黑龙江省龙东地区2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)

这是一份黑龙江省龙东地区2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)，共54页。试卷主要包含了÷，其中m＝tan60°﹣1，÷，其中a＝2cs30°+1，先化简，再求值，之间的函数图象如图所示等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省龙东地区2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023•黑龙江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝tan60°﹣1．
2．（2022•黑龙江）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝2cos30°+1．
3．（2021•黑龙江）先化简，再求值：，其中a＝2cos60°+1．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
三．分式方程的应用（共1小题）
5．（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神州十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
四．一元一次不等式组的应用（共1小题）
6．（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
五．一次函数的应用（共3小题）
7．（2023•黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 　 　；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．

8．（2022•黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 　 　km/h，乙车出发时速度是 　 　km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．

9．（2021•黑龙江）已知A、B两地相距240km，一辆货车从A前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中m的值是 　 　；轿车的速度是 　 　km/h；
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km？

六．一次函数综合题（共1小题）
10．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式；
（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

七．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
11．（2022•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

八．抛物线与x轴的交点（共1小题）
12．（2023•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

九．二次函数综合题（共1小题）
13．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．

一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．


一十一．四边形综合题（共2小题）
15．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＜OB），tan∠DAB＝，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC﹣CB向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，△APC的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

一十二．坐标与图形变化-平移（共1小题）
17．（2022•黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．

一十三．作图-平移变换（共1小题）
18．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

一十四．作图-旋转变换（共1小题）
19．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）．

一十五．几何变换综合题（共1小题）
20．（2021•黑龙江）在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC＝∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．
（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF＝CD；
（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2023•黑龙江）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH．易证：FH＝FG．
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如图③；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

一十七．条形统计图（共3小题）
22．（2023•黑龙江）某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）这次学校抽查的学生人数是 　 　；
（2）将条形图补充完整；
（3）扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是 　 　°；
（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．

23．（2022•黑龙江）为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x＜8.5
B组：8.5≤x＜9
C组：9≤x＜9.5
D组：9.5≤x＜10
E组：x≥10
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？

24．（2021•黑龙江）为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查中共抽取 　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？

黑龙江省龙东地区2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023•黑龙江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝tan60°﹣1．
【答案】；．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝．
当m＝tan60°﹣1＝﹣1时，
原式＝
＝
＝．
2．（2022•黑龙江）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝2cos30°+1．
【答案】，﹣．
【解答】解：（﹣1）÷
＝÷
＝×
＝，
当a＝2cos30°+1＝2×+1＝时，
原式＝＝﹣．
3．（2021•黑龙江）先化简，再求值：，其中a＝2cos60°+1．
【答案】，．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝2cos60°+1＝2×+1＝2时，
原式＝＝．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
（2）共有3种购买方案，
方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；
方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；
方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳；
（3）在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元．
【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．
（2）∵该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，
∴购买B种跳绳（45﹣m）根．
依题意得：，
解得：23≤m≤25.4，
又∵m为整数，
∴m可以取23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；
方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；
方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．
（3）设购买跳绳所需总费用为w元，则w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．
∵﹣5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550．
答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元．
三．分式方程的应用（共1小题）
5．（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神州十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）共有6种购买方案；
（3）m＝5．
【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，
根据题意得：，
解得：275≤y≤280，
又∵y为正整数，
∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴w的值与y值无关，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5．
答：m的值为5．
四．一元一次不等式组的应用（共1小题）
6．（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【答案】（1）购进1件甲种农机具需要1.5万元，购进1件乙种农机具需要0.5万元．
（2）答：一共三种方案分别是：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件．
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
方案一需要的资金最少，最少资金是10万元．
（3）节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．
方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．
【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元．
根据题意得：，
解得：，
答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元．
（2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具（10﹣m）件，
根据题意得：，
解得：4.8≤m≤7．
∵m为整数．
∴m可取5、6、7．
∴有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件．
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
设总资金为w万元．
w＝1.5m+0.5（10﹣m）＝m+5．
∵k＝1＞0，
∴w随着m的减少而减少，
∴m＝5时，w最小＝1×5+5＝10（万元）．
∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．
（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件，
由题意得：（1.5﹣0.7）a+（0.5﹣0.2）b＝0.7×5+0.2×5，
其整数解：或，
∴节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．
方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．
五．一次函数的应用（共3小题）
7．（2023•黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 　120　；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．

