黑龙江省牡丹江市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)

这是一份黑龙江省牡丹江市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共34页。试卷主要包含了之间的函数图象，，与y轴交于点C等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省牡丹江市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2023•牡丹江）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
二．一次函数的应用（共3小题）
2．（2023•牡丹江）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息1h后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发1.5h后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程ykm与甲车行驶时间xh之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 　 　km/h，乙车行驶的速度是 　 　km/h；
（2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km？请直接写出答案．

3．（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 　 　米/分钟，乙的速度为 　 　米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．

4．（2021•牡丹江）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球多30元．已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）问篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球的售价为150元，足球的售价为110元，商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个，问商场共有几种进货方案？哪种方案商场获利最大？
（3）希望小学为庆祝中国共产党成立100周年，举行百人球操表演，准备购买商场购进的这100个篮球和足球，商场知晓后决定从中拿出30个球赠送给这所希望小学，这样，希望小学相当于七折购买这批球．请直接写出商场赠送的30个球中篮球和足球的个数．
三．一次函数综合题（共1小题）
5．（2023•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OB＞OC．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若OD：OC＝2：1，直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

四．反比例函数综合题（共1小题）
6．（2021•牡丹江）如图，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B．OB是一元二次方程x2﹣x﹣30＝0的一个根，且tan∠OAB＝，点D为AB的中点，E为x轴正半轴上一点，BE＝2，直线OD与BE相交于点F．
（1）求点A及点D的坐标；
（2）反比例函数y＝经过点F关于y轴的对称点F′，求k的值；
（3）点G和点H在直线AB上，平面内存在点P，使以E，G，H，P为顶点的四边形是边长为6的菱形，符合条件的菱形有几个？请直接写出满足条件的两个点P的坐标．

五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．（2023•牡丹江）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）求△BCP的面积．
注：注抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（，）．

六．正方形的性质（共1小题）
8．（2021•牡丹江）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F作FG⊥BC于点G，连接AC．易证：AC＝（EC+FG）．（提示：取AB的中点M，连接EM）
（1）当点E是BC边上任意一点时，如图2；当点E在BC延长线上时，如图3．请直接写出AC，EC，FG的数量关系，并对图2进行证明；
（2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为 　 　．

七．四边形综合题（共2小题）
9．（2023•牡丹江）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．
（1）当点E在线段BC上，∠ABC＝45°时，如图①，求证：AE+EC＝BF；
（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC＝45°时，如图②；当点E在线段CB延长线上，∠ABC＝135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BE＝3，DE＝5，则CE＝　 　．

10．（2022•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．
请解答下列问题：
（1）求点B，C的坐标；
（2）若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．


八．作图—基本作图（共1小题）
11．（2022•牡丹江）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．
九．作图—复杂作图（共1小题）
12．（2023•牡丹江）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，D为AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE＝90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
一十．条形统计图（共1小题）
13．（2022•牡丹江）为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地足球，D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱的冰雪体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一种），绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．

请解答下列问题：
（1）这次被抽查的学生有多少人？
（2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是 　 　；
（3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？

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参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2023•牡丹江）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
【答案】（1）A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）该商场共有3种购买方案，
方案1：购进A种家电65件，B种家电35件；
方案2：购进A种家电66件，B种家电34件；
方案3：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）这10件家电中包含4件B种家电．
【解答】解：（1）设A种家电每件进价为x元，则B种家电每件进价为（x+100）元，
根据题意得：，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意，
∴x+100＝500+100＝600．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）设购进A种家电a件，则购进B种家电（100﹣a）件，
根据题意得：，
解得：65≤a≤67，
又∵a为正整数，
∴a可以为65，66，67，
∴该商场共有3种购买方案，
方案1：购进A种家电65件，B种家电35件；
方案2：购进A种家电66件，B种家电34件；
方案3：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）设这10件家电中包含m件B种家电，则包含（10﹣m）件A种家电，
当a＝65时，600×[65﹣（10﹣m）]+750（35﹣m）﹣500×65﹣600×35＝5050，
解得：m＝，
∵m为正整数，
∴m＝不符合题意，舍去；
当a＝66时，600×[66﹣（10﹣m）]+750（34﹣m）﹣500×66﹣600×34＝5050，
解得：m＝，
∵m为正整数，
∴m＝不符合题意，舍去；
当a＝67时，600×[67﹣（10﹣m）]+750（33﹣m）﹣500×67﹣600×33＝5050，
解得：m＝4．
答：这10件家电中包含4件B种家电．
二．一次函数的应用（共3小题）
2．（2023•牡丹江）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息1h后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发1.5h后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程ykm与甲车行驶时间xh之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 　120　km/h，乙车行驶的速度是 　80　km/h；
（2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km？请直接写出答案．

