黑龙江省大庆市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)

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黑龙江省大庆市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
1．（2023•大庆）一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）过动点T（t，0）作x轴的垂线l，l与一次函数y＝﹣x+m和反比例函数y＝的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．

2．（2022•大庆）已知反比例函数y＝和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，b），（3a+1，b+）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数y＝x，y＝3x的图象分别与函数y＝（x＞0）图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

二．反比例函数综合题（共1小题）
3．（2021•大庆）如图，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数y＝的图象交于P，D两点．以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知△BOD的面积与△AOB的面积之比为1：4．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长．

三．二次函数的应用（共1小题）
4．（2022•大庆）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点P所表示的实际意义是 　 　，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 　 　kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？

四．二次函数综合题（共3小题）
5．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

6．（2023•大庆）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+时，求tan∠RPQ的值；
（3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y＝（ax2+bx+c）的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．

7．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．


五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
8．（2022•大庆）如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．

六．矩形的判定与性质（共1小题）
9．（2023•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．

七．圆的综合题（共3小题）
10．（2023•大庆）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AF•AC＝AE•AH；
（3）若sin∠DEA＝，求的值．

11．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．

12．（2022•大庆）如图，已知BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BC＝16．点D为⊙O外的一点，∠ACD＝∠B．点E为AC中点，弦FG过点E，EF＝2EG，连接OE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）当FG∥BC时，求弦FG的长．

八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
13．（2023•大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．（结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268）

九．扇形统计图（共1小题）
14．（2023•大庆）为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 　 　，扇形统计图中的m＝　 　；
（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；
（3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．

一十．算术平均数（共1小题）
15．（2021•大庆）某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：
甲：92，95，96，88，92，98，99，100
乙：100，87，92，93，9■，95，97，98
由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，
（1）求甲成绩的平均数和中位数；
（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；
（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．

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参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
1．（2023•大庆）一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）过动点T（t，0）作x轴的垂线l，l与一次函数y＝﹣x+m和反比例函数y＝的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．

【答案】（1）一次函数表达式为y＝﹣x+3，反比例函数的表达式为y＝；
（2）；
（3）t＜0或1＜t＜2．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2），
∴2＝﹣1+m，2＝，
∴m＝3，k＝2，
∴一次函数表达式为y＝﹣x+3，反比例函数的表达式为y＝；
（2）由，解得或，
∴B（2，1），
设一次函数y＝﹣x+3与x轴的交点为C，则C（3，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝；
（3）观察图象，当M在N的上方时，t的取值范围是t＜0或1＜t＜2．

2．（2022•大庆）已知反比例函数y＝和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，b），（3a+1，b+）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数y＝x，y＝3x的图象分别与函数y＝（x＞0）图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）反比例函数的关系式为：y＝；
（2）存在，△ABP周长的最小值为2+2．
【解答】解：（1）把（3a，b），（3a+1，b+）代入y＝x﹣1中可得：
，
解得：k＝3，
∴反比例函数的关系式为：y＝；
（2）存在，
作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，连接BP，此时AP+BP的最小，即△ABP周长最小，

由题意得：，
解得：或，
∴B（1，3），
由题意得：，
解得：或，
∴A（3，1），
∴AB＝2，
∵点B与点B′关于y轴对称，
∴B′（﹣1，3），BP＝B′P，
∴AB′＝2，
∴AP+BP＝AP+B′P＝AB′＝2，
∴AP+BP的最小值为2，
∴△ABP周长最小值＝2+2，
∴△ABP周长的最小值为2+2．

二．反比例函数综合题（共1小题）
3．（2021•大庆）如图，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数y＝的图象交于P，D两点．以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知△BOD的面积与△AOB的面积之比为1：4．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长．

【答案】（1）y＝；（2）P（，3），．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥OA于点H，
∴∠DAH+∠HDA＝90°，
∵∠DAH+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠DAH，
又∵AB＝AD，∠AOB＝∠DHA＝90°，
∴△ABO≌△DAH，
∴DH＝AO，BO＝AH，
对直线y＝kx+b，当x＝0时，y＝b，
∴A（0，b），OA＝b，
设D（a，），则：DH＝a，OH＝，
∵△BOD的面积与△AOB的面积之比为1：4．
∴OA＝4OH，
∴b＝4×，化简得：ab＝16，
又∵DH＝AO，即：a＝b，
∴a2＝16，
解得：a1＝4，a2＝﹣4，
∴b＝4，
∴A（0，4），D（4，1），
把点A（0，4），D（4，1）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝．
（2）由，得：，
∴P（，3），
∵正方形ABCD的顶点A（0，4），D（4，1），B（﹣3，0），
∴C（1，﹣3），
∴PC＝，
∵△PCD为直角三角形，且∠PDC＝90°，
∴线段PC是△PCD的外接圆直径，
∴△PCD外接圆半径为：．