【答案】（1）120；
（2）y＝60x；
（3）在出租车返回的行驶过程中，货车出发h或h与出租车相距12km．
【解答】解：（1）由图象知，C（4，480），
设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k，
解得k＝120，
∴直线OC的解析式为y＝120x；把（1，a）代入y＝120x，得a＝120，
故答案为：120；
（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120＝240（km），
∴出租车距离甲地为480﹣240＝240（km），
把y＝240代入y＝120x得，240＝120x，
解得x＝2，
∴货车装完货物时，x＝2，B（2，120），
根据货车继续出发h后与出租车相遇，
可得×*出租车的速度+货车的速度）＝120，
根据直线OC的解析式为y＝120x，
可得出租车的速度为120km/h，
∴相遇时，货车的速度为120﹣120＝60（km/h），
故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，
将B（2，120）代入y＝60x+b，可得120＝120+b，
解得b＝0，
∴直线BG的解析式为y＝60x，
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y＝60x，
（3）把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x，
解得x＝8，
∴G（8，480），
∴F（8，0），
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF＝，
∴，
∴出租车返回后的速度为480÷（）＝128km/h，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，
此时货车距离乙地为60tkm，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，
①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得60t1﹣（128t1﹣512）＝12，
解得t1＝；
②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得（128t2﹣512）﹣60t2＝12，
解得t2＝，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发h或h与出租车相距12km．
8．（2022•黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 　100　km/h，乙车出发时速度是 　60　km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由图象可得，
甲车的速度为：500÷5＝100（km/h），
乙车出发时速度是：300÷5＝60（km/h），
故答案为：100，60；
（2）乙车返回过程中，设乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式是y＝kx+b，
∵点（9，300），（12，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式是y＝﹣100x+1200；
（3）设乙车出发m小时，两车之间的距离是120km，
当0＜m＜5时，
100m﹣60m＝120，
解得m＝3；
当5.5＜m＜8时，
100（m﹣5.5）+120+300＝500，
解得m＝6.3；
当9＜m＜12时，
乙车返回的速度为：300÷（12﹣9）＝100（km/h），
100（m﹣8）+100（m﹣9）＝120，
解得m＝9.1；
答：乙车出发3小时或6.3小时或9.1小时，两车之间的距离是120km．
9．（2021•黑龙江）已知A、B两地相距240km，一辆货车从A前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中m的值是 　5　；轿车的速度是 　120　km/h；
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km？

【答案】（1）5；120；（2）；（3）1小时或小时．
【解答】解：（1）由图象得，m＝1+（3﹣1）×2＝5；
轿车的速度为：240÷2＝120（km/h）；
故答案为：5；120；
（2）①设yMN＝k1x+b1（k1≠0）（0≤x＜2.5），
∵图象经过点M（0，240）和点N（2.5，75），
∴，
解得，
∴yMN＝﹣66x+240（0≤x＜2.5），
yNG＝75（2.5≤x＜3.5）；
②设yGH＝k2x+b2（k2≠0）（3.5≤x≤5），
∵图象经过点G（3.5，75）和点H（5，0），
∴，
解得，
∴yGH＝﹣50x+250，
∴；
（3）货车从A前往B地的速度为：（240﹣75）÷2.5＝66（km/h），
设轿车出发a小时与货车相距12km，
根据题意，得66（1+a）+120a＝240+12或66（1+a）+120a＝240﹣12，
解得a＝1或a＝，
答：轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发1小时或小时与货车相距12km．
六．一次函数综合题（共1小题）
10．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式；
（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣；
（2）S＝；
（3）存在，点Q的坐标是 或（6，4）．
【解答】（1）解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴OC＝6，
∵四边形AOCB是菱形，∠AOC＝60°，
∴OA＝OC＝6，∠BOC＝∠AOC＝30°，
∴CD＝OC•tan30°＝6×＝2，
∴D（6，2），
过点A作AH⊥OC于H，

∵∠AOH＝60°，
∴OH＝OA＝3，AH＝OA•sin60°＝6×＝3，
∴A（3，3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
代入A（3，3），D（6，2 ）得：，
解得：
，
∴直线AD的解析式为y＝﹣；
（2）解：由（1）知在Rt△COD中，，∠DOC＝30°，
∴，∠EOD＝90°﹣∠DOC＝90°﹣30°＝60°，
∵直线与y轴交于点E，
∴，
∴OE＝OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED＝∠EDO＝∠BDF＝60°，，
∴∠OFE＝30°＝∠DOF，
∴，
①当点N在DF上，即 时，
由题意得：，，
过点N作NP⊥OB于P，

