黑龙江省绥化市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类(含答案)

这是一份黑龙江省绥化市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类(含答案)，共25页。试卷主要包含了因式分解，在实数范围内分解因式等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省绥化市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
一．规律型：图形的变化类（共3小题）
1．（2023•绥化）在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100＝101，2+99＝101…，从而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+…+an＝　 　.（结果用含n的代数式表示）

2．（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为 　 　．

3．（2021•绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n个图形中三角形个数是 　 　．

二．因式分解-运用公式法（共1小题）
4．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝　 　．
三．因式分解-分组分解法（共1小题）
5．（2023•绥化）因式分解：x2+xy﹣xz﹣yz＝　 　．
四．实数范围内分解因式（共1小题）
6．（2021•绥化）在实数范围内分解因式：ab2﹣2a＝　 　．
五．分式的混合运算（共1小题）
7．（2023•绥化）化简：（﹣）÷＝　 　．
六．分式的化简求值（共1小题）
8．（2021•绥化）当x＝+3时，代数式的值是 　 　．
七．二次根式有意义的条件（共1小题）
9．（2023•绥化）若式子有意义，则x的取值范围是 　 　．
八．一元一次方程的应用（共1小题）
10．（2022•绥化）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 　 　．
九．二元一次方程的应用（共1小题）
11．（2022•绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有 　 　种购买方案．
一十．根与系数的关系（共3小题）
12．（2023•绥化）已知一元二次方程x2+x＝5x+6的两根为x1与x2，则+的值为 　 　．
13．（2022•绥化）设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为 　 　．
14．（2021•绥化）已知m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则＝　 　．
一十一．一元一次不等式的应用（共1小题）
15．（2021•绥化）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是 　 　元．
一十二．解一元一次不等式组（共1小题）
16．（2022•绥化）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为 　 　．
一十三．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
17．（2021•绥化）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y＝（k≠0，x＜0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△AEF＝1，则k的值为 　 　．

一十四．正方形的性质（共1小题）
18．（2021•绥化）在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB＝3PC，则PC＝　 　．
一十五．正多边形和圆（共2小题）
19．（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为 　 　度．

20．（2021•绥化）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是 　 　．
一十六．弧长的计算（共1小题）
21．（2021•绥化）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 　 　cm．
一十七．扇形面积的计算（共1小题）
22．（2023•绥化）如图，⊙O的半径为2cm，AB为⊙O的弦，点C为上的一点，将沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为 　 　.（结果保留π与根号）

一十八．圆锥的计算（共1小题）
23．（2022•绥化）已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为 　 　．
一十九．旋转的性质（共2小题）
24．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 　 　．

25．（2023•绥化）已知等腰△ABC，∠A＝120°，AB＝2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A′BC′，延长C′A′交直线BC于点D．则A′D的长度为 　 　．
二十．位似变换（共1小题）
26．（2023•绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知点A（2，0），点C（a，b），∠C＝90°．则点C′的坐标为 　 　.（结果用含a，b的式子表示）

二十一．特殊角的三角函数值（共1小题）
27．（2022•绥化）定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 　 　．
二十二．概率公式（共2小题）
28．（2022•绥化）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为 　 　个．
29．（2021•绥化）在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“t”的概率是 　 　．
二十三．列表法与树状图法（共1小题）
30．（2023•绥化）在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4．从中随机抽取1张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是 　 　．

黑龙江省绥化市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．规律型：图形的变化类（共3小题）
1．（2023•绥化）在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100＝101，2+99＝101…，从而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+…+an＝　2n2﹣n　.（结果用含n的代数式表示）

【答案】2n2﹣n．
【解答】解：∵图（1）有1个三角形，记作a1＝1；
图（2）有5个三角形，记作a2＝5＝1+4＝1+4×1；
图（3）有9个三角形，记作a3＝9＝1+4+4＝1+4×2；
…，
∴图（n）中三角形的个数为：an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3，
∴a1+a2+a3+…+an
＝1+5+9+…+（4n﹣3）
＝
＝2n2﹣n．
故答案为：2n2﹣n．
2．（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为 　（1+）2022　．

