湖北省恩施州2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)

这是一份湖北省恩施州2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)，共44页。试卷主要包含了，其中x＝﹣2，先化简，再求值，的图象经过点D等内容，欢迎下载使用。
湖北省恩施州2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023•恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
2．（2022•恩施州）先化简，再求值：÷﹣1，其中x＝．
3．（2021•恩施州）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝﹣2．
二．一次函数的应用（共3小题）
4．（2023•恩施州）为积极响应州政府“悦享成长•书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
（1）男装、女装的单价各是多少？
（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
5．（2022•恩施州）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．
（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
（2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
6．（2021•恩施州）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
（1）求每千克花生、茶叶的售价；
（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
7．（2023•恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝x+2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝（k≠0）在一，三象限分别交于C，D两点，AB＝BC，连接CO，DO．
（1）求k的值；
（2）求△CDO的面积．

8．（2022•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB＝90°，A（0，2），C（6，2）．D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC．反比例函数y1＝（k≠0）的图象经过点D．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若AB所在直线解析式为y2＝ax+b（a≠0），当y1＞y2时，求x的取值范围．

9．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝经过点A．
（1）求k；
（2）直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，求△ABD的面积．

四．二次函数综合题（共3小题）
10．（2023•恩施州）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B．
（1）如图，若A（0，），抛物线的对称轴为x＝3．求抛物线的解析式，并直接写出y≥时x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；
（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），F（1，﹣1），且m＜n，求正整数m，n的值．
11．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4）．
（1）直接写出抛物线的解析式．
（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．


12．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

五．矩形的性质（共1小题）
13．（2021•恩施州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．

六．正方形的性质（共1小题）
14．（2022•恩施州）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F．求证：DF＝BE+EF．

七．切线的性质（共1小题）
15．（2022•恩施州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
（1）求证：∠ADE＝∠PAE．
（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．
（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．

八．切线的判定与性质（共2小题）
16．（2023•恩施州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长．

17．（2021•恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．

九．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
18．（2023•恩施州）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，连接AD′交BC′于点F．
（1）若∠DED′＝70°，求∠DAD′的度数；
（2）连接EF，试判断四边形C′D′EF的形状，并说明理由．

一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
19．（2023•恩施州）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，高BC为3m．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A，B，C，D，E在同一平面内．
你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数）

20．（2021•恩施州）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1m）

一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
21．（2022•恩施州）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°．求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到1m）．

一十二．方差（共1小题）
22．（2021•恩施州）九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：


平均数
中位数
众数
方差
甲
175
a
b
93.75
乙
175
175
180，175，170
c
（1）求a、b的值；
（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；
（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．
一十三．列表法与树状图法（共2小题）
23．（2023•恩施州）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典•乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A﹣包粽子，B﹣划旱船，C﹣诵诗词，D﹣创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题：
（1）请直接写出统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数；
（3）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率．

24．（2022•恩施州）2022年4月29日，湖北日报联合夏风教室发起“劳动最光荣，加油好少年”主题活动．某校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如下不完整的统计图（如图）．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 　 　名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．