三．二次函数的应用（共1小题）
4．（2022•大庆）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点P所表示的实际意义是 　增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg　，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 　　kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？

【答案】（1）增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg，kg；
（2）y与x之间的函数关系式：y＝﹣x+80；
自变量x的取值范围：0＜x≤80；
（3）当增种果树50棵时，果园的总产量w（kg）最大，最大产量是6050kg．
【解答】解：（1）根据题意可知：点P所表示的实际意义是增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg，
（75﹣66）÷（28﹣10）＝，
∴每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少kg，
故答案为：增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg，kg；
（2）
设在10棵的基础上增种m棵，
根据题意可得m＝75﹣40，
解得m＝70，
∴A（80，40），
设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，
把P（28，66），A（80，40），
，
解得k＝﹣，b＝80，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣x+80；
自变量x的取值范围：0＜x≤80；
（3）设增种果树x棵，
W＝（60+x）（﹣0.5x+80）
＝﹣0.5x2+50x+4800，
∵﹣0.5＜0，
∴x＝﹣＝50，
W最大＝6050，
∴当增种果树50棵时，果园的总产量w（kg）最大，最大产量是6050kg．
四．二次函数综合题（共3小题）
5．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣x；（2）①F（2，0）；②1；（3）Q（0，﹣），P（，0）．
【解答】解：（1）∵顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），
∴B（2，﹣1），
∴A（4，0），
将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2+bx+c，
得到，解得，
∴y＝x2﹣x；
（2）①设F（2，m），G（x，y），
∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y+2|，
∴（y+2）2＝y2+4y+4，
∵y＝x2﹣x，
∴（y+2）2＝y2+4y+4＝y2+x2﹣4x+4＝y2+（x﹣2）2，
∴G到直线y＝﹣2的距离与点（2，0）和G点的距离相等，
∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；
∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离相等，
∴（x﹣2）2+＝，
整理得，m（m﹣x2+2x）＝0，
∵距离总相等，
∴m＝0，
∴F（2，0）；
②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M（xM，yM），N（xN，yN），
联立，整理得x2﹣（4+4k）x+8k＝0，
∴xM+xN＝4+4k，xM•xN＝8k，
∴yM+yN＝4k2，yM•yN＝﹣4k2，
∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，
∴+＝+＝＝＝1，
∴+＝1是定值；
（3）作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q，
∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，
∴四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，
∵点C（3，m）是该抛物线上的一点
∴C（3，﹣），
∵B（2，﹣1），
∴B'（﹣2，﹣1），C'（3，），
∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，
∴Q（0，﹣），P（，0）．

6．（2023•大庆）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+时，求tan∠RPQ的值；
（3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y＝（ax2+bx+c）的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）；
（3）t＝﹣或﹣1＜t＜0或0＜t≤．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），（0，﹣3）三个点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）过R作RT⊥PQ，垂足为T，
∵点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+，
∴QT＝，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
∴点P，Q关于直线x＝1对称，
∵Q到x＝1的距离是m﹣1，
∴PQ＝2（m﹣1）＝2m﹣2，
∴PT＝2m﹣2+，
∵yR＝（m+）2﹣2（m+）﹣3，yT＝yQ＝m2﹣2m﹣3，
∴RT＝yR﹣yT＝2m﹣2+2，
∴在Rt△RPT中，tan∠RPQ＝＝＝．

（3）线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为A'B'，则A'（0，3），B'（4，3），
二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，对称轴为直线x＝1，二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）只是开口大小和方向发生了变化，并且||越大，开口越小．若线段A'B'与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，分以下三种情况：
①当t＞0时，开口向上，如图，线段A'B'与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，当抛物线经过B'（4，3）时开口最大，最小，t最大，把（4，3）代入y＝（x2﹣2x﹣3）得t＝，
∴0＜t≤．

②当t＜0时，开口向下，如图，线段A'B'与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点（1，3），代入y＝（x2﹣2x﹣3）得t＝﹣．

③当t＜0时，开口向下，如图，线段A'B'与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，当抛物线经过A'（0，3）时开口最大，||最小，t最小，把（0，3）代入y＝（x2﹣2x﹣3）得t＝﹣1，
∴﹣1＜t＜0．

综上，t的取值范围是：t＝﹣或﹣1＜t＜0或0＜t≤．
7．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．


