第一次月考模拟检测卷【范围：集合、常用逻辑用语、不等式】 -2023-2024学年度高一数学分层训练（北师大版2019必修第一册）

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班级              姓名             学号             分数           第一次月考考试卷范围：集合~不等式（时间：120 分钟，满分：150 分）一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，下列选项中均为A的元素的是（       ）（1）（2）（3）（4）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断．【详解】集合有两个元素：和，故选：B2．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））已知，则的子集个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【分析】对集合A化简，再与集合B进行交集运算，可得到共有3个元素，再用判断子集个数公式即可.【详解】因为所以，则,而又因为,所以，集合中有3个元素，所以的子集个数为：（个）.故选：D.3．（2022·山东潍坊·三模）已知集合，，若，，则一定有（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别分析每个选项，举出反例以否定错误选项.【详解】对于选项A，当集合时，，故此选项错误；对于选项B，当集合时，，故此选项错误；对于选项C，当集合时，，故此选项错误；对于选项D，因为，，且，所以，故此选项正确.故选：D.4．（2022·云南·高三阶段练习）设全集为，集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.【详解】解：，，故选：B.5．（2022·全国·高一课时练习）若，则的值为（       ）A．-3 B．3 C．-12 D．12【答案】C【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项.【详解】解：因为，所以，解得，所以，故选：C.6．（2022·全国·高一课时练习）已知为正实数且，则的最小值为（       ）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为为正实数且，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立；所以，当且仅当时等号成立；故选：D7．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知下列四组陈述句：①：集合；：集合．②：集合；：集合．③： ；： ．④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．其中p是q的必要而不充分条件的有（       ）A．①② B．③④ C．②④ D．①③【答案】D【分析】根据必要而不充分条件的逻辑关系，结合集合的包含关系，一一判断各选项的推出关系，可得答案.【详解】①∵，则可得，则又∵，则当成立，当成立，∴，故必要性成立，因此是的必要而不充分条件．②若，则根据子集的性质可得，故充分性成立，反之，若，则成立，故必要性成立，因此是的充要条件；③对于,当时，，故 ，∴是的必要而不充分条件；④是的充分而不必要条件；综上，是的必要而不充分条件的有①③．故选：D．8．（2022·江苏·高一单元测试）设集合，则下列说法一定正确的是（       ）A．若，则B．若，则C．若，则有4个元素D．若，则【答案】D【分析】首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.【详解】（1）当时，，；（2）当时，，；（3）当时，，；（4）当时，，；综上可知A，B，C，不正确，D正确故选：D 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．已知全集，集合，，则（       ）A．的子集有个 B． C． D．中的元素个数为【答案】ACD【分析】根据已知条件求出集合，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解.【详解】因为，所以，因为中的元素个数为，所以的子集有个，故A正确；由，，得，所以，故B不正确；由，，所以，所以， 故C正确；由，得中的元素个数为，故D正确.故选：ACD. 10．（2022·重庆八中高二期末）下列说法正确的有（       ）A．命题“”的否定是"”B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是C．若则“"的充要条件是“”D．“”是“”的充分不必要条件【答案】ABD【分析】根据命题的否定即可判断A，根据恒成立转化成最值问题即可判断B,根据充要条件的判断即可求解C,根据基本不等式即可求解D.【详解】命题“”的否定是"”,故A对，因为命题“，”为假命题，则，解得，故B正确，因为可得，当，时，有，所以若则“"是“”的充分不必要条件，故C错，当“”是“”成立，当“”得“或”，故“”是“”的充分不必要条件，D正确故选：ABD 11．（2022·福建·福州三中高一期末）下列说法正确的是（       ）A．知0＜x，则x（1﹣2x）的最大值为 B．