湖北省恩施州2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023•恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
【答案】﹣，原式＝﹣．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝•
＝﹣，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．
2．（2022•恩施州）先化简，再求值：÷﹣1，其中x＝．
【答案】，．
【解答】解：÷﹣1
＝•﹣1
＝﹣1
＝
＝，
当x＝时，原式＝＝．
3．（2021•恩施州）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝﹣2．
【答案】﹣，﹣．
【解答】解：1﹣÷
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝﹣，
当a＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．
二．一次函数的应用（共3小题）
4．（2023•恩施州）为积极响应州政府“悦享成长•书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
（1）男装、女装的单价各是多少？
（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】（1）男装单价为100元，女装单价为120元．（2）当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
【解答】解：（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，
根据题意可得，
解得：90≤a≤100，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则w＝120a+100（150﹣a）＝15000+20a，
∵20＞0，
∴当a＝90时，w有最小值，最小值为15000+20×90＝16800（元），
此时，150﹣a＝60（套），
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
5．（2022•恩施州）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．
（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
（2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
【答案】（1）租用甲种客车每辆200元，租用乙种客车每辆300元；
（2）当租用甲型客车2辆，租用乙型客车6辆，租车总费用最少为2200元．
【解答】解：（1）设租用甲种客车每辆x元，租用乙种客车每辆y元，
根据题意可得，，
解得．
∴租用甲种客车每辆200元，租用乙种客车每辆300元．
（2）设租用甲型客车m辆，则租用乙型客车（8﹣m）辆，租车总费用为w元，
根据题意可知，w＝200m+300（8﹣m）＝﹣100m+2400，
∵15m+25（8﹣m）≥180，
∴0＜m≤2，
∵﹣100＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝2时，w的最小值为﹣100×2+2400＝2200．
∴当租用甲型客车2辆，租用乙型客车6辆，租车总费用最少为2200元．
6．（2021•恩施州）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
（1）求每千克花生、茶叶的售价；
（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）每千克花生10元，每千克茶叶50元；（2）花生销售30千克，茶叶销售30千克，最大利润为540元．
【解答】解：（1）设每千克花生x元，每千克茶叶（40+x）元，
根据题意得：50x＝10（40+x），
解得：x＝10，
40+x＝40+10＝50（元），
答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；
（2）设花生销售m千克，茶叶销售（60﹣m）千克获利最大，利润w元，
由题意得：，
解得：30≤m≤40，
w＝（10﹣6）m+（50﹣36）（60﹣m）＝4m+840﹣14m＝﹣10m+840，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝30时，利润最大，
此时花生销售30千克，茶叶销售60﹣30＝30千克，
w最大＝﹣10×30+840＝540（元），
∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
7．（2023•恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝x+2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝（k≠0）在一，三象限分别交于C，D两点，AB＝BC，连接CO，DO．
（1）求k的值；
（2）求△CDO的面积．

【答案】（1）k的值为8；
（2）△CDO的面积是6．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝﹣2，
∴A（0，2），B（﹣2，0），
∵AB＝BC，
∴A为BC中点，
∴C（2，4），
把C（2，4）代入y＝得：
4＝，
解得k＝8；
∴k的值为8；
（2）由得：或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△DOC＝S△DOB+S△COB＝×2×2+×2×4＝2+4＝6，
∴△CDO的面积是6．
8．（2022•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB＝90°，A（0，2），C（6，2）．D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC．反比例函数y1＝（k≠0）的图象经过点D．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若AB所在直线解析式为y2＝ax+b（a≠0），当y1＞y2时，求x的取值范围．

【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝；
（2）x＜﹣6或0＜x＜4．
【解答】解：（1）∵A（0，2），C（6，2），
∴AC＝6，
∵△ABC是∠C为直角的等腰直角三角形，
∴BC＝AC＝6，
∵D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC．
∴CD＝2，
∴D（6，4），
∵反比例函数y1＝（k≠0）的图象经过点D，
∴k＝6×4＝24，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵A（0，2），B（6，8），
∴把A、B的坐标代入y2＝ax+b得，
解得，
∴y2＝x+2，
解得或，
∴两函数的交点为（﹣6，﹣4），（4，6）
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣6或0＜x＜4．
9．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝经过点A．
（1）求k；
（2）直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，求△ABD的面积．

【答案】（1）；
（2）4．
【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H，
Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，
∴OC＝BC＝2，AC＝BC×sin30°＝2，
∵∠HAC+∠ACO＝90°，∠ABC+∠ACO＝90°，
∴∠HAC＝∠ABC＝30°，
∴CH＝AC×sin30°＝1，AH＝AC×cos30°＝，
∴OH＝OC﹣CH＝2﹣1＝1，
∴A（1，），
∵双曲线y＝经过点A，
∴＝，
即k＝；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，），C（2，0），
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
∵直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，
∴，
解得或，
∵D在第四象限，
∴D（3，﹣），
∴S△ABD＝S△ABC+S△BCD＝BC•AH+BC•（﹣yD）＝＝4．

