第二次月考模拟检测卷（范围：第一章~第四章） -2023-2024学年度高一数学分层训练（北师大版2019必修第一册）

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班级              姓名             学号             分数           第二次月考模拟检测卷（时间：120 分钟，满分：150 分）一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）1．设集合，，则　　A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【详解】解：集合，，则．故选：．2．函数的定义域为　　A．，， B． C．， D．，，【答案】A【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】解：，则，解得或，故函数的定义域为，，．故选：A．3．下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是　　A． B． C． D．【答案】C【分析】对选项进行逐个验证，即可解出．【详解】解：当时，选项、显然错误；时，选项错误，选项，，故正确；故选：．4．设，，，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出：，，，从而得出，，的大小关系．【详解】解：，，，．故选：．5．函数的单调递增区间是　　A． B．，， C．和 D．【答案】C【分析】作出函数的图象，数形结合即可得解．【详解】解：由于，作出函数的图象如图所示：结合图象可知函数的单调递增区间是和．故选：．6．一种放射性元素，每年的衰减率是，那么千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于　　年．A．          B． C．    D．以上选项都不对【答案】B【分析】一种放射性元素，每年的衰减率是，则，由此能求出千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）．【详解】解：一种放射性元素，每年的衰减率是，则，解得．千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于．故选：．7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是　　A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由函数的定义域排除选项，再由时，排除，可得答案．【详解】解：由图象可知，函数的定义域为，，，，的定义域为，的定义域为，，，故可排除；又当时，，可排除．8．已知函数，若，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】分，两种情况进行讨论，时可知要使不等式恒成立，须有；时，再分，两种情况讨论，分离参数后化为函数最值可求，注意最后对范围取交集．【详解】解：（1）当时，，要使，即恒成立，则此时．（2）当时，，若，则左边右边，取任意实数；若时，可化为，此时须满足．综上可得，的取值为，，故选：． 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．下列说法正确的有　　A．命题“，”的否定为“．” B．函数且的图象恒过定点 C．已知函数，则的图象关于直线对称 D．【答案】AB【分析】对于选项：由含有量词的命题的否定，需要改变量词，否定结论，故正确；对于选项：利用对数函数的性质，可知恒过，故正确；对于选项：根据函数的性质，可知，关于对称，故错误；对于选项：由换底公式可得，选项错误．【详解】解：对于选项：“，”的否定为“．”，故正确；对于选项：由函数对数函数且恒过，所以恒过，故正确；对于选项：由函数图像关于对称，所以，关于对称，故错误；对于选项：由换底公式，故错误；故选：．10．下列函数是奇函数，且在上单调递减的是　　A． B． C． D．【答案】AD【分析】由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性进行检验即可．【详解】解：根据幂函数性质可知为奇函数且在上单调递减，符合题意；为偶函数，不符合题意；为偶函数，不符合题意；为奇函数且上单调递减，符合题意．故选：．11．若定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，则　　A． B．是奇函数 C．是偶函数 D．在上是减函数【答案】ABD【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性的定义，合理的进行赋值，分别检验各选项即可判断．【详解】解：因为定义在上的函数满足：对任意的，，都有，所以，即，正确；令，则，所以，即为奇函数，正确，错误；设，则，当时，，所以，所以，即在上单调递减，正确．故选：．12．当时，，则的值可以为　　A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先画出对数函数，指数函数的图像，再利用图像求解即可．【详解】解：由题意知，当时，不满足题意，当时，设，，画出函数，的图像如下，由图知，当时，，则，，，，故选：． 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．已知，则的值为 　   　．【答案】0【分析】解方程求出，再代入计算即可．【详解】解：，，解得，．故答案为：0．14．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则　  　．【答案】-2【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性可得答案．【详解】解：根据题意，当时，，，又由为奇函数，则；故答案为：．15．若函数且在上的最大值为2，最小值为，函数在，上是增函数，则的值是　 　．【答案】1【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论：当时，是减函数，，（4）；当时，是增函数，（4），；求出，在判断在，上是增函数，求出即可．【详解】解：当时，是减函数，，即，，，（4），即，把代入可得：，函数在，上是减函数，不符合题意，舍；当时，是增函数，（4），即（4），，，即，把代入可得：，函数在，上是增函数，符合题意；所以，，所以，故答案为1．16．关于函数有以下4个结论：①该函数是偶函数；    ②定义域为，；③递增区间为，；  ④最小值为1；其中正确结论的序号是　　．【答案】③④【分析】结合对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，复合函数单调性“同增异减”的原则，分别分析四个结论的真假，可得答案．【详解】解：函数的定义域为，故②错误；，故不是偶函数，故①错误；令，则，由的单调递增区间为，；为增函数，故函数的递增区间为，，故③正确；当时函数取最小值为1，故④正确；故正确结论的序号是：③④．故答案为：③④ 四、解答题（本题共6小题，共70分。）17．设，，．（1）求；（2）求．【答案】,【分析】（1）可求出集合，，然后进行交集的运算即可；（2）进行并集和补集的运算即可．【详解】解：（1），，；（2），，．18．求值：（1）；（2）．【答案】(1)17;(2)—1【分析】（1）利用指数运算化简，原式，再化简即可；（2）利用对数运算化简，原式，再化简即可．【详解】解：（1）；（2）．19．已知函数，的图象过点，．（1）求，的值；（2）若不等式的解集记为集合，求时，的最大值与最小值．【答案】；（2）最小值为，最大值为【分析】（1）直接将图象所过的点代入解析式，得出，解出，即可；（2）根据函数单调递增，利用单调性求其最值即可．【详解】解：（1）由已知可得点，在函数图像上，，，又不符合题意，．（2）不等式即，则，即，，据此可得，由（1）可得，，在其定义域上是增函数，在区间，上单调递增，所以最小值为，最大值为（4）．20．已知函数且的图象过点，（1）求的值．（2）若，求的解析式及定义域．（3）在（2）的条件下，求的单调减区间．【答案】（1）2 ；（2）；（3）【分析】（1）运用代入法，解方程可得；（2）代入求得的解析式，由对数的真数大于0，可得定义域；（3）由在递增，递减，则在递增，运用复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求减区间．【详解】解：（1）函数且的图象过点，可得，解得；（2），由，且，解得，可得的定义域为；（3），由在递增，递减，则在递增，可得函数的减区间为．21．新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投入成本为．当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（Ⅱ）该公司决定将此药品所获利润的用来捐赠防疫物资．当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，此时可捐赠10万元物资款【分析】（Ⅰ）根据题意，分段求得函数的解析式，即可求得；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所求，分别利用二次函数的性质和基本不等式，求出每一段的最大值，取两者中较大的利润，即为的最大值．【详解】解：（Ⅰ）因为每件药品售价为0.05万元，则千件药品销售额为万元，依题意得：①当时，，②当时，，所以，．（Ⅱ）因为，，①当时，，此时，当时，取得最大值万元，②当时，，此时，即时，取得最大值1000万元，由于，所以当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，此时可捐赠10万元物资款．22．已知函数．（1）当，时，函数恒有意义，求实数的取值范围；（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间，上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1），，；（2）【分析】（1）设，由题意可知，只需（1）即可，从而求出的取值范围．（2）由复合函数的单调性可知，再结合（2）求出的值，检验即可．【详解】解：（1）设，当，时，函数恒有意义，当，时，恒成立，又且，在，上单调递减，（1），，即实数的取值范围为，，．（2）设，且，在，上单调递减，要使函数在区间，上为增函数，由复合函数的单调性可知，且（2），，，即，此时，经检验，满足题意，存在实数，使得函数在区间，上为增函数，并且最大值为1．