【答案】（1）b＝﹣4；
（2）﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+；
（3）﹣4≤m＜﹣1或1＜m＜3．
【解答】解：（1）∵已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4；
（2）如图1：①令x2+bx+m＝0，
解得x＝2﹣或x＝2+，
∵M在N的左侧，
∴M（2﹣，0），N（2+，0），
∴MN＝2，MN的中点坐标为（2，0），
∵△MNP为直角三角形，
∴＝，
解得m＝0（舍）或m＝﹣1；
②∵m＝﹣1，
∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），
令x2﹣4x﹣1＝﹣4，
解得x＝1或x＝3，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），
∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0），
当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣4），
∴﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+时，﹣4≤y＜0；
（3）y＝x2﹣4x+m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0），
如图2，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），当x＝5时，y＝1，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）与线段AB有一个交点，
∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图3，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）经过点（0，﹣1）时，m＝﹣1，
此时图象C与线段AB有三个公共点，
∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图4，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点（0，﹣1）时，m＝1，
此时图象C与线段AB有两个公共点，
当y＝x2﹣4x+m（x≥0）的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1，
解得m＝3，
此时图象C与线段AB有一个公共点，
∴1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点．











五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
8．（2022•大庆）如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵EB＝CF，
∴EB+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
∵AB＝DF，AC＝DE，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ABC＝∠DFE，
∴AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）连接AD交BF于点O，

∵四边形ABDF是平行四边形，
∴OB＝OF，
∵BE＝CF，
∴OB﹣BE＝OF﹣CF，
∴OE＝OC，
∵AE＝AC，
∴AO⊥EC，
∴四边形ABDF是菱形，
∴AB＝BD．

六．矩形的判定与性质（共1小题）
9．（2023•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）45．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，
∵E为线段CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵∠ACF＝90°，
∴四边形ACFD是矩形；
（2）解：∵CD＝13，CF＝5，
∴BC＝CF＝5，
∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD＝90°，AC＝DF，
∴DF＝＝＝12，
∵△ADE≌△FCE，
∵△CEF的面积＝△ACF的面积＝5×12＝15，
平行四边形ABCD的面积＝BC•AC＝5×12＝60，
∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣△CEF的面积＝60﹣15＝45．

七．圆的综合题（共3小题）
10．（2023•大庆）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AF•AC＝AE•AH；
（3）若sin∠DEA＝，求的值．

【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵∠OCA＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥AD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
又∵CD⊥AD，FG⊥AB，
∴∠AGF＝∠D＝90°，
∴∠AFG+∠DAG＝90°，∠E+∠DAE＝90°，
∴∠AFG＝∠DEA，
∴△AHF∽△ACE，
∴，
即AF•AC＝AE•AH；
（3）过H作HM⊥AD，如图：

由（2）知∠AFG＝∠DEA，
∴sin∠DEA＝＝sin∠AFG＝，
设AG＝4x，AF＝5x，则FG＝3x，
∵AC平分∠DAB，
∴MH＝GH，AG＝AM＝4x，
∴MF＝x，
设GH＝MH＝a，
∴tan∠AFG＝，
∴，
∴a＝x，
∴FH＝3x﹣x＝x，
AH＝＝＝，
∴＝＝．
11．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵弦ED垂直AB于点F，AB是⊙O的直径，
∴∠GFB＝90°，
∵∠FGB+∠FBG＝90°，∠OCB+∠BCP＝90°，
∴∠FGB＝∠PCG，
∵∠FGB＝∠PGC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG；
（2）如图1，连接EC、CD，
∵ED⊥AB，AB是圆O的直径，
∴＝，
∴∠ECB＝∠BCD，
∵PG＝PC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∵∠CGP＝∠E+∠ECB，∠GCP＝∠PCD+∠BCD，
∴∠PCD＝∠E，
∴△PCD∽△PEC，
∴＝，
∴PC2＝PE•PD，
∵PC＝PG，
∴PG2＝PD•PE；
（3）如图2，连接OG，EO，
∵G为BC中点，
∴OG⊥BC，
在Rt△BOG中，OG＝，sinB＝，
∴OB＝5，BG＝2，
∵GF⊥OB，
∴∠B+∠FGB＝90°，∠B+∠BOG＝90°，
∴∠GOF＝∠FGB，
∴△FGB∽△GOB，
∴，
∴＝，
∴FB＝4，
∴OF＝1，
在Rt△EOF中，OF＝1，EO＝5，
∴EF＝2，
∴ED＝4．