当时，的最大值是1C．若，，则的取值范围是 D．若，，则【答案】AB【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确．对于B：当时，，，所以，当且仅当即时等号成立，所以有最大值1，故B正确；对于C：因为，所以；又因为，所以，所以．故答案为：，故C错误；对于D：因为，，所以，∴，故D错误；故选：AB 12．（2021·河北·石家庄市第四十四中学高一阶段练习）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（       ）A．已知，，则B．已知或，，则或C．如果，那么D．已知全集､集合､集合关系如上图中所示，则【答案】BCD【分析】由题意可知即先求，的交集，然后求其以为全集的补集，结合差集定义依次判断各个选项即可．【详解】由题意可知，即先求，的交集，然后求其以为全集的补集．对于A：根据差集的定义可知：若，，则，故选项A不正确；对于B：或，，则或，故或，故选项B正确；对于C：如果，则，故，故选项C正确；对于D：因为，故选项D正确．故选：BCD 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．（2022·全国·高一课时练习）设集合，，，则集合C=______．【答案】【分析】计算出可得答案.【详解】，时；，时；，时；，时；，时；，时；，时；，时；所以．故答案为：.14．（2022·浙江·杭十四中高一期末）“”是“”的               条件.【答案】必要不充分【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可.【详解】若，如，则，故充分性不成立；若，则，则，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分条件.15．（2022·全国·高一课时练习）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】由充分条件的定义可得实数的取值范围【详解】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．故答案为：16．（2021·吉林油田高级中学高一开学考试）若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】根据基本不等式求出，，根据不等式“，不等式恒成立”可得答案.【详解】由基本不等式可知，（当且仅当x＝1时取“＝”），因为“，不等式恒成立”，故,故答案为： 四、解答题（本题共6小题，共70分。）17．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，或．求，；【答案】或；【分析】由并集、补集和交集定义直接求解即可.【详解】由并集定义知：或；，.18．（2022·全国·高一课时练习）已知全集，集合，．(1)求；(2)若且，求实数的值；(3)设集合，若的真子集共有个，求实数的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）解出集合、，利用补集的定义可求得；（2）由已知可得出关于的等式，结合可求得实数的值；（3）分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的真子集个数可求得实数的值.（1）解：因为，，因此，.（2）解：若，则或，解得或．又，所以．（3）解：，，当时，，此时集合共有个真子集，不符合题意，当时，，此时集合共有个真子集，符合题意，综上所述，.19．（2021·辽宁·大连市第十五中学高一阶段练习）已知集合，，若，求实数的取值集合.【答案】【分析】由，得，然后分和的两种情况求解【详解】，由，得，当时，满足，此时，当时，由，可得或，所以或，得或，综上实数的取值集合为20．（2020·云南省玉溪第一中学高一阶段练习）已知集合．（1）若时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由交集和并集运算可直接求得结果；（2）利用补集定义可求得，由包含关系可得到结果.【详解】（1）当时， ，，.（2）或，，因为，所以，即实数的取值范围为. 21．（2022·河南师大附中高二阶段练习（理））（1）已知a，b，c，为不全相等的正数，求证：．（2）已知a，b，为正数且，求证：．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；【分析】（1）根据式子左边的结构特点分析，对其分解、组合变形可利用基本不等式证明；（2）根据“1”的代换，再利用基本不等式证明即可.【详解】证明：（1）a，b，c为不全相等的正数，即：，，且a，b，c不全相等，由基本不等式得：（2），，且 当且仅当即时，等号成立. 22．（2022·全国·高一单元测试）已知集合，.(1)若，求实数t的取值范围；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出集合，再对与两种情况讨论，分别得到不等式，解得即可；（2）依题意可得集合，分与两种情况讨论，分别到不等式，解得即可；(1)解：由得解，所以，又若，分类讨论：当，即解得，满足题意；当，即，解得时，若满足，则必有或；解得.综上，若，则实数t的取值范围为.(2)解：由“”是“”的必要不充分条件，则集合，若，即，解得，若，即，即，则必有，解得，综上可得,，综上所述，当“”是“”的必要不充分条件时，即为所求．