四．二次函数综合题（共3小题）
10．（2023•恩施州）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B．
（1）如图，若A（0，），抛物线的对称轴为x＝3．求抛物线的解析式，并直接写出y≥时x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；
（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），F（1，﹣1），且m＜n，求正整数m，n的值．
【答案】（1）抛物线解析式为y＝，x的取值范围是：0≤x≤6；
（2）C（，），P（0，）或P（0，），C（0，）；
（3）m＝2，n＝7或m＝3，n＝4．
【解答】解：（1）∵A，抛物线的对称轴为x＝3．
∴c＝，，
解得：b＝3，
∴抛物线解析式为y＝，
当y＝时，＝，
解得：x1＝0，x2＝6，
∴x的取值范围是：0≤x≤6；

（2）连接AB，在对称轴上截取BD＝AB，
由已知可得：OA＝，OB＝3，
在Rt△AOB中，
tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∴∠PAB＝180°﹣∠OAB＝120°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
∴∠PAB+∠BCP＝180°，
∴A、B、C、P四点共圆，
∴∠BAC＝∠BPC＝60°，
∵BD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴点D在AC上，
BD＝AB＝，
∴D（3，），
设AD的解析式为y＝kx+b，则有：
，
解得：，
∴AC的解析式为：y＝，
由＝，得：
x1＝0，x2＝，
当x＝时，y＝，
∴C（，），
设P（0，y），则有：
，
解得：y＝，
∴P（0，）；
当C与A重合时，
∵∠OAB＝60°，
∴点P与点A关于x轴对称，符合题意，
此时，P（0，），C（0，）；
∴C（，），P（0，）或P（0，），C（0，）；

（3）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），F（1，﹣1），
∴D、E关于对称轴对称，，
∴b＝，，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+bx﹣b﹣＝，
∴顶点坐标为，
由＝2，得：
，
∵m＜n，当x＝1时，y＝﹣1＜0，
∴m＝2或m＝3，
当m＝2时，把点D（2，2）代入y＝﹣x2+bx﹣b﹣，得：
b＝，
又∵b＝，
∴n＝7；
当m＝3时，把点D（3，2）代入y＝﹣x2+bx﹣b﹣，得：
b＝，
又∵b＝，
∴n＝4；
∴m＝2，n＝7或m＝3，n＝4．
11．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4）．
（1）直接写出抛物线的解析式．
（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．


【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；
（2）△BCQ是直角三角形，理由见解析；
（3）T（，0）或（，0）；
（4）平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），
∴c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；
（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：
将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，
∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），
令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，0），A（1，0），
如图1，连接BQ，CQ，PQ，
∵P（0，4），Q（﹣1，4），
∴PQ⊥y轴，PQ＝1，
∵CP＝4﹣3＝1，
∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，
∴△CPQ是等腰直角三角形，
∴∠PCQ＝45°，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△BCQ是直角三角形．
（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．
∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，
∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，
即点T在y轴的右侧，
设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，
∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），
∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
由，
解得：，，
∴M（﹣，），N（，），
∴BN＝×＝，
①当△NBT∽△CBA时，则＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴T（，0）；
②当△NBT∽△ABC时，则＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴T（，0）；
综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．
（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），
∵直线BC的解析式为y＝x+3，
∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，
设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），
则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，
由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，
整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，
∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，
∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，
解得：t＝，
∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．



12．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）存在，点F的坐标为（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）；（3）存在，点M的坐标为（﹣1，），EM+MP+PB的最小值为+1．
【解答】解：（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，
则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0），
则，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；

（2）存在，理由：
∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5），
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m），
由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，
设点Q的坐标为（s，t），
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，
故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），
则或，
解得或，
故点F的坐标为（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）；

（3）存在，理由：
由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），

连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，
理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP，
则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1为最小，
由点B″、E的坐标得，直线B″E的表达式为y＝（x+2），
当x＝﹣1时，y＝（x+2）＝，故点M的坐标为（﹣1，），
则EM+MP+PB的最小值B″E+1＝1+＝+1．
五．矩形的性质（共1小题）
13．（2021•恩施州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．

