，则（ ）
比较项目
近地卫星
(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球自转的物体
(r3、ω3、v3、a3)
向心力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2>r1＝r3
角速度
ω1>ω2＝ω3
线速度
v1>v2>v3
向心加速度
a1>a2>a3
A．B．C．D．
【例2】（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，卫星A是2022年8月20日我国成功发射的遥感三十五号04组卫星，卫星B是地球同步卫星，若它们均可视为绕地球做匀速圆周运动，卫星P是地球赤道上还未发射的卫星，下列说法正确的是（ ）

A．卫星A、B、P的速度大小关系为v>v>v
B．要将卫星A转移到卫星B的轨道上至少需要对卫星A进行一次加速
C．卫星B在6h内转过的圆心角是
D．卫星B的向心加速度大小大于卫星P随地球自转的向心加速度大小
【例3】．（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（ ）
A．b卫星转动线速度大于
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为
D．在b、c中，c的机械能大
类型3 宇宙速度
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v12,R)，得v1＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s≈7.9×103 m/s.方法二：由mg＝meq \f(v12,R)得
v1＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))＝2πeq \r(\f(6.4×106,9.8)) s≈5 075 s≈85 min.
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆．
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
【例1】（2023·辽宁·模拟预测）如图所示是三个宇宙速度的示意图，则（ ）

A．嫦娥一号卫星的无动力发射速度需要大于16.7 km/s
B．太阳系外飞行器的无动力发射速度只需要大于11.2 km/s
C．天宫空间站的飞行速度大于7.9 km/s
D．三个宇宙速度对哈雷彗星（绕太阳运动）不适用
【例2】（2023·湖南·模拟预测）北京时间2022年6月5日10时44分，搭载“神舟十四号”载人飞船的“长征二号”F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577 s后，“神舟十四号”载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功。北京时间2022年6月5日17时42分，“神舟十四号”成功对接“天和”核心舱径向端口，整个对接过程历时约7 h。对接后组合体在距地面高为h的轨道上做匀速圆周运动，环绕的向心加速度为a，环绕的线速度为v，引力常量为G，则下列判断正确的是（ ）
A．组合体环绕的周期为B．地球的平均密度为
C．地球的第一宇宙速度大小为D．地球表面的重力加速度大小为
【例3】．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）2021年5月，我国天问一号着陆器顺利降落在火星乌托邦平原，实现了我国首次火星环绕、着陆、巡视探测三大目标，一次性实现这三大目标在人类历史上也是首次。已知火星与太阳的距离是地球与太阳距离的1.5倍，火星半径是地球半径的，火星质量是地球质量的，火星与地球均视为质量均匀的球体，它们的公转轨道近似为圆轨道，下列说法正确的是（ ）
A．天问一号的发射速度小于地球的第二宇宙速度
B．天问一号着陆器在火星上受到的重力约为在地球上受到重力的
C．火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的
D．火星公转的加速度约为地球公转加速度的
题型五 卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较
【例1】（2023·天津河西·统考三模）2022年6月23日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，采取“一箭三星”方式，成功将“遥感三十五号”02组卫星发射升空。卫星发射并进入轨道是一个复杂的过程，如图所示，发射同步卫星时是先将卫星发射至近地轨道，在近地轨道的A点加速后进入转移轨道，在转移轨道上的远地点B加速后进入同步轨道；已知近地轨道半径为，同步轨道半径为。则下列说法正确的是（ ）

A．卫星在转移轨道上运动时，A、B两点的线速度大小之比为
B．卫星在近地轨道与同步轨道上运动的向心加速度大小之比为
C．卫星在近地轨道与同步轨道上运动的周期之比为
D．卫星在转移轨道上运动时，引力做负功，机械能减小
【例2】．（2023春·浙江台州·高三校联考期中）2021年2月，天问一号探测器成功与火星交会，如图所示为探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。已知火星的半径为R，OQ=4R，轨道Ⅱ上正常运行时经过O点的速度为v，关于探测器下列说法正确的是（ ）