【答案】（1+）2022．
【解答】解：由题意可得，
P1K1＝OP1•tan60°＝1×＝，
P2K2＝OP2•tan60°＝（1+）×＝（1+），
P3K3＝OP3•tan60°＝（1+++3）×＝（1+）2，
P4K4＝OP4•tan60°＝[（1+++3）+（1+）2]×＝（1+）3，
…，
PnKn＝（1+）n﹣1，
∴当n＝2023时，P2023K2023＝（1+）2022，
故答案为：（1+）2022．
3．（2021•绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n个图形中三角形个数是 　n2+n﹣1　．

【答案】n2+n﹣1．
【解答】解：观察图中三角形的个数与图形的序号的关系，有如下规律：
第一个图形：12+0，
第二个图形：22+1，
第三个图形：32+2，
第四个图形：42+3，
••••••，
第n个图形：n2+n﹣1．
故答案为：n2+n﹣1．
二．因式分解-运用公式法（共1小题）
4．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝　（m+n﹣3）2　．
【答案】（m+n﹣3）2．
【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32
＝（m+n﹣3）2．
故答案为：（m+n﹣3）2．
三．因式分解-分组分解法（共1小题）
5．（2023•绥化）因式分解：x2+xy﹣xz﹣yz＝　（x+y）（x﹣z）　．
【答案】（x+y）（x﹣z）．
【解答】解：原式＝（x2+xy）﹣z（x+y）
＝x（x+y）﹣z（x+y）
＝（x+y）（x﹣z），
故答案为：（x+y）（x﹣z）．
四．实数范围内分解因式（共1小题）
6．（2021•绥化）在实数范围内分解因式：ab2﹣2a＝　a（b+）（b﹣）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：ab2﹣2a，
＝a（b2﹣2）﹣﹣（提取公因式）
＝a（b+）（b﹣）．﹣﹣（平方差公式）
五．分式的混合运算（共1小题）
7．（2023•绥化）化简：（﹣）÷＝　　．
【答案】．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]•
＝[﹣]•
＝•
＝，
故答案为：．
六．分式的化简求值（共1小题）
8．（2021•绥化）当x＝+3时，代数式的值是 　　．
【答案】．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
当x＝+3时，原式＝＝，
故答案为：．
七．二次根式有意义的条件（共1小题）
9．（2023•绥化）若式子有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣5且x≠0　．
【答案】x≥﹣5且x≠0．
【解答】解：由题意得x+5≥0且x≠0，
解得x≥﹣5且x≠0，
故答案为：x≥﹣5且x≠0．
八．一元一次方程的应用（共1小题）
10．（2022•绥化）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 　1.2或者1.5　．
【答案】1.2或者1.5．
【解答】解：第一次操作后的两边长分别是x和（2﹣x），第二次操作后的两边长分别是（2x﹣2）和（2﹣x）．
当2x﹣2＞2﹣x时，有2x﹣2＝2（2﹣x），解得x＝1.5，
当2x﹣2＜2﹣x时，有2（2x﹣2）＝2﹣x，解得x＝1.2．
故答案为：1.2或者1.5．
九．二元一次方程的应用（共1小题）
11．（2022•绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有 　3　种购买方案．
【答案】3．
【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：4x+3y＝48，
∴x＝12﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案．
故答案为：3．
一十．根与系数的关系（共3小题）
12．（2023•绥化）已知一元二次方程x2+x＝5x+6的两根为x1与x2，则+的值为 　﹣　．
【答案】﹣．
【解答】解：一元二次方程x2+x＝5x+6整理得，
x2﹣4x﹣6＝0．
根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣6，
所以原式＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
13．（2022•绥化）设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为 　20　．
【答案】20．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣6，x1x2＝4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2
＝（﹣6）2﹣4×4
＝36﹣16
＝20，
故答案为：20．
14．（2021•绥化）已知m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则＝　﹣　．
【答案】﹣．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝3，mn＝﹣2，
∴＝＝﹣．
故答案为：﹣．
一十一．一元一次不等式的应用（共1小题）
15．（2021•绥化）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是 　330　元．
【答案】330．
【解答】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（20﹣m）个．
∵A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，
∴m≥（20﹣m），
∴m≥，
又∵m为整数，
∴m≥6．
设购买总费用为w元，则w＝20m+15（20﹣m）＝5m+300，
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝5×6+300＝330．
故答案为：330．
一十二．解一元一次不等式组（共1小题）
16．（2022•绥化）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为 　m≤2　．
【答案】m≤2．
【解答】解：由3x﹣6＞0，得：x＞2，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
一十三．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
17．（2021•绥化）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y＝（k≠0，x＜0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△AEF＝1，则k的值为 　﹣24　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，MN交x轴于点G，连接OB，
由于Rt△DOE与Rt△BCA关于MN成轴对称，且OA＝AE，
由对称性可知，AG＝GE，OA＝AE＝EC，
∴AG＝AC，
∵S△AEF＝1，
∴S△AFG＝S△AEF＝，
∵MN∥BC∥OD，
∴△AFG∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝×16＝8，
又∵OA＝AC，
∴S△OAB＝S△ABC＝4，
∴S△OBC＝8+4＝12，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴S△OBC＝12＝|k|，
∵k＜0，
∴k＝﹣24，
故答案为：﹣24．