【答案】证明过程见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OD．
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵OA＝OD，
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD．
六．正方形的性质（共1小题）
14．（2022•恩施州）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F．求证：DF＝BE+EF．

【答案】证明过程见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵CE⊥BG，DF⊥CE，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BCE+∠DCF，
∴∠CBE＝∠DCF，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（AAS），
∴CF＝BE，CE＝DF，
∵CE＝EF+CF，
∴DF＝BE+EF．
七．切线的性质（共1小题）
15．（2022•恩施州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
（1）求证：∠ADE＝∠PAE．
（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．
（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．

【答案】（1）证明过程见解析；
（2）证明过程见解析；
（3）CE＝2．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，

∵PA为⊙O的切线，
∴AO⊥PA，
∴∠OAE+∠PAE＝90°．
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠PAE；
（2）证明：由（1）知：∠ADE＝∠PAE＝30°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠ADE＝60°．
∵∠AED＝∠PAE+∠APE，
∴∠APE＝∠PAE＝30°，
∴AE＝PE；
（3）解：设CE＝x，则DE＝CD+CE＝6+x，
∴OA＝OE＝，
∴OC＝OE﹣CE＝，
OP＝OE+PE＝．
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB．
∵PA为⊙O的切线，
∴AO⊥PA，
∴△OAC∽△OPA，
∴，
∴，
即：x2+10x﹣24＝0．
解得：x＝2或﹣12（不合题意，舍去），
∴CE＝2．
八．切线的判定与性质（共2小题）
16．（2023•恩施州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解答】（1）证明：连接OD，作OM⊥BC于M，
∵AC＝BC，O是AB中点，
∴CO平分∠ACB，CO⊥AB，
∵AC切圆于D，
∴OD⊥AC，
∴OD＝OM，
∴BC是⊙O的切线；
（2）作OH⊥AG 于H，
∴FG＝2GH，
∵△OAC是等腰直角三角形，
∴OA＝AC＝×4＝4，
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴OD＝AO＝2，
∴OG＝2，
∴AG＝＝2，
∵cosF＝，
∴＝，
∴GH＝，
∴FG＝．

17．（2021•恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．

【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AOC＝2∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）＝＝90°，
∴OC⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：作EH⊥AC于H，
∵AO＝20，BO＝15，
∴AB＝＝＝25，
∵，
即，
∴OC＝12，
∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8，
∵EH⊥AC，OC⊥AC，
∴EH∥OC，
∴△AEH∽△AOC，
∴＝，
即＝，
∴EH＝，
∵BC＝＝＝9，
∴AC＝AB﹣BC＝25﹣9＝16，
∵AH＝＝＝，
∴CH＝AC﹣AH＝16﹣＝，
∴CE＝＝＝．

九．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
18．（2023•恩施州）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，连接AD′交BC′于点F．
（1）若∠DED′＝70°，求∠DAD′的度数；
（2）连接EF，试判断四边形C′D′EF的形状，并说明理由．

【答案】（1）∠DAD′＝35°；
（2）四边形C′D′EF是矩形，理由见解答．
【解答】解：（1）∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
由翻折可知：D′E＝DE，
∴AE＝D′E，
∴∠EAD′＝∠ED′A，
∵∠DED′＝∠EAD′+∠ED′A＝70°，
∴∠DAD′＝35°；
（2）四边形C′D′EF是矩形，理由如下：
如图，连接EF，
由翻折可知：∠EBC＝∠EBG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC＝∠GEB，
∴∠GBE＝∠GEB，
∴GE＝GB，
∵ED′∥BC′，
∴∠AFG＝∠AD′E，
∴∠AFG＝∠GAF，
∴GF＝GA，
∴AE＝BF，
∵AD＝2AE＝BC′，
∴BC′＝2BF，
∴F是BC′的中点，
∴FC′＝BC′，
∵ED′＝ED＝AD，
∴FC′＝ED′，
∵ED′∥BC′，
∴四边形C′D′EF是平行四边形，
∵∠C′＝∠C＝90°，
∴四边形C′D′EF是矩形．

一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
19．（2023•恩施州）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，高BC为3m．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A，B，C，D，E在同一平面内．
你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数）

