湖南省岳阳市平江县第一中学2023届高三下学期适应性考试（二）数学试题

2023届平江一中高三适应性考试（二）

科目：数学科

一、单选题

1．集合，若，则集合可以为（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数（i是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（    ）

A． B． C． D．

3．若点在圆上，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

4．何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm，上口直径约为28cm，下端圆柱的直径约为18cm．经测量知圆柱的高约为24cm，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，，）（    ）

A．    B．    C．      D．

5．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，正方形的边长为是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（    ）

A．的最大值为4           B．的最大值为

C．的最大值为2           D．的最大值为

7．对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，则的最小值为（    ）

A．-1 B． C． D．

8．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．3

二、多选题

9．（长沙市一中月考6 T5改编）已知由样本数据点集合，求得回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为，则（    ）

A．变量与具有正相关关系          B．去除后的回归方程为

C．去除后的估计值增加速度变慢      D．去除后相应于样本点的残差为

10．（长沙市一中月考6 T9改编）设函数，若在上有且仅有3条对称轴，则（    ）

A．在上有且仅有2个最大值点     B．在上有且仅有2个零点

C．的取值范围是                  D．在上单调递增

11．数列满足，，数列的前n项和为，且，则下列正确的是（    ）

A．                     B．数列的前n项和

C．数列的前n项和     D．

12．勒洛三角形也被称为定宽曲线，勒洛三角形的立体版就是如图所示的立体图形，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分组成的，因此它能像球一样来回滚动.这种立体图形称为勒洛四面体，若图中勒洛四面体的四个顶点分别为P、A、B、C，任意两个顶点之间的距离为1，则下列说法正确的是（    ）

A．图中所示勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为1

B．图中所示勒洛四面体的内切球的表面积为

C．平面截此勒洛四面体所得截面的面积为

D．图中所示的勒洛四面体的体积是

三、填空题

13．（岳阳市二模T14改编）的展开式中，含项的系数为___________．

14．（岳阳市二模T15改编）已知函数，写出一个同时满足下列两个条件的：___________.①在上单调递减；②曲线存在斜率为的切线.

15．（长沙市一中月考8 T15改编）如图，在平面斜坐标系中中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若，其中，分别为与轴、轴同方向的单位向量，则点的斜坐标为.那么，以为圆心，2为半径的圆在斜坐标系中的方程是________.

16．如图，双曲线E：的左、右焦点分别为，，过作以为圆心、为半径的圆的切线，切点为T.延长交E的左支于P点，若M为线段的中点，且，则E的离心率为______.

四、解答题

17．已知数列的前项和为，且，_______.

请在（1）;（2）成等比数列;（3），这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下列问题.

(1)求数列的通项公式;       (2)若，求数列的前项和.

注:如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

18．已知的内角所对的边分别为.

(1)若，求证:是等边三角形;

(2)已知的外接圆半径为，求的最大值.

19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中平面EDC），四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面 ．

(1)设 为棱 的中点，证明：四点共面；

(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．

20．某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.

(1)若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；

(2)经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为，18班代表队胜的概率为，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X，求随机变量X的数学期望.

21．已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，T的离心率为．

(1)求椭圆T的标准方程；

(2)设，且，过点D的直线l与椭圆T交于不同的两点M，N，是T的右焦点，且与互补，求面积的最大值．

22．已知函数，，.

（1）若，证明：当时，；

（2）讨论在上零点的个数.