【答案】（1）120，80；
（2）y＝﹣80x+480（1.5≤x≤6）；
（3）乙车出发2.5h或4.1h，两车距各自出发地路程的差是160km．
【解答】解：（1）由图可得D（3，360），即甲出发3时后与A地相距360km，
∴甲车行驶速度为＝120（km/h），
由题意可得，乙车出发1.5h行驶120km，
∴乙车行驶速度为 ＝80（km/h），
故答案为：120，80；
（2）设线段MN所在直线的解析式为 y＝kx+b（k≠0），
将（1.5，360），（3，240）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴线段MN所在直线的解析式为y＝﹣80x+480（1.5≤x≤6）；
（3）由题意可得，当y＝0时，x＝6，
∴N（6，0），
∵两车同时到达目的地，
∴乙到达目的地时，甲距离A地的距离为360﹣120×（6﹣3﹣1）＝120（km），
∴F（6，120），E（4，360），
设乙车出发t时，两车距各自出发地路程的差是160km，
当0＜t≤1.5时，此时甲在到达C地前，则|80t﹣120×（t+1.5）|＝160，
解得t为负数，不合题意；
当1.5＜t≤2.5时，此时甲在C地休息，则|80t﹣360|＝160，
解得t1＝2.5，t2＝6.5（不合题意，舍去）；
当2.5＜t≤4.5时，此时甲在C地休息，则|80t﹣[2×360﹣120×（t+1.5﹣1）]|＝160，
解得t1＝2.5（不合题意，舍去），t2＝4.1；
综上，乙车出发2.5h或4.1h，两车距各自出发地路程的差是160km．
3．（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 　300　米/分钟，乙的速度为 　800　米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．

【答案】（1）300；800；
（2）直线FG的解析式为Ly＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【解答】解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），
∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴，
解得，．
∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直线OH的解析式为：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直线OD的解析式为：y＝800x，
当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，
∴令800x+300x＝600，解得x＝．
∵当2≤x≤3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x＝（不合题意，舍去）
∵当x＞3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x＝或x＝6．
综上，出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
4．（2021•牡丹江）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球多30元．已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）问篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球的售价为150元，足球的售价为110元，商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个，问商场共有几种进货方案？哪种方案商场获利最大？
（3）希望小学为庆祝中国共产党成立100周年，举行百人球操表演，准备购买商场购进的这100个篮球和足球，商场知晓后决定从中拿出30个球赠送给这所希望小学，这样，希望小学相当于七折购买这批球．请直接写出商场赠送的30个球中篮球和足球的个数．
【答案】（1）足球单价为90元，则篮球单价为120元；
（2）商场共有6种货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大；
（3）商场赠送的30个球中篮球12个和足球18个．
【解答】解：（1）设足球单价为x元，则篮球单价为（x+30）元，由题意得：
，
解得：x＝90，
经检验：x＝90是原分式方程的解，
则x+30＝120，
答：足球单价为90元，则篮球单价为120元；