【答案】信号塔DE的高为31m．
【解答】解：能，过B作BF⊥DE于F，
则EF＝BC＝3m，BF＝CE，
在Rt△ABC中，∵AB＝5m，BC＝3m，
∴AC＝＝4（m），
在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°，
∴AE＝DE，
设AE＝DE＝xm，
∴BF＝（4+x）m，DF＝（x﹣3）m，
在Rt△BDF中，tan38.7°＝0.80，
解得x＝31，
∴DE＝31m，
答：信号塔DE的高为31m．

20．（2021•恩施州）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1m）

【答案】14.6m．
【解答】解：作DE⊥BC于E，CF⊥BD于F，
在Rt△BED中，BE＝AD＝10m，∠EDB＝30°，
∴∠EBD＝60°，BD＝2BE＝20m，
在Rt△CBF中，∠CBF＝60°，
∴BF＝BC，CF＝BC，
在Rt△CDF中，∠CDF＝45°，
∴DF＝CF＝BC，
∵BD＝BF+DF，
∴BC+BC＝20，
∴BC＝≈14.6（m），
答：乙居民楼的高约为14.6m．

一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
21．（2022•恩施州）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°．求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到1m）．

【答案】古亭与古柳之间的距离AB的长约为137米．
【解答】解：过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C，

设AC＝x米，
∵AD＝50米，
∴CD＝AC+AD＝（x+50）米，
在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，
∴BC＝AC•tan60°＝x（米），
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
∴tan45°＝＝1，
∴BC＝CD，
∴x＝x+50，
∴x＝25+25，
∴AC＝（25+25）米，
∴AB＝＝＝50+50≈137（米），
∴古亭与古柳之间的距离AB的长约为137米．

一十二．方差（共1小题）
22．（2021•恩施州）九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：


平均数
中位数
众数
方差
甲
175
a
b
93.75
乙
175
175
180，175，170
c
（1）求a、b的值；
（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；
（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．
【答案】（1）a＝177.5，b＝185；
（2）应选乙，理由见解析；
（3）见解析．
【解答】解：（1）甲的成绩从小到大排列为：160，165，165，175，180，185，185，185，
∴甲的中位数a＝＝177.5，
∵185出现了3次，出现的次数最多，
∴众数b是185，
故a＝177.5，b＝185；
（2）应选乙，
理由：乙的方差为：[2×（175﹣175）2+2×（180﹣175）2+2×（170﹣175）2+（185﹣175）2+（165﹣175）2]＝37.5，
乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定；
（3）①从平均数和方差相结合看，乙的成绩比较稳定；
②从平均数和中位数相结合看，甲的成绩好些．
一十三．列表法与树状图法（共2小题）
23．（2023•恩施州）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典•乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A﹣包粽子，B﹣划旱船，C﹣诵诗词，D﹣创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题：
（1）请直接写出统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数；
（3）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率．

【答案】（1）m＝25，图形见解析；
（2）估计选择D类活动的人数约有180人
（3）．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：50÷50%＝100（人），
∴m＝100×25%＝25，
选择C的人数为：100﹣25﹣50﹣10＝15，
补全条形统计图如下：

（2）1800×＝180（人），
答：估计选择D类活动的人数约有180人；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率为＝．
24．（2022•恩施州）2022年4月29日，湖北日报联合夏风教室发起“劳动最光荣，加油好少年”主题活动．某校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如下不完整的统计图（如图）．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 　200　名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．

【答案】（1）200，补全条形统计图见解析；
（2）该校1200名学生中参与“洗衣服”的学生约有300名；
（3）甲、乙同时被抽中的概率为．
【解答】解：（1）40÷20%＝200（名），200﹣40﹣50﹣30﹣20＝60（名），
故答案为：200，补全条形统计图如下：

（2）1200×＝300（名），
答：该校1200名学生中参与“洗衣服”的学生约有300名；
（3）从甲、乙、丙、丁四个人中选择2个人所有可能出现的结果情况如下：

共有12种可能出现的结果，其中甲、乙同时被抽中的有2种，
所以甲、乙同时被抽中的概率为＝．