则NP＝DN×sin∠PDN＝DN×sin60°＝（4﹣2t）×＝6﹣t，
∴S＝DM×NP＝（4﹣2t）×（6﹣t）＝t2﹣9t+12；
②当点N在DE上，即 时
由题意得：DM＝OD﹣OM＝，DN＝2t﹣4，
过点N作NT⊥OB于T，

则NT＝DN•sin∠NDT＝DN•sin60°＝（2t﹣4）×＝，
∴S＝＝；
综上，S＝；
（3）解：存在，分情况讨论：
①如图，当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点N作NK⊥CF于K，

∵∠NFC＝30°，，
∴∠NCK＝60°，，
∴CF＝12﹣6＝6，
∴，
∴CK＝CN×cos60°＝3×＝，NK＝CN×sin60°＝3×＝，
∴将点N向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点C，
∴将点A向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点Q，
∵，
∴Q（，）；
②如图，当AN是对角线时，则∠ACN＝90°，过点N作NL⊥CF于L，

∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠NCF＝180°﹣60°﹣90°＝30°＝∠NFC，
∴CL＝FL＝CF＝3，
∴NL＝CL•tan30°＝3×＝，
∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点N，
∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点Q，
∵，
∴Q（6，4）；
∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是 或（6，4）．
七．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
11．（2022•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），
∴，
解得b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D点坐标为（1，﹣4），
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
又∵B点坐标为（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
∴S△BCD＝×2×1＝1，
设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
当|m2﹣2m|＝4×1时，
解得m＝1±，
当m＝1+时，m2﹣2m﹣3＝1，
当m＝1﹣时，m2﹣2m﹣3＝1，
综上，P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）．
八．抛物线与x轴的交点（共1小题）
12．（2023•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）（﹣2，3）或（3，﹣12）．
【解答】解：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3得：
，
解得：；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在，理由如下：
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝3，
∴C点坐标为（0，3），OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，
∴S△PBC＝S△ABC＝3；
作PE∥x轴交BC于E，如图：

设BC的解析式为：y＝kx+b，将B、C代入得：
，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3；
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），
则E的横坐标为：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x＝，
∴E（，﹣t2﹣2t+3）；
∴PE＝﹣t＝，
∴S△PBC＝××3＝3，
解得：t＝﹣2或3；
∴P点纵坐标为：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣2，3）或（3，﹣12）．
九．二次函数综合题（共1小题）
13．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）（﹣1﹣，2）或（﹣2，3）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，y＝3，
∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线对称轴为：x＝﹣1，
∵EN∥y轴，
∴△BEN∽△BCO，
∴，
∴，
∴EN＝2，
①若△PQE∽△OBC，如图所示，过点P作PH⊥ED垂足为H，
∴∠PEH＝45°，
∴∠PHE＝90°，
∴∠HPE＝∠PEH＝45°，
∴PH＝HE，
∴设点P坐标（x，﹣x﹣1+2），
∴代入关系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，
整理得，x2+x﹣2＝0，
解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍），
∴点P坐标为（﹣2，3），

②若△EPQ∽△OCB，如图所示，
设P（x，2），
代入关系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，
整理得，x2+2x﹣1＝0，
解得，（舍），
∴点P的坐标为（﹣1﹣，2），

综上所述点P的坐标为（﹣1﹣，2）或（﹣2，3）．
一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．


【答案】见试题解答内容
【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，

∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA；
（3）PC＝PA+PB，理由如下：
如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，

同理得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，PB＝CM，
∴△AMC≌△APB（SAS），
∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠PAM＝60°，
∴△AMP是等边三角形，
∴PM＝PA，
∴PC＝PM+CM＝PA+PB．
一十一．四边形综合题（共2小题）
15．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＜OB），tan∠DAB＝，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC﹣CB向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，△APC的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）方程x2﹣7x+12＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
∵OA＜OB，
∴OA＝3，OB＝4，
∵tan∠DAB＝＝，
∴OD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝3+4＝7，DC∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
∴点C的坐标为（7，4）；

（2）：①当0≤t＜7时，
由题意得：PC＝7﹣t，
∴△APC的面积为S＝PC•OD＝（7﹣t）×4＝14﹣2t；
②当7＜t≤12时，过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，