一十四．正方形的性质（共1小题）
18．（2021•绥化）在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB＝3PC，则PC＝　1或或　．
【答案】1或或．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，

∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∴OB＝2，
∵PB＝3PC，
∴设PC＝x，则PB＝3x，
有三种情况：
①点P在BC上时，如图2，

∵AD＝4，PB＝3PC，
∴PC＝1；
②点P在AC上时，如图3，

在Rt△BPO中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，
（3x）2＝（2）2+（2﹣x）2，
解得：x＝（负数舍去），
即PC＝；
③点P在CD上时，如图4，

在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC2+PC2＝BP2，
42+x2＝（3x）2，
解得：x＝（负数舍去），
即PC＝；
综上，PC的长是1或或．
故答案为：1或或．
一十五．正多边形和圆（共2小题）
19．（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为 　12　度．

【答案】12．
【解答】解：如图，连接OA，

正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，
正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，
∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．
故答案为：12．
20．（2021•绥化）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是 　　．
【答案】．
【解答】解：连接OA，OB，作OG⊥AB于点G，
∵正六边形的边长为4cm，
∴正六边形的外接圆的半径4cm，
内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是GO＝×4＝2，
因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为＝．
故答案为：．

一十六．弧长的计算（共1小题）
21．（2021•绥化）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 　40　cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设弧所在圆的半径为r，
由题意得，，
解得，r＝40cm．
故应填40．
一十七．扇形面积的计算（共1小题）
22．（2023•绥化）如图，⊙O的半径为2cm，AB为⊙O的弦，点C为上的一点，将沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为 　（π﹣）cm2　.（结果保留π与根号）

【答案】（π﹣）cm2．
【解答】解：如图，连接OA，OC，OC交AB于点M，

由折叠性质可得OA＝AC，AB⊥OC，
∴OA＝OC＝AC＝2cm，
∴OM＝CM＝OC＝1cm，∠AOC＝60°，
∵∠AMO＝90°，
∴AM＝＝＝（cm），
∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣×2×
＝（π﹣）（cm2），
故答案为：（π﹣）cm2．
一十八．圆锥的计算（共1小题）
23．（2022•绥化）已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为 　60πcm2　．
【答案】60πcm2．
【解答】解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，
由勾股定理得，底面半径＝6cm，
侧面展开图的面积＝πrl＝π×6×10＝60πcm2．
故答案为：60πcm2．
一十九．旋转的性质（共2小题）
24．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 　3+3　．

【答案】3+3．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，
∵CE＝CF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠CAF＝∠CBE，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，
过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，
则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，
∴CH＝AC＝6，
∴△ACH为等边三角形，
∴DH＝CD•tan60°＝，
AG垂直平分CH，
∴CI＝HI，CF＝FH，
∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，
CF+DF＝HF+DF≥DH，
∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，
∴△CDF的周长的最小值为3+3．
故答案为：3+3．