（2）设购买篮球n个，则购买足球（100﹣n）个，
由题意得：120n+90（100﹣n）≤10350，
解得：n≤45，
∵篮球不少于40个，
∴40≤n≤45，
∴有6种方案：
设商场获利w元，
由题意得：w＝（150﹣120）n+（110﹣90）（100﹣n）＝10n+2000，
∵10＞0，
∴w随n的增大而增大，
∴n＝45时，w有最大值，
100﹣45＝55（个），
答：商场共有6种进货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大；
（3）设商场赠送的30个球中篮球m个，足球（30﹣m）个，
①购买篮球45个，购买足球55个时，
由题意得：110×[55﹣（30﹣m）]+150×（45﹣m）＝（150×45+110×55）×0.7，
解得：m＝（不是整数，不合题意），
②购买篮球44个，购买足球56个时，
由题意得：110×[56﹣（30﹣m）]+150×（44﹣m）＝（150×44+110×56）×0.7，
解得：m＝（不是整数，不合题意），
③购买篮球43个，购买足球57个时，
由题意得：110×[57﹣（30﹣m）]+150×（43﹣m）＝（150×43+110×57）×0.7，
解得：m＝（不是整数，不合题意），
④购买篮球42个，购买足球58个时，
由题意得：110×[58﹣（30﹣m）]+150×（42﹣m）＝（150×42+110×58）×0.7，
解得：m＝（不是整数，不合题意），
⑤购买篮球41个，购买足球59个时，
由题意得：110×[59﹣（30﹣m）]+150×（41﹣m）＝（150×41+110×59）×0.7，
解得：m＝（不是整数，不合题意），
⑥购买篮球40个，购买足球60个时，
由题意得：110×[60﹣（30﹣m）]+150×（40﹣m）＝（150×40+110×60）×0.7，
解得：m＝12，
30﹣12＝18（个），
答：商场赠送的30个球中篮球12个和足球18个．
三．一次函数综合题（共1小题）
5．（2023•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OB＞OC．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若OD：OC＝2：1，直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）B（﹣4，0）；
（2）tan∠MND＝；
（3）存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形，共有8个，Q1（﹣4，5），Q2（，）；Q3（4，﹣3），Q4（，）；Q5（，）．
【解答】解：（1）由 x2﹣6x+8＝0，得x1＝4，x2＝2，
∵OB＞0C，
∴OB＝4，0C＝2，
∴B（﹣4，0）；
（2）∵OD：OC＝2：1，OC＝2，
∴OD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵M是AD中点，
∴MD＝3，
∴M（﹣3，4），
将M（﹣3，4）代入y＝﹣x+b，得：3+b＝4，
解得：b＝1，
在y＝﹣x+b中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝1，
∴E（1，0），F（0，1），
∴∠FEO＝45°，
过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，

∵∠DOC＝∠NKC＝90°，∠DCO＝∠NCK，
∴△DOC∽△NKC，
∴DO：OC＝NK：CK＝2：1，
∴NK＝EK＝2CK，
∵CE＝OC﹣OE＝2﹣1＝1，
∴CK＝1，NK＝2，
∴N（3，﹣2），
∴EN＝2，EH＝＝＝CH，
∴NH＝EN﹣EH＝，
∴tan∠MND＝＝＝；
（3）存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形，理由如下：
由（2）知，N（3，﹣2），
设P（0，m），Q（t，﹣t+1），
∴PN2＝9+（m+2）2，QN2＝2（t﹣3）2，PQ2＝t2+（m+t﹣1）2，
当PN＝5时，9+（m+2）2＝25，解得m＝2或m＝﹣6；
当QN＝5时，2（t﹣3）2，解得t＝；
①如图：

△P'NQ1，△PNQ2，△P'NQ2是腰长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q1（﹣4，5），Q2（，）；
②如图：

△P'NQ3，△P'NQ4，△PNQ4是边长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q3（4，﹣3），Q4（，）；
③如图：

△PQ5N，△P'Q5N是腰长为5的等腰三角形，此时Q5（，），
综上所述，腰长为5的等腰三角形NPQ共有8个，Q1（﹣4，5），Q2（，）；Q3（4，﹣3），Q4（，）；Q5（，）．
四．反比例函数综合题（共1小题）
6．（2021•牡丹江）如图，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B．OB是一元二次方程x2﹣x﹣30＝0的一个根，且tan∠OAB＝，点D为AB的中点，E为x轴正半轴上一点，BE＝2，直线OD与BE相交于点F．
（1）求点A及点D的坐标；
（2）反比例函数y＝经过点F关于y轴的对称点F′，求k的值；
（3）点G和点H在直线AB上，平面内存在点P，使以E，G，H，P为顶点的四边形是边长为6的菱形，符合条件的菱形有几个？请直接写出满足条件的两个点P的坐标．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣30＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝6，
∴OB＝6，
∵tan∠OAB＝，
∴，
∴OA＝8，
∴A（8，0），B（0，6），
∵点D为AB的中点，
∴D（4，3）；
（2）在Rt△OBE中，由勾股定理得：
OE＝，
∴E（2，0），
∴直线BE的函数解析式为：y＝﹣3x+6，
∵D（4，3），
∴直线OD的函数解析式为：y＝，
当﹣3x+6＝时，x＝，
此时y＝，
∴F（），
∴点F关于y轴的对称点F′为（﹣），
∵反比例函数y＝经过点F'，
∴k＝﹣＝﹣；
（3）如图1中，由AE＝6，当H与A重合，GH是菱形的对角线时，

∵以E，G，H，P为顶点的四边形是边长为6的菱形，
∴BE＝6，
∵A（8，0），B（0，6），
∴直线AB的函数解析式为：y＝﹣，
设G（m，﹣），
∵EG＝EH＝6，
∴（m﹣2）2+（﹣）2＝62，
∴m＝或8（舍弃），
∴G（，），
∵BP∥AE，BP＝AE＝6，
∴P（，）．
如图2中，当H与A重合，GH是菱形的边时，有两种情形，

