广东省梅州市大埔县虎山中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

这是一份广东省梅州市大埔县虎山中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
虎山中学2024届高三摸底考试数学试题2023.8一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则（  ）A.       B.       C.       D. 2. 已知，则的值为（  ）A.       B.       C.       D. 3.某种活性细胞的存活率与存放温度之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：存放温度104-2-8存活率20445680经计算，回归直线的斜率为-3.2，若这种活性细胞的存放温度为，则其存活率的预报值为（  ） A. 32%      B. 33%      C. 34%      D. 35%4. 已知函数，则（  ）A.       B. -6      C.       D. -35．已知，则“”是“”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6. 已知，则不等式的解集为（ ）A.      B.       C.       D. 7. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的3倍，，，则该曲池的体积为（  ）A.       B.       C.       D. 8. 在中，角的边长分别为，点为的外心，若，则的取值范围是（  ）A.       B.       C.       D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点B（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）的判断正确的是（　　）A．函数y＝f（x）是奇函数        B．对任意的x∈R，都有f（x+4）＝f（x﹣4）C．函数y＝f（x）的值域为 D．函数y＝f（x）在区间[6，8]上单调递增10. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）A. 是以4为周期的周期函数           B. C. 函数有3个零点   D. 当时，11. 已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则（ ）A. 为偶函数     B. 的最小正周期是C. 的图象关于直线对称    D. 在区间上单调递减12. 如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE、DF、EF折起，使A、B、C重合于点P．则下列结论正确的是（　　）A．PD⊥EF                           B．平面PDE⊥平面PDFC．二面角P﹣EF﹣D的余弦值为      D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数满足，则_______（用代数式表示）.14. 已知正实数m，n满足，则的最小值为______．15.已知，是双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与的左支交于点，与的右支交于点，，则的离心率为________．16. 已知函数.（1）若对任意实数，恒成立，则的取值范围是_________；（2）若存在实数，使得，则的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，已知.（1）求角的值；（2）设的平分线交边于，若，，求的面积.18.（本小题满分12分）设是公比大于的等比数列，，且是，的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和．19.（本小题满分12分）若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标． 20.（本小题满分12分）如图所示的圆柱中，AB是圆O的直径，，为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，E，F分别为，的中点．（1）证明：而ABCD；（2）求平面与平面所成锐二面角余弦值． 21.（本小题满分12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计，这100位居民的网购消费金额均在区间内（单位：千元），按分成6组，其频率分布直方图下如图.（1）将一年来网购消费金额在20千元以上称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”； 男女合计网购迷 20 非网购迷45  合计  100（2）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.附：观测值公式：.临界值表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822.（本小题满分12分）已知函数，其中为常数.（1）设为的导函数，当时，求函数的极值；（2）设点，，曲线在点处的切线的斜率分别为，直线的斜率为，证明：.      虎山中学2024届高三摸底考试数学试题参考答案2023.8DACAABBD1.D【解】由题设，，则，选D.2.A【解】，选A.3.C【解】设回归直线方程为，由表中数据可得，.因为回归直线经过样本点中心，则.所以当时，，选C.4.A【解】因为，则，所以，选A.7.B【解】设所在圆的半径为，所在圆的半径为，因为，则. 因为，则，所以该曲池的体，选B.8.D【解】取的中点，则，所以.因为，则，即.所以，选D.9.BCD．【解】当﹣4≤x≤﹣2，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的圆，当﹣2≤x≤2时，B的轨迹是以D为圆心，半径为2的圆，当2≤x≤4时，B的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆，当4≤x≤6时，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的圆，作出函数的图象如图，函数为偶函数，故A错误；函数的周期是8，故B正确；函数值域为[0，2]，故C正确；由图可知，函数在[6，8]上单调递增；故选：BCD．10.ACD【解】因为，则.又为偶函数，则，从而，所以是周期为4的周期函数，A正确.因为的周期为4，则，，所以，B错误；作和的图象，由图可知，两个函数图象有3个交点，C正确；当时，，则，D正确.故选ACD.   11.BC【解】由图知，，则，即，因为，所以.因为为的零点，则，得.由图知，，则，所以，，从而.由题设，，则为非奇非偶函数，的最小正周期.当时，，则的图象关于直线对称.当时，，不单调，选BC.12.【解】如图，由已知可得PE、PF、PD三条侧棱两两互相垂直，则PD⊥平面PEF，∴PD⊥EF，故A正确；PE⊥平面PDF，而PE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PDF，故B正确；取EF中点G，连接PG，DG，可得PG⊥EF，DG⊥EF，得∠PGD为二面角P﹣EF﹣D的平面角，设正方形ABCD的边长为2，则PD＝2，PG，DG，∴cos，即二面角P﹣EF﹣D的余弦值为，故C正确；过P作PO⊥DG，则O为P在底面DEF上的射影，∵PE＜PD，∴OE＜OD，则O不是△DEF的外心，故D错误．    故选：ABC．13.【解】.   14. 1715．【解】由题意知，，所以，即，易得．设，，．由双曲线的定义得：，解得：，所以，因为，所以离心率 ．16.（1）；（2）【解】（1）由，得，设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.因为恒成立，则，所以的取值范围是.（2）依题，有两个不同零点，则直线与函数的图象有两个不同交点，  因为当时，；当时，；当时，，由图可知，的取值范围是.17.解：（1）设角的对边分别为，由已知及正弦定理，得，即，由余弦定理，得，则，即.因为，所以.      5分（2）因为为的平分线，则，又，由，得，即.在中，由余弦定理，得，因为，则，即，因为，则，所以的面积.     10分18.解：（1）设等比数列的公比为．依题意，有      1分将代入得，得．  2分联立得两式两边相除消去得，解得或（舍去），                   3分所以．                              4分所以．                 5分（2）解法一：因为       6分所以，……①    7分……②   8分①②，得                9分．                   11分所以，数列的前项和．           12分解法二：因为所以               8分进而得   11分           所以数列的前项和为           12分19.解：(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax＝－sin2ax＝－sin＋，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－或m＝，由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，所以m＝－或m＝，a＝2.        6分(2)∵f(x)＝－sin＋，∴令sin＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，由0≤－≤　(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为或.       12分20. （1）证明：取的中点G，连接EG，FG，AC，因为，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因为，，所以四边形AGFC是平行四边形，，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因为，所以平面平面ABCD，因为平面ABCD，所以平面ABCD．         5分（2）解：设，由，得，因为，所以，由题意知CA，CB，两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，由得，取，得，连接BD，因为，，，所以平面，所以平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 12分  21.解：（1）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.因为非网购迷人数共有100-35=65，其中男性45人，则女性有20人，所以补全的2×2列联表如下： 男女合计网购迷152035非网购迷452065合计6040100因为，查表得，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.     4分（2）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为，后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.     7分（3）解法一：由表知，甲、乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为.
设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意，，.        所以，，因为，则，所以的数学期望为.   12分解法二： 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为，则.因为的可能取值为0，1，2，则的可能取值为0，1，2，3，4.由表知，甲、乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为.则，， =，，所以，即的数学期望为.  12分22.【解】（1）当时，，，则.则当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，且无极大值.     4分（2）由题设，，，则，又，则所证不等式化为，因为，，则.令，，因为，则，，所以在上单调递增，从而，即，因为，则，从而，所以.  12分