A．沿轨道Ⅱ运动时经过P点的速度等于沿轨道Ⅲ经过O点的速度
B．沿轨道Ⅲ运动时经过Q点的速度等于沿轨道Ⅲ经过O点的速度
C．沿轨道Ⅱ的运动周期等于沿轨道Ⅲ的运动周期
D．沿轨道Ⅲ运动时，探测器经过O点的加速度大小等于
类型2 卫星的对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.
【例1】（2023春·浙江宁波·高三统考阶段练习）假设神舟十五号飞船在对接前在1轨道做匀速圆周运动，空间站组合体在2轨道做匀速圆周运动，神舟十五号在B点采用喷气的方法改变速度，从而达到变轨的目的，通过调整，对接稳定后飞船与组合体仍沿2轨道一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．飞船从A点到B点线速度不变
B．飞船从B点到C点机械能守恒
C．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在2轨道周期小于在1轨道周期
D．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小
【例2】．（2023春·广东湛江·高三统考阶段练习）中国空间站已进入应用与发展阶段，神舟十六号载人飞船将于今年造访中国空间站，如图所示为飞船从低轨道由匀速圆周运动变轨至对接空间站的轨道，若飞船变轨前的低轨道和空间站运行轨道均可视为圆轨道，则下列说法正确的是（ ）
A．飞船在低轨道的线速度小于空间站的线速度
B．飞船在低轨道的绕地周期大于空间站的绕地周期
C．飞船在低轨道加速时，将做离心运动
D．飞船与空间站对接时，飞船对空间站的作用力大于空间站对飞船的作用力题型六 天体的“追及”问题
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据eq \f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：
1．角度关系
ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)
2．圈数关系
eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝n(n＝1、2、3…)
解得t＝eq \f(nT1T2,T2－T1)(n＝1、2、3…)
同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝eq \f(2n－1,2)(n＝1、2、3…)
【例1】．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）如图所示，地球和火星绕太阳做匀速圆周运动，二者与太阳的连线夹角为44°时，是火星探测器的发射窗口期。中国自主研发的火星探测器“天问一号”发射于2020年7月23日就是在窗口期内发射的，已知火星的公转半径约为地球公转半径的1.6倍，那么2020年7月之后的下一次发窗口期大约在（ ）
A．2022年7月
B．2022年1月
C．2021年7月
D．2021年1月
【例2】（2023·江西景德镇·统考三模）2023年春节，改编自刘慈欣科幻小说的《流浪地球2》电影在全国上映。电影中的太空电梯场景非常震撼。太空电梯的原理并不复杂，与生活的中的普通电梯十分相似。只需在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，当空间站围绕地球运转时，绳索会细紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空，这样不需要依靠火箭、飞船这类复杂航天工具。如乙图所示，假设有一长度为的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，相对地球静止，卫星与同步空间站的运行方向相同，此时二者距离最近，经过时间之后，第一次相距最远。已知地球半径，自转周期，下列说法正确的是（ ）

A．太空电梯各点均处于完全失重状态
B．卫星的周期为
C．太空电梯停在距地球表面高度为的站点，该站点处的重力加速度
D．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成反比
【例3】．（2023春·河北承德·高三承德县第一中学校联考阶段练习）如图所示，火星与天问一号、地球均绕太阳在同一平面内沿同一方向做匀速圆周运动。为了节省燃料，通常选择地球与火星最近时（地球位于太阳与火星之间，且三者共线）为最佳发射期。若下一个火星探测器的最佳发射期至少要经过n1年，则地球公转半径的立方和火星公转半径的立方的比值为（ ）

A．B．C．D．
【例4】（2023春·陕西西安·高三校考期中）已知某卫星在赤道上空轨道半径为r1的圆形轨道上绕地球运行的周期为T，卫星运动方向与地球自转方向相同，赤道上某城市的人每天恰好五次看到卫星掠过其正上方。假设某时刻，该卫星如图在A点变轨进入椭圆轨道，近地点B到地心距离为r2。设卫星由A到B运动的时间为t，地球自转周期为T0，不计空气阻力。则（ ）
A．
B．
C．卫星在图中椭圆轨道由A到B时，机械能减小
D．卫星由图中圆轨道进入椭圆轨道过程中，机械能不变
题型七 星球稳定自转的临界问题
当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是eq \f(GMm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R.
【例1】（2023·湖北·模拟预测）恒星的引力坍缩的结果是形成一颗致密星，如白矮星、中子星、黑洞等，由于在引力坍缩中很有可能伴随着引力波的释放，通过对引力坍缩进行计算机数值模拟以预测其释放的引力波波形是当前引力波天文学界研究的课题之一、中子星（可视为均匀球体），自转周期为T0时恰能维持星体的稳定（不因自转而瓦解），当中子星的自转周期增为T=3T0时，某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为（ ）
A．B．C．D．
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为（ ）
A．B．C．D．
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）组成星球的物质靠万有引力吸引在一起随星球自转。若某质量分布均匀的星球的角速度为ω，为使该星球不瓦解，该星球的密度至少为ρ。下列图象可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例4】．（2023·湖南·高三专题练习）脉冲星是科学家不会放过的“天然太空实验室”，它是快速旋转的中子星，属于大质量恒星死亡后留下的残骸，也是宇宙中密度最高的天体之一。某颗星的自转周期为（实际测量为，距离地球1.6万光年）。假设该星球恰好能维持自转不瓦解，令该星球的密度与自转周期的相关量为为，同时假设地球同步卫星离地面的高度为地球半径的6倍，地球的密度与自转周期的相关量为，则（ ）
A．B．C．D．
题型八 双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.
②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1).
⑤双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2)).⑥双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G).
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)常见的三星模型
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