∵AG＝AE＝6，
∴（8﹣m）2+（﹣m+6）2＝62，
解得m＝或，
∴G（，），G′（，﹣），
∵PG∥AE，PG＝AE＝6，
∴P（﹣，），P′（，﹣）．
如图3中，当GH为菱形的边，H与B不重合时，四边形EGHP是菱形，此时P（，﹣）或四边形EGH′P′是菱形，此时P′（﹣，），

综上所述，符合条件的菱形有5个，点P的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）．

五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．（2023•牡丹江）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）求△BCP的面积．
注：注抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（，）．

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，点P（，﹣）；
（2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
∴P（，﹣）；
（2）连接OP，

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），P（，﹣）；
∴S△OPC＝＝3，
S△BOP＝＝，
S△BOC＝＝8，
∴S△BPC＝S△OPC+S△BOP﹣S△BOC＝3+﹣8＝．
六．正方形的性质（共1小题）
8．（2021•牡丹江）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F作FG⊥BC于点G，连接AC．易证：AC＝（EC+FG）．（提示：取AB的中点M，连接EM）
（1）当点E是BC边上任意一点时，如图2；当点E在BC延长线上时，如图3．请直接写出AC，EC，FG的数量关系，并对图2进行证明；
（2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为 　6或6　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图2中，结论：AC＝（FG+EC）．
理由：在AB上截取BM＝BE，连接EM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴∠DCG＝90°，∠EAM+∠AEB＝90°，
∵BM＝BE，
∴AB﹣BM＝BC﹣BE，∠BME＝∠BEM＝45°，
∴AM＝EC，∠AME＝135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∴∠EAM＝∠FEC，
∴在△AEM和△EFC中，
，
∴△AEM≌△EFC（ASA），
∴EM＝CF，
∵EM＝BE，CF＝FG，
∴BE＝FG，
∵AC＝BC＝（BE+EC），
∴AC＝（FG+EC）．
如图3中，结论：AC＝（FG﹣EC）．

（2）如图1中，当∠BAE＝30°时，
∵正方形的面积为27，
∴AB＝3，∠B＝90°，
∴BE＝AB•tan30°＝3×＝3，
∴AE＝2BE＝6，
∵△AEM≌△EFC
∴AE＝EF＝6，
∴AF＝6，
如图3中，当∠AEB＝30°时，同法可得AE＝EF＝2AB＝6，
∴AF＝AE＝6，
综上所述，AF的长为6或6．

七．四边形综合题（共2小题）
9．（2023•牡丹江）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．
（1）当点E在线段BC上，∠ABC＝45°时，如图①，求证：AE+EC＝BF；
（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC＝45°时，如图②；当点E在线段CB延长线上，∠ABC＝135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BE＝3，DE＝5，则CE＝　1或7　．

【答案】（1）证明见解答；
（2）图②，AE﹣EC＝BF；图③，EC﹣AE＝BF；
（3）1或7．
【解答】（1）证明：如图①，∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠AEF，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∴AE+EC＝BE+EC＝BC＝AD，
∴AE+EC＝BF．
（2）解：图②，AE﹣EC＝BF；图③，EC﹣AE＝BF，
理由：如图②，AE⊥BC交BC的延长线于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠AEF，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∵BC＝AD，
∴AE﹣EC＝BE+EC＝BC＝AD，
∴AE﹣EC＝BF；
如图③，AE⊥BC交CB的延长线于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠BED，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∴BC＝AD，
∴EC﹣AE＝EC﹣BE＝BC＝AD，
∴EC﹣AE＝BF．
（3）解：如图①，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BC＝AD＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1；
如图②，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BF＝AD＝4，
∵AE﹣EC＝BF，
∴EC＝AE﹣BF＝3﹣4＝﹣1，即CE＝﹣1，不符合题意，舍去；
如图③，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝180°﹣∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BC＝AD＝4，
∴CE＝BE+BC+3+4＝7，
综上所述，CE＝1或CE＝7，
故答案为：1或7．
10．（2022•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．
请解答下列问题：
（1）求点B，C的坐标；
（2）若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．


