2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是(    )

A. 两点之间线段最短
B. 垂线段最短
C. 过一点只能作一条直线
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
 

3.  下列方程组中，是二元一次方程组的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若，则下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列采取的调查方式，正确的是(    )

A. 某企业招聘，对应聘人员的面试，采用抽样调查的方式
B. 为了解全市初中生每天完成作业的时间，采用全面调查的方式
C. 对“神舟十六号”零部件的检查，采用全面调查的方式
D. 为了解一批节能灯的使用寿命，采用全面调查的方式

7.  甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  实数，表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若关于的不等式组的所有整数解的和为，则的值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，周长为的长方形被分成个形状大小完全相同的小长方形，则长方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  如图，若，则 ______ ．

12.  计算： ______ ．

13.  已知是方程的解，那么 ______ ．

14.  已知一组数据为，，，，，则无理数出现的频数是______ ．

15.  五子棋的比赛规则是一人执黑子，一人执白子，两人轮流出棋，每次放一个棋子在棋盘的格点处，只要有同色的五个棋子先连成一条线横、竖、斜均可就获得胜利如图是两人正在玩的一盘棋，若白棋所在点的坐标是，黑棋所在点的坐标是，现在轮到黑棋走，黑棋放到点的位置就获得胜利，点的坐标是______ ．

16.  在平面直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
我们通常在施工项目附近的地面上，看到如图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导．如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题：

画出安全标志图形向右平移格后的图形，并标注、的对应点、；
完成后，图中与的位置关系是______，数量关系是______．

19.  本小题分
解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．

 

20.  本小题分
已知在平面直角坐标系中，点的坐标为．
若点在轴上，求出点的坐标；
若点到轴的距离为，求出点的坐标．

21.  本小题分
解下列二元一次方程组：
；
．

22.  本小题分
如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，已知，．
求证：；
若是的平分线，，求的度数．

23.  本小题分
本学期以来，某初中加强了中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”的工作，数学兴趣社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级若干名学生，对他们一周内参与运动的时间单位：小时进行了调查，将数据整理后绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
______ ，组对应的圆心角度数为______ 度；
补全频数分布直方图；
请估计该校名学生中每周的运动时间不少于小时的人数．

 

24.  本小题分
某学校准备新建个停车位，以解决老师停车难的问题已知新建个地上停车位和个地下停车位需万元；新建个地上停车位和个地下停车位需万元．
该学校新建个地上停车位和个地下停车位各需多少万元？
若该学校预计投资金额超过万元而不超过万元，则有哪几种建造方案？

25.  本小题分
定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“好友数”，点、为“好友点”．
若为“好友点”，则 ______ ；
判断下列命题的真假，真命题在括号内打“”，假命题在括号内打“”．
与是互为“好友数”的；______
若点为“好友点”，则点也一定为“好友点”；______
若与互为相反数，则一定不是“好友点”；______
存在与互为“好友数”的实数；______
已知、是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于，的二元一次方程组的解，请判断点是否能成为“好友点”？若能，请求出的值和点的坐标；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根依此即可求解．
【解答】
解：的算术平方根是．
故选C．

2.【答案】 

【解析】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，因此，沿开渠，能使所开的渠道最短．
故选：．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段；直线外一点与直线上任意一点的连线中，垂线段最短；
本题主要考查垂线段的定义和性质，掌握连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短是解题关键．

3.【答案】 

【解析】解：该方程组是二元一次方程组，故符合题意；
B.该方程组中的是二次的，不是二元一次方程组，故不符合题意；
C.该方程组中的是二次的，不是二元一次方程组，故不符合题意；
D.该方程组中的分母含未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意；
故选：．
组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．
本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，
四边形是矩形纸片，
，
，
，，
，
即．
故选：．
过点作，根据矩形的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，从而得出答案．
本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，矩形的对边平行，每一个角都是直角的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，
，原变形错误，故A不符合题意；
B.，
，原变形错误，故B不符合题意；
C.，
，原变形错误，故C不符合题意；
D.，
，原变形正确，故D符合题意．
故选：．
利用不等式的性质逐一判断即可．
本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个负数时，不等号方向改变．

6.【答案】 

【解析】解：、某企业招聘，对应聘人员的面试，需要了解每位应聘人员的详细情况，适宜采用全面调查，故A不符合题意；
B、为了解全市初中生每天完成作业的时间，调查对象多，适宜采用抽样调查，故B不符合题意；
C、对“神舟十六号”零部件的检查，要求精确，细致的检查，适宜采用全面调查方式，故C符合题意；
D、为了解一批节能灯的使用寿命，对调查对象有破坏性，适宜选择抽样调查，故D不符合题意；
故选：．
根据全面调查和抽样调查的特性，对选项逐一分析解答即可．
本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．

7.【答案】 

【解析】解：由图可知，利用图形的翻折变换得到，利用图形的平移得到．
故选：．
根据图形平移与翻折变换的性质解答即可．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：由数轴知：，，，
，，．