∵AD＝＝5，四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，
∵S△ABC＝AB•OD＝CB•AF，
∴AB•OD＝CB•AF，
∴7×4＝5AF，
∴AF＝，
∴△APC的面积为S＝PC•AF＝（t﹣7）×＝t﹣；
综上，S＝；

（3）∵BC＝AD＝5，M为BC的中点，C（7，4），B（4，0），
∴CM＝，M（，2），
①当CM＝CP时，

∵CM＝，
∴CM＝CP＝，
∵CD＝7，
∴DP＝7﹣＝，
∴点P的坐标为（，4）；
②当CM＝MP时，过点M作ME⊥CD于E，

∴PE＝CE，
∵M（，2），C（7，4），
∴E（，4），CE＝7﹣＝，
∴PE＝CE＝，
∴DP＝DE﹣PE＝﹣＝4，
∴点P的坐标为（4，4）；
③当CP＝MP时，过点P作PF⊥BC于F，

∴MF＝CF＝CM＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠DAB，
∴cos∠BCD＝cos∠DAB＝，
∴，即，
∴PC＝，
∴DP＝DC﹣PC＝7﹣＝，
∴点P的坐标为（，4）；
综上，点P的坐标为（4，4）或（，4）或（，4）．
16．（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或﹣1，
∵OA是方程的根，
∴OA＝5，
∴AB＝OA＝5，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，AB＝5，
∴BE＝4，AE＝3，
∴OE＝OA+AE＝5+3＝8，
∴B（8，4）．

（2）如图1中，当点F落在OB上时，AM＝t，DM＝t．AD＝t，

∵FM∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴t＝．

如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是四边形ACFM，S＝•（AC+FM）•DM＝•（t+t﹣t）•t＝t2．

如图3中，当＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，S＝S梯形ACFM﹣S△FGH＝t2﹣××[﹣（5﹣t）]2＝﹣t2+t﹣．

综上所述，S＝．

（3）如图4中，满足条件的点P如图所示：

∵点F落在OB上时，t＝，
∵DM＝FM＝，AD＝，AC＝，
∴PF＝PM﹣FM＝5﹣＝，OC＝5﹣＝，
∴F（，），M（，）．
∴P（，），P″（﹣，﹣），P′（，）．
一十二．坐标与图形变化-平移（共1小题）
17．（2022•黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．

【答案】（1）作图见解析部分，A1（﹣5，3）；
（2）作图见解析部分，A2（2，4）；
（3）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标（﹣5，3）；
（2）如图，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标（2，4）；
（3）∵A1C1＝＝5，
∴点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长＝＝．

一十三．作图-平移变换（共1小题）
18．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

【答案】（1）图形见解答；
（2）图形见解答；
（3）．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，如图，连接OC3交于D，连接OC2交于E，

∵A2（﹣2，﹣1），B2（﹣1，﹣2），C2（﹣3，﹣3），
∴OA2＝＝，OB2＝＝，OC2＝＝3，
∴OA2＝OB2＝OD＝OE＝，
由旋转得：OA2＝OA3，OB2＝OB3，OC2＝OC3，A2C2＝A3C3，∠C2OC3＝DOE＝90°，
∴△OA2C2≌△OA3C3（SSS），
∴＝，
∴线段A2C2在旋转过程中扫过的面积＝S﹣S扇形DOE＝﹣＝．
一十四．作图-旋转变换（共1小题）
19．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）．

【答案】（1）作图见解析部分，A1的坐标（﹣1，﹣3）；
（2）作图见解析部分，点A2的坐标（3，1）；
（3）π．
【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，点A1的坐标（﹣1，﹣3）；
（2）如图，△A2B2O即为所求，点A2的坐标（3，1）；
（3）点A旋转到点A2所经过的路径长＝＝π

一十五．几何变换综合题（共1小题）
20．（2021•黑龙江）在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC＝∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．
（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF＝CD；
（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

【答案】（1）证明见解析部分．
（2）如图②中，结论：EF＝CD．如图③中，结论：EF＝CD，证明见解析部分．
【解答】（1）证明：如图①中，

∵EA＝ED，∠EAD＝45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴∠AED＝90°，
∵BF＝FD，
∴EF＝DB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAD＝∠BAD＝45°，
∵∠ABC＝∠AED＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AC＝AB，
∴AD垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∴EF＝CD．
解