【答案】（1）B（﹣3，0），C （2，0）；
（2）y＝；
（3）存在，N4（3，﹣12），N5（，﹣），N 6（，﹣），理由见解答过程．
【解答】解：（1）由x2﹣5x+6＝0，解得x1＝2，x2＝3，
∵OB，OC的长分别是方程的两个根，且OB＞OC，
∴OB＝3，OC＝2．
∴B（﹣3，0），C （2，0）；
（2）∵AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∵∠CAO＝∠DBC，∠CAO+∠AFB＝∠DBC+∠AOB，
∴∠AFB＝∠AOB＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠AFB＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝5，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝5，
∵在Rt△ABO中，AO＝＝＝4，
∴D（5，4），
∴反比例函数解析式为：y＝；
（3）存在，N4（3，﹣12），N5（，﹣），N 6（，﹣），
理由：过点D作DG⊥x轴于点G，
∵B（﹣3，0），D（5，4），
∴BG＝8，DG＝4，BD＝＝4，
∵使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形，
①当BD是矩形一边，且是短边时，即图中矩形BDM1N1和矩形BDM4N4，
由BD：N1B＝2：3，得N1B＝6，
过点N1作N1H⊥x轴于点H，由一线三等角易得△BDG∽△N1BH，
∴根据相似三角形三边对应成比例得：BH＝6，N1H＝12，
∴OH＝OB+BH＝3+6＝9，
∴N1（﹣9，12），
同理得点N4（3，﹣12），
当BD是矩形一边，且是长边时，即图中矩形BDM2N2和矩形BDM3N3，
方法同上，得点N2（﹣，），N3（﹣，﹣）；

②当BD是对角线时，如下图：以BD为半径作圆，矩形BN5DM5，BN6DM6即为符合题意矩形，

当BN5：N5D＝2：3时，过点N5作KL∥x轴，过点B作BK⊥KL于点K，过点D作DL⊥KL于点L，

由一线三等角易得△BKN5∽△DLN5，
∴＝＝＝，
∴BK＝N5L，KN5＝LD，
设N5L＝x，LD＝y，
∴BK＝x，KN5＝y，
∵N5L+KN5＝8，DL﹣BK＝4，
∴，
解得：，
∴KN5＝y＝＝，N5的横坐标＝﹣3＝，
同理得N5的纵坐标＝﹣；
再同理得：当BN5：N5D＝3：2时，N6（，﹣）．
综上所述：在第四象限内点N的坐标为N4（3，﹣12），N5（，﹣），N 6（，﹣）．
八．作图—基本作图（共1小题）
11．（2022•牡丹江）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．
【答案】EC＝或EC＝7．
【解答】解：利用三角板可作图1，图2；
（1）如图1，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，
∴AB＝＝5＝BC＝CD＝AD，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝90°，AE＝AD，
∴∠OAD+∠FAE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠FAE+∠FEA＝90°，
∴∠OAD＝∠FEA，
在△AOD和△EFA中，
，
∴△AOD≌△EFA（AAS），
∴AF＝DO＝4，EF＝AO＝3，
在Rt△CEF中，CF＝4+6＝10，EF＝3，
∴EC＝＝；
（2）如图2，过点E作BD的垂线，交BD的延长线于点F，过点C作EF的垂线交EF的延长线于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∵EF⊥BD，
∴∠OFG＝90°，
又∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°，
∴四边形OCGF是矩形，
由（1）的方法可证，△AOD≌△DFE（AAS），
∴DF＝AO＝3，EF＝DO＝4，
∴OF＝OD+DF＝4+3＝7＝CG，
在Rt△ECG中，CG＝7，EG＝EF+FG＝4+3＝7，
∴EC＝＝＝7；
综上所述，EC＝或EC＝7．


九．作图—复杂作图（共1小题）
12．（2023•牡丹江）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，D为AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE＝90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
【答案】2或．
【解答】解：如图1：Rt△CDE即为所求；

∵∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴AC＝2，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝AC＝2．
如图2：∵∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴AB＝4，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB＝2，
∵∠DCE＝90°．∠EDC＝30°，
∴DE＝CD÷cos30°＝，
∴AE＝＝．
一十．条形统计图（共1小题）
13．（2022•牡丹江）为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地足球，D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱的冰雪体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一种），绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．

请解答下列问题：
（1）这次被抽查的学生有多少人？
（2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是 　120°　；
（3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？
【答案】（1）60人；
（2）120°；
（3）200人．
【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），
答：这次被抽查的学生有60人；
（2）补全的条形统计图如图，

B类活动扇形圆心角的度数＝×360°＝120°，
故答案为：120°；
（3）1500×＝200（人）．
答：全校最喜爱雪地足球的学生约有200人．