第二章 函数（B卷·能力提升练）-2023-2024学年度高一数学分层训练（北师大版2019必修第一册）

班级              姓名             学号             分数           

第二章  函数（B卷·能力提升练）

（时间：120 分钟，满分：150 分）

一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）

1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数的定义域是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求定义域问题，要保证式子有意义，分母不等于0，开偶次方被开方数不小于0.

【详解】因为，所以要使式子有意义，则

，解得，即.

所以函数的定义域是.故A，C，D错误.

故选：B.

2．（2022·全国·高一课时练习）函数的图像可能是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合函数定义域以及幂函数性质，即可判断

【详解】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．

故选：C

3．（2021·贵州毕节·高一期中）已知函数，且，则（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】利用换元法求得函数解析式求解.

【详解】设，则，

所以，

，

解得．

故选：B

4．（2021·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（文））已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式．

【详解】因为偶函数在区间上单调递增，

所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，

因为，

所以，解得：.

故选：A．

5．（2022·全国·高一课时练习）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：

若某户居民月交纳的水费为元，则此户居民本月用水量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，求出关于的函数解析式，再令，解出的值，即可得解.

【详解】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，

当时，，

当时，，

当时，.

令，解得.

故选：D.

6．（2022·全国·高一单元测试）设偶函数 在区间 上单调递增， 则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性，将转化为，再利用函数单调性即可比较大小.

【详解】根据题意为偶函数，则，

又由函数 在区间 上单调递增，且,

所以，

所以，

故选：B．

7．（2022·北京延庆·高二期末）是定义域为的奇函数，且，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可得函数的周期为1，然后利用周期和奇函数的性质可求得结果.

【详解】因为，所以，

所以函数的周期为1，

因为是定义域为的奇函数，，

所以，

故选：C

8．（2022·河南·高二期末（理））已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】不妨设，令，由题分析可得函数在上单调递减，讨论和时，要使在上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案.

【详解】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，

则恒成立，所以函数在上单调递减.

当时，在上单调递减，符合题意；

当时，要使在上单调递减，

则解得.

综上所述，实数a的取值范围是.

故选：D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9．（2021·黑龙江·哈九中高一阶段练习）下列函数中，满足的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】分别求解和，依次判断四个选项即可.

【详解】，，故选项A正确；

，，故选项B正确；

，，故选项C正确；

，，故选项D错误.

故选：ABC..

10．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（       ）

A．若的定义域为，则的定义域为

B．表示同一个函数

C．函数的值域为

D．函数满足，则

【答案】ACD

【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.

【详解】对于A，因为的定义域为，所以，

解得，即的定义域为，故A正确；

对于B，定义域为，定义域为，不是同一函数，故B不正确；

对于C，令，则，，

所以，，

所以当时，该函数取得最大值，最大值为，

所以函数的值域为，故C正确；

对于D，，

化简得

两式相加得，解得

，故D正确．

故选：ACD．

11．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（       ）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．当时， D．当时，

【答案】ACD

【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.

【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，

所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，

因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，

当时，，故C正确，

当时，，

又，所以，D正确．

故选：ACD.

12．（2022·全国·高一课时练习）（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.

【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．

A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；

B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；

C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；

D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．

故选：ABD．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．（2019·江苏·高三专题练习）给出函数，如下表，则的值域为______

【答案】

【分析】由题可得，同理,,,

进而得出答案．

【详解】,

,

,

,

所以值域为

【点睛】本题考查求函数值问题，属于简单题．

14．（2021·云南·昆明市第三中学高一期中）设m为实数，若是偶函数，的单调递减区间为________

【答案】

【分析】由函数的奇偶性可得，再利用二次函数的性质即得.

【详解】∵是偶函数，

∴，

∴，函数对称轴为，

∴函数的单调递减区间为.

故答案为：.

15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________.

【答案】3

【分析】根据奇函数的性质即可求解.

【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，故，

，故.

故答案为：3.