（2）解：如图②中，结论：EF＝CD．

理由：取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点O．
∵∠CAD＝90°，CT＝DT，
∴AT＝CT＝DT，
∵EA＝ED，
∴ET垂直平分线段AD，
∴AO＝OD，
∵∠AED＝90°，
∴OE＝OA＝OD，
∵CT＝TD，BF＝DF，
∴BC∥FT，
∴∠ABC＝∠OFT＝45°，
∵∠TOF＝90°，
∴∠OTF＝∠OFT＝45°，
∴OT＝OF，
∴AF＝ET，
∵FT＝TF，∠AFT＝∠ETF，FA＝TE，
∴△AFT≌△ETF（SAS），
∴EF＝AT，
∴EF＝CD．
法二：如图，延长CA交DE的延长线于点G，连接BG．

证明EF＝BG，△CAD≌△BAG，推出CD＝BG，可得结论．

如图③中，结论：EF＝CD．

理由：取AD的中点O，连接OF，OE．
∵EA＝ED，∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵AO＝OD，
∴OE⊥AD，∠AEO＝∠OED＝30°，
∴tan∠AEO＝＝，
∴＝，
∵∠ABC＝∠AED＝30°，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC，
∵AO＝OD，BF＝FD，
∴OF＝AB，
∴＝，
∴＝，
∵OF∥AB，
∴∠DOF＝∠DAB，
∵∠DOF+∠EOF＝90°，∠DAB+∠DAC＝90°，
∴∠EOF＝∠DAC，
∴△EOF∽△DAC，
∴＝＝，
∴EF＝CD．
解法二：过点A作AG⊥AD交DE的延长线于点G．

证明EF＝BG，△CAD∽△BAG，相似比为1：可得结论．
一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2023•黑龙江）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH．易证：FH＝FG．
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如图③；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

【答案】如图②；FH＝FG，证明见解析；如图③；FH＝FG，证明见解析．
【解答】解：如图②；FH＝FG，
证明：连接AH，CE，AF，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，F，H分别是DE，BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，，
∴∠CAH＝∠EAF＝45°，
∴∠HAF＝∠EAC，，
∴△AHF∽△ACE，
∴，
∴CE＝FH，
∵点F，G分别是DE，DC的中点，
∴CE＝2FG，
∴FH＝FG；
如图③；FH＝FG，
证明：连接AH，CE，AF，
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，
∵点F，H分别是DE，BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF＝，
∴∠HAF＝∠EAC，，
∴△AHF∽△ACE，
∴＝，
∴CE＝2FH，
∵点F，G分别是DE，DC的中点，
∴CE＝2FG，
∴FH＝FG；

一十七．条形统计图（共3小题）
22．（2023•黑龙江）某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）这次学校抽查的学生人数是 　40人　；
（2）将条形图补充完整；
（3）扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是 　90　°；
（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．

【答案】（1）40人；
（2）见解答；
（3）90；
（4）220人．
【解答】解：（1）这次学校抽查的学生人数是：12÷30%＝40（人），
故答案为：40人；
（2）C等级的人数为：40﹣12﹣14﹣4＝10（人），
补全条形图如下：

（3）360°×＝90°，
故答案为：90；
（4）2200×＝220（人），
答：估计该校不合格的人数约220人．
23．（2022•黑龙江）为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x＜8.5
B组：8.5≤x＜9
C组：9≤x＜9.5
D组：9.5≤x＜10
E组：x≥10
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　100　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）20÷20%＝100（名），
即本次共调查了100名学生，
故答案为：100；
（2）选择E的学生有：100×15%＝15（人），
选择A的学生有：100﹣20﹣40﹣20﹣15＝5（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）360°×＝72°，
即D组所对应的扇形圆心角的度数是72°；
（4）1500×＝375（人），
答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．

24．（2021•黑龙江）为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查中共抽取 　100　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）26÷26%＝100（名），
故答案为：100；
（2）D等级所占的百分比为：10÷100×100%＝10%，
则B等级所占的百分比为：1﹣26%﹣20%﹣10%﹣4%＝40%，
故B、C等级的学生分别为：100×40%＝40（名），100×20%＝20（名），
补全条形图如下，

（3）B等级所对应的扇形圆心角的度数为：360°×40%＝144°；
（4）1200×＝792（名），
答：估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名．