12．（2022•大庆）如图，已知BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BC＝16．点D为⊙O外的一点，∠ACD＝∠B．点E为AC中点，弦FG过点E，EF＝2EG，连接OE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）当FG∥BC时，求弦FG的长．

【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）FG＝3﹣3．
【解答】（1）证明：∵BC是△ABC外接圆⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AF，CG，如图：

∵＝，
∴∠AFE＝∠GCE，
∵∠AEF＝∠GEC，
∴△AEF∽△GEC，
∴＝，
∴AE•CE＝EG•EF，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，OE⊥AC，
∴CE2＝OC2﹣OE2，AE•CE＝CE•CE＝CE2＝EG•EF，
∴OC2﹣OE2＝EG•EF，
∴（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）解：过O作ON⊥FG于N，延长EG交CD于M，如图：

∵∠OCD＝∠ONM＝90°，FG∥BC，
∴四边形MNOC是矩形，
∴MN＝OC＝BC＝8，
∵ON⊥FG，
∴FN＝GN，
∵EF＝2EG，
∴FG＝3EG，
∴NG＝EG，
∴NE＝EG，
∴EM＝MN﹣NE＝8﹣EG，
由（2）知CE2＝EG•EF＝2EG2，
∴CM2＝CE2﹣EM2＝2EG2﹣（8﹣EG）2＝ON2，
而ON2＝OE2﹣NE2＝（OC2﹣CE2）﹣NE2，
∴2EG2﹣（8﹣EG）2＝（82﹣2EG2）﹣（EG）2，
解得EG＝﹣1（负值已舍去），
∴FG＝3EG＝3﹣3．
方法2：
过O作ON⊥EG于N，过E作EH⊥BC于H，如图：

设EG＝x，则EF＝2x，FG＝3x，
∵ON⊥EG，
∴NG＝FG＝x，
∴NE＝NG﹣EG＝x＝OH，
∴CH＝OC﹣OH＝8﹣x，
∵E为AC中点，O为BC中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴∠OEC＝∠A＝90°＝∠EHC，
∵∠ECH＝∠OCE，
∴△ECH∽△OCE，
∴＝，
∴CE2＝OC•CH，
由（2）知CE2＝EG•EF＝2x•x＝2x2，
∴2x2＝8×（8﹣x），
解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），
∴FG＝3x＝3﹣3．
八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
13．（2023•大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．（结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268）

【答案】垂直高度PC约为204米．
【解答】解：过点B作BD⊥PC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E，

由题意得：CD＝BE，
在Rt△ABE中，∠A＝15°，AB＝400米，
∴BE＝AB•sin15°≈400×0.259＝103.6（米），
∴CD＝BE＝103.6米，
在Rt△BDP中，∠PBD＝30°，BP＝200米，
∴DP＝BP＝100（米），
∴PC＝PD+DC≈204（米），
∴垂直高度PC约为204米．
九．扇形统计图（共1小题）
14．（2023•大庆）为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 　40　，扇形统计图中的m＝　25　；
（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；
（3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．

【答案】（1）40，25；
（2）7次；
（3）700名．
【解答】解：（1）4÷10%＝40（人），
10÷40×100%＝25%，即m＝25，
故答案为：40，25；
（2）＝7（次），
故所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为7次；
（3）1000×（37.5+25%+7.5%）＝700（名），
答：估计我校获“志愿者勋章”的学生人数大约有700名．
一十．算术平均数（共1小题）
15．（2021•大庆）某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：
甲：92，95，96，88，92，98，99，100
乙：100，87，92，93，9■，95，97，98
由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，
（1）求甲成绩的平均数和中位数；
（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；
（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．
【答案】（1）平均数为95，中位数是95.5；
（2）；
（3）甲．
【解答】解：（1）甲成绩的平均数为：（88+92+92+95+96+98+99+100）÷8＝95，
将甲成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝95.5，因此中位数是95.5，
答：甲成绩的平均数为95，中位数是95.5；
（2）设模糊不清的数的个位数字为a，则a为0至9的整数，也就是模糊不清的数共10种可能的结果，
当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，有95＞，
即95＞，
解得a＜8，共有8种不同的结果，
所以“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率为＝；
（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，
即＝95，
解得a＝8，
所以甲的方差为：＝[（88﹣95）2+（92﹣95）2×2+（96﹣95）2+（98﹣95）2+（99﹣95）2+（100﹣95）2]＝14.75，
乙的方差为：＝[（87﹣95）2+（92﹣95）2+（93﹣95）2+（97﹣95）2+（98﹣95）2×2+（100﹣95）2]＝15.5，
∵＜，
∴甲的成绩更稳定，
所以应选择甲同学参加数学竞赛．