25．（2023•绥化）已知等腰△ABC，∠A＝120°，AB＝2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A′BC′，延长C′A′交直线BC于点D．则A′D的长度为 　或　．
【答案】或．
【解答】解：∵将△ABC绕点B旋转45°得到△A′BC′，
∴有以下两种情况：
①当△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A′BC′，
过点B作BE⊥A'D于E，作BD的垂直平分线HF交DB于H，交A'D于F，连接BF，

∵△ABC为等腰三角形，∠A＝120°，AB＝2，
∴∠BA'C'＝∠A＝120°，A'B＝AB＝2，∠ABC＝30°，
∴∠DA'B＝60°，
由旋转的性质得：∠A'BA＝45°，
∴∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝75°，
又∵∠A'BC＝∠DA'B+∠D，
即75°＝60°+∠D＝15°，
在Rt△A'BE中，∠DA'B＝60°，A'B＝2，
∴∠A'BE＝30°，
∴，
由勾股定理得：，
∵HF为BD的垂直平分线，
∴DF＝BF，
∴∠D＝∠FBD＝15°，
∴∠EFB＝∠D+∠FBD＝30°，
∴，故：，
由勾股定理得：，
∴；
②当△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A′BC′，
过点D作DM⊥A'D于M，作AD的垂直平分线PQ交A'B于Q，

由旋转的性质得：∠ABA'＝45°，∠BA'C'＝∠A＝120°，A'B＝AB＝2，
∴∠A'BD＝∠ABA'﹣∠ABC＝15°，∠BA'D＝60°，
∵DM⊥A'D，
∴∠A'DM＝30°，
在Rt△A'DM中，∠A'DM＝30°，设A'M＝x，
则A'D＝2A'M＝2x，
由勾股定理得：，
∵PQ为BD的垂直平分线，
∴BQ＝DQ，
∴∠A'BD＝∠QDB＝15°，
∴∠DQM＝∠A'BD+∠QDB＝30°，
∴，
由勾股定理得：，
∵A'M+QM+BQ＝A'B，
∴，
∴，
即．
综上所述：A′D的长度为或．
故答案为：或．
二十．位似变换（共1小题）
26．（2023•绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知点A（2，0），点C（a，b），∠C＝90°．则点C′的坐标为 　（6﹣2a，﹣2b）　.（结果用含a，b的式子表示）

【答案】（6﹣2a，﹣2b）．
【解答】解：过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N，
则∠ANC′＝∠AMC＝90°，
∵△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，
∴，
∵∠NAC′＝∠CAM，
∴△ACM∽△AC′N，
∴，
∵点A（2，0），点C（a，b），
∴OA＝2，OM＝a，CM＝b，
∴AM＝a﹣2，
∴，
∴AN＝2a﹣4，C′N＝2b，
∴ON＝AN﹣OA＝2a﹣6，
∴点C′的坐标为（6﹣2a，﹣2b），
故答案为：（6﹣2a，﹣2b）．

二十一．特殊角的三角函数值（共1小题）
27．（2022•绥化）定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 　　．
【答案】．
【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
＝×﹣×
＝﹣
＝．
故答案为：．
二十二．概率公式（共2小题）
28．（2022•绥化）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为 　15　个．
【答案】15．
【解答】解：设箱子中黄球的个数为x个，根据题意可得：
＝，
解得：x＝15，
经检验得：x＝15是原方程的根．
故答案为：15．
29．（2021•绥化）在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“t”的概率是 　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：“mathematics”中共11个字母，其中共2个“t”，
任意取出一个字母，有11种情况可能出现，
取到字母“t”的可能性有两种，故其概率是；
故答案为：．
二十三．列表法与树状图法（共1小题）
30．（2023•绥化）在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4．从中随机抽取1张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是 　　．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的结果有8种，
∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是＝，
故答案为：．