(3)常见的四星模型
①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
类型1 双星问题
【例1】.（2023·山东聊城·校联考模拟预测）中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（ ）
A．A、B的轨道半径之比为B．C的质量为
C．B的质量为D．A的质量为
【例2】．（2023·江苏·模拟预测）科学家经观测发现银河系的MAXIJ820+070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，若系统中的黑洞中心与恒星中心距离为L，恒星做圆周运动的周期为T，引力常量为G，由此可以求出黑洞与恒星的（ ）
A．质量之比、质量之和B．线速度大小之比、线速度大小之和
C．质量之比、线速度大小之比D．质量之和、线速度大小之和
【例3】．（2023·陕西西安·统考模拟预测）天玑星是北斗七星之一，在天玑星周围还有一颗伴星，它们组成双星系统，各自绕二者连线上的某一点O做匀速圆周运动，伴星距O点较远，如图所示。现已知天玑星的质量为M，二者之间连线的距离为L，运动周期均为T，万有引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．伴星的线速度小于天玑星的线速度
B．伴星的质量大于天玑星的质量
C．天玑星的运动半径为
D．天玑星和伴星的总质量为
类型2 三星问题
【例1】（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的轨道上运行，如图甲所示，周期为；另一种是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为。则为（ ）
A．B．C．D．
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）某科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。四星系统的形式如图所示，三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行（图中未画出），而第四颗星刚好位于等边三角形的中心不动。设每颗星的质量均为m，引力常量为G，则（ ）
A．在三角形顶点的三颗星做圆周运动的向心加速度与其质量无关
B．在三角形顶点的三颗星的总动能为
C．若四颗星的质量m均不变，距离L均变为2L，则在三角形顶点的三颗星周期变为原来的2倍
D．若距离L不变，四颗星的质量m均变为2m，则在三角形顶点的三颗星角速度变为原来的2倍
【例3】（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校联考模拟预测）如图所示是宇宙中存在的某三星系统，忽略其他星体的万有引力，三个星体A、B、C在边长为d的等边三角形的三个顶点上绕同一圆心O做匀速圆周运动。已知A、B、C的质量分别为2m、3m、3m，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．三个星体组成的系统动量守恒
B．A的周期小于B、C的周期
C．A所受万有引力的大小为
D．若B的角速度为，则A与圆心O的距离为
【例4】．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学阶段练习）近年来，科学家们发现茫茫宇宙中，有双星系统，三星系统。设想有两个相距L1、质量均为m1的星球在相互引力作用下，绕其中心做匀速圆周运动，运动速度大小为v1，角速度为ω1；另有三个分别相距L2、质量均为m2的星球构成等边三角形，三个星球在相互引力作用下，绕其中心做匀速圆周运动，运动速度大小为v2，角速度为ω2，则（ ）A．B．C．D．
类型4 四星问题
【例1】（2023·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，如图所示，设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上、已知引力常量为G，关于四星系统，下列说法正确的是（ ）
A．四颗星的向心加速度的大小均为
B．四颗星运行的线速度大小均为
C．四颗星运行的角速度大小均为
D．四颗星运行的周期均为
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）宇宙中存在着这样一种四星系统，这四颗星的质量相等，远离其他恒星，因此可以忽略其他恒星对它们的作用。四颗星稳定地分布在一个正方形的四个顶点上，且均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动。假设每颗星的质量为m，正方形的边长为L，每颗星的半径为R，引力常量为G，则（ ）
A．每颗星做圆周运动的半径为
B．每颗星做圆周运动的向心力大小为
C．每颗星表面的重力加速度为
D．每颗星做圆周运动的周期为【例3】（2023·全国·高三专题练习）如图为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，万有引力常量为G。下列说法中正确的是（ ）
A．星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变