16．（2022·全国·高一课时练习）若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】把函数解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数的和的形式，由函数在为增函数得出，从而得到实数的取值范围．

【详解】解：函数，

由复合函数的增减性可知，若在为增函数，

，，

故答案为：．

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17．（2022·全国·高一）已知函数

(1)求的值；

(2)若，求的值；

(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域.

【答案】(1)

(2)或

(3)图象见解析，

【分析】（1）根据自变量的取值代入对应的函数表达式中即可求解函数值.

（2）根据函数值的大小，代入对应的表达式中，分情况讨论即可求解.

（3）根据每一段上函数的特征分段即可画出.

(1)

因为，所以

(2)

当时，，不合题意，应舍去

当时，

解得或（舍）

当时，，则

综上，或

(3)

值域为

18．（2021·广东·佛山市顺德区文德学校高一阶段练习）已知函数f(x)=.

(1)求函数的定义域；

(2)试判断函数在(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明；

(3)试判断函数在x∈[3，5]的最大值和最小值.

【答案】(1){x|x≠-1}

(2)是增函数，证明见解析

(3)最大值为，最小值为

【分析】（1）根据函数f(x)有意义，列出不等关系求解即可；

（2）先分离常数转化函数为f(x)==2-，根据反比例函数的单调性判断函数单调性，再利用定义证明即可；

（3）结合（2）中函数单调性求解即可

(1)

∵f(x)=，∴x+1≠0，∴x≠-1，

∴函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}.

(2)

∵f(x)==2-，∴函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数.

证明如下：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=( 2-) –(2-)=-+=，

∵-1<x1<x2，∴x2-x1>0，∴x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，

∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(-1，+∞)上是增函数.

(3)

∵函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数，

∴f(x)在x∈[3，5]上单调递增，

∴函数f(x)在x∈[3，5]上的最大值为f(5)=2-=，最小值为f（3）=2-=.

19．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高二开学考试）已知幂函数为奇函数.

(1)求函数的解析式；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，即可求解；

（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.

（1）

解：由题意，幂函数，

可得，即，解得或，

当时，函数为奇函数，

当时，为非奇非偶函数，

因为为奇函数，所以.

（2）

解：由（1）知，可得在上为增函数，

因为，所以，解得，

所以的取值范围为.

20．（2022·云南丽江·高一期末）已知定义在R上的偶函数，当时，．

(1)求函数在R上的解析式；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)（1，2].

【分析】（1）设，则，然后将代入已知解析式并根据奇偶性化简，进而求出函数在R上的解析式；

（2）判断出函数在上单调递减，在上单调递增，然后结合函数的对称性并比较区间端点值的大小即可求出答案.

(1)

当时，则，，

又∵为偶函数，∴．

∴当时，，∴.

(2)由（1）知在上单调递减，函数是偶函数.

∴在上单调递增.

又∵在上单调递增，∴.

∴，则，故实数的取值范围是（1，2].

21．（2021·云南·弥勒市一中高一阶段练习）已知二次函数满足，且．

（1）求的解析式；

（2）求函数在区间上的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）利用待定系数法即可求出答案；

（2）将解析式写成顶点式，从而求出函数的对称轴、单调性，由此可求出函数的最值．

【详解】解：（1）设，则，

∵，

∴，

∴，解得，

又，∴，∴；

（2）由（1）得，

①当时，函数在上单调递减，

∴；

②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

∴；

∴．

【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，考查二次函数的单调性与最值，考查数形结合思想，考查转化与化归思想，属于中档题．

22．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．

(1)求证：函数是奇函数；

(2)求证：在上是减函数；

(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3).

【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.

（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明.

（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.

（1）

令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数．

（2）

设，则，所以．

因为，，，所以，即，所以．

又，所以，所以，

所以，即．所以在上是减函数．

（3）

由（2）知函数在上是减函数，

所以当时，函数的最大值为，

所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立．

设，是关于a的一次函数，，

要使对任意恒成立，

所以，即，解得或，

所以实数t的取值范围是．