．
故选：．
先根据点在数轴上的位置确定、、的正负，再化简绝对值，最后加减．
本题主要考查了二次根式，掌握二次根式的化简是解决本题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：，
解得，
解得．
所有整数解的和为，
整数解是，，，，．
，
解得：．
的值不可能是．
故选：．
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后根据整数解的和为，确定整数解，即可求得的取值范围．
此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

10.【答案】 

【解析】解：设小长方形的长为，宽为，
则，
解得，
所以长方形的面积为．
故选：．
根据题意可知，本题中的相等关系是“周长为”和“小长方形的个宽等于个长”，列方程组求解即可．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：和是对顶角，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
先根据对顶角相等求出和的度数，然后根据邻补角定义用减去的度数即可求出的度数．
本题主要考查对顶角和邻补角，熟练掌握对顶角相等和邻补角定义是解决问题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接进行同类二次根式的合并即可得出答案．
本题考查二次根式的减法运算，比较简单，注意计算时要细心．

13.【答案】 

【解析】解：将代入原方程得：，
解得：．
故答案为：．
将代入原方程，可得出，解之即可得出的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：已知一组数据为，，，，，则无理数有：，，，共有个，
无理数出现的频数是，
故答案为：．
根据无理数的定义判断出无理数的个数，即可解答．
本题考查了频数与频率，算术平方根，无理数，熟练掌握频数的意义是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：点的坐标是．
故答案为：．
直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．

16.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，
解得．
故答案为：．
根据点在第四象限和第四象限点的坐标的特点，可以得到关于的不等式组，从而可以得到的取值范围．
本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第四象限点的坐标的符号是，列出相应的不等式组．

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据数的开方法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，涉及到数的开方法则及绝对值的性质，熟知以上知识是解题的关键．

18.【答案】图形如图所示：

  ； 

【解析】利用平移变换的性质求出平移后的图形即可；
利用平移变换的性质判断即可．
本题考查作图利用平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

19.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

20.【答案】解：点的坐标为点在轴上，
，
，
，
点的坐标为；
点到轴的距离为，
，
解得或，
当时，，即点的坐标为；
当时，，即点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】由轴上的点的横坐标为，可得，从而可解得的值，再将的值代入计算，则可得答案；
根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值求解即可．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．

21.【答案】解：，
方程化为，
，得，
解得，
将代入得，，
方程组的解为；
，
方程化为，
得，，
解得，
将代入得，，
方程组的解为． 

【解析】先将方程化为，再由加减消元法求解即可；
先将方程化为，再由加减消元法求解即可．
本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．

22.【答案】证明：，
．
，
．
；
解：是的平分线，且，
，
，
，
． 

【解析】由平行线的性质可得，由可得，即可证明；
由可知，再由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再由三角形外角性质即可求出．
本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．

23.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生有：人，
，
组对应的圆心角度数为：，
故答案为：，；
组的频数为：，
补全的频数分布直方图如图所示；
人，
即该校名学生中每周的运动时间不少于小时的约有人．
根据组的频数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出的值和组对应的圆心角度数；
根据中求得的调查的总人数和直方图中的数据，可以计算出组的频数，然后即可将直方图补充完整；
根据直方图中的数据，可以计算出该校名学生中每周的运动时间不少于小时的人数．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

24.【答案】解：设该学校新建个地上停车位需万元，个地下停车位需万元，
根据题意得：，
解得：．
答：该学校新建个地上停车位需万元，个地下停车位需万元；
设该学校新建个地上停车位，则新建个地下停车位，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，
该学校共有种建造方案，
方案：新建个地上停车位，个地下停车位；
方案：新建个地上停车位，个地下停车位． 

【解析】设该学校新建个地上停车位需万元，个地下停车位需万元，根据“新建个地上停车位和个地下停车位需万元；新建个地上停车位和个地下停车位需万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该学校新建个地上停车位，则新建个地下停车位，根据“该学校预计投资金额超过万元而不超过万元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各建造方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

25.【答案】         

【解析】解：把代入，得：，
解得：，
故答案为：；
把和分别代入的左右两边，得：
左边，右边，
左边右边，
与是互为“好友数”，
故是真命题；
把点代入后，结果为，
根据加法交换律和乘法交换律可以知道可以变形为，
若点为“好友点”，则点也一定为“好友点”，
故是真命题；
与互为相反数，
，
假设是“好友点”，
，
，
存在这样的实数，使、是相反数，点又是“好友点”，
故是假命题；
把代入得：，
不存在这样的的值，
不存在与互为“好友数”的实数，
故是假命题；
故答案为：；；；．
，
解方程组得：，
设点是能成为“好友点”，
，
，解得，
，
点坐标为
根据“好友点”的定义把代入，求出值即可；
根据“好友数”或“好友点”的定义对每一个命题进行判断即可解决问题；
先解关于、的二元一次方程组求出、的值，然后根据“好友点”的定义代入关系式得到关于的方程，解方程即可求出的值，然后求出的值即可求出点的坐标．
本题是新定义综合题，主要考查命题和定理，代数式的值，解二元一次方程组以及数对等知识点，深入理解“好友点”和“好友数”的定义是解决问题的关键．