考点01 集合6种常见考法归类（解析版）-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

这是一份考点01 集合6种常见考法归类（解析版）-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)，共42页。学案主要包含了集合的含义与表示，集合间的基本关系，集合的基本运算，韦恩图及其应用，集合的新定义问题，集合的综合应用等内容，欢迎下载使用。
考点01 集合6种常见考法归类


考点一 集合的含义与表示
（一）判断元素与集合的关系
（二） 根据元素与集合的关系求参数
（三）根据集合中元素的个数求参数
（四）利用集合中元素的性质求集合个数
（五）集合元素互异性的应用
（六）集合的表示
考点二 集合间的基本关系
（一）集合间基本关系的判定
（二）空集
（三）（真）子集的列举与个数的计算
（四）根据集合相等求参数
（五）根据集合的包含关系求参数
考点三 集合的基本运算
（一）集合的并集、交集运算
（二）补集的运算
（三）交、并、补的综合运算
（四）根据集合的运算结果求参数
考点四 韦恩图及其应用
考点五 集合的新定义问题
考点六 集合的综合应用


1、与集合中元素有关的问题的求解策略
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
2、集合间基本关系的2种判定方法和1个关键
两种方法：
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；
(2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系
一个关键：
关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系
3、根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
4、集合基本运算的方法技巧

5、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观
对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用．
6、集合运算中参数问题的求解策略
集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍.
具体步骤如下：
(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验．
7、集合新定义问题的求解思路
(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；
(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．
8、韦恩图的应用
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．

考点一 集合的含义与表示
（一）判断元素与集合的关系
1．（2023·河北·高三学业考试）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】结合数的分类判断即可.
【详解】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；
，为自然数及有理数，③④正确.
故选：C.
2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系求解.
【详解】因为，
所以A、C错误，
因为，所以，所以B错误，
又，所以，所以D正确，
故选:D．
3．（2023·新疆·校联考二模）集合，为1~10以内的质数}，记，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过质数的概念化简集合B，然后利用交集运算求解集合M，根据选项逐一判断即可.
【详解】因为为1~10以内的质数}，又，
则，对比选项可知，，即D正确，ABC错误.
故选：D.
4．（2023·河北石家庄·统考一模）设全集，若集合满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系及补集运算即可.
【详解】由题意可得：，
显然4是中的元素，故ABD错误，C正确.
故选：C
5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（   ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据集合满足的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确；
（2）由（1）可知，故B错误；
（3）由①知，，，，，
即，故C正确；
（4），则，由③可得，，，
即，，即，；
由（3）可知当，，，
当，可得，，
故D正确．
故答案为：ACD
（二）根据元素与集合的关系求参数
6．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（    ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.
【详解】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合元素与集合的关系得到，解不等式即可求出结果.
【详解】由题意可得，解得，
故选：C
8．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意建立不等式求解即可.
【详解】由题意，且，
解得，
故选：B
（三）根据集合中元素的个数求参数
9．（2023·吉林延边·统考二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ）
A． B．0 C．或0 D．无解
【答案】C
【分析】集合有一个元素，即方程有一解，分， 两种情况讨论，即可得解.
【详解】集合有一个元素，即方程有一解，
当时，，符合题意，
当时，有一解，
则，解得：，
综上可得：或，
故选：C.
10．（2023·上海·高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
【答案】
【分析】把不等式转化为，转化为，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，不等式且，即，
令，
所以，
所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，
而一次函数，图象是过一定点的动直线，
作出函数和的图象，如图所示，
其中，
又因为，结合图象，
要使得集合中有且只有一个元素，
可得，即，解得.
即正实数的取值范围是.
故答案为：.

11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合.
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）且；（2）或
【分析】（1）转化为关于的方程有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解；
（2）分，两种情况讨论，当时用判别式控制范围，即得解；
【详解】（1）由于中有两个元素，
∴关于的方程有两个不等的实数根，
∴，且，即，且.
故实数的取值范围是且
（2）当时，方程为，，集合只有一个元素；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，
若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.
综上可知，实数的取值范围是或
12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合中至少有2个元素，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于集合中至少有2个元素，所以,从而可求出的取值范围
【详解】解：因为集合中至少有2个元素，
所以，解得，
故选：D
13．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）已知集合．若中有两个元素，则实数m的不同取值个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由中有两个元素，得到，由此能求出实数的不同取值个数．
【详解】解：集合，1，，，，
中有两个元素，
，解得，
实数的不同取值个数为1．
故选：B．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A中所有整数元素之和为18，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先由二次不等式求出集合，根据已知集合中所有整数的元素和为18可判断的范围.
【详解】解；由可得
①若，则，则，其中所有整数的元素的和不可能是18，舍去
②若，则，不符合题意
③若，则，由知中的整数有3，4，5，6，
∴
故答案为：
15．（2023·高三课时练习）由实数构成的非空集合A满足条件：①；②若，则.试证明：
(1)若，则在集合A中必有另外两个数；
(2)若，则集合A不可能是单元素集合；
(3)若，且，则集合A中至少有三个元素.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据元素与集合关系结合条件即得；
（2）假设集合A是单元素集合，得到矛盾，进而即得；
（3）根据（2）结合条件即得.
【详解】（1）由，得，即，
由，得，即，
所以，若，则集合A中必有另外两个数和；
（2）假设集合A是单元素集合，即，
所以，得，
，该方程无实数根，于是，
所以，若，则集合A不可能是单元素集合；
（3）由，得，
由，得，即，
由（2）知，同理可得，，
所以，集合A中至少有三个元素a，，.
（四）利用集合中元素的性质求集合个数
16．（2023·全国·高三专题练习）由实数所组成的集合，最多可含有（    ）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案．
【详解】由题意，当时所含元素最多，
此时分别可化为，，，
所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．
故选：B
17．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为_________．
【答案】
【分析】根据集合得表示可知： 是12的因数，即可求解.
【详解】由可知， 是12的因数，故 ，进而可得可取，
故答案为：
18．（2023·全国·高三专题练习）设集合，则集合的元素个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】解出集合中的不等式，得到集合中的元素，利用交集的运算即可得到结果.
【详解】集合，
所以.
故选：B.
19．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知集合，，则中的元素个数为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】应用并运算求，即可得元素个数.
【详解】由题设，所以，故其中元素共有4个.
故选：B
20．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案．
【详解】集合，
所以集合的元素个数为9个．
故选：B．
21．（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
【答案】4
【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．
根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．
故答案为：4．
22．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（    ）
A．14 B．30 C．32 D．42
【答案】A
【分析】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.
【详解】设中有个元素，则,
所以中的元素个数为，因此中的元素个数为中的元素减去中的元素个数，即为，
由于，所以，故当时，有最小值14
故选：A
（五）集合元素互异性的应用
23．（2023·全国·高三专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合中元素的互异性得，
故三角形一定不是等腰三角形.
故选：A.
24．（2023·全国·高三专题练习）若，则实数a的取值集合为______．
【答案】
【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值.
【详解】因为，故或或，
当时，，与元素的互异性矛盾，舍；
当时，，符合；
当时，或，根据元素的互异性，符合，
故a的取值集合为.
故答案为：
25．（2023·全国·高三专题练习）已知其，则由的值构成的集合是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分，讨论，求出，再带入集合看是否满足互异性即可.
【详解】解：，
当，即时，，集合中有相同元素，舍去；
当，即（舍）或时，，符合，
故由的值构成的集合是.
故选：D
【点睛】本题考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，注意带入验证，是基础题.
（六）集合的表示
26．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据集合的定义，表示方法及集合相等的条件逐个分析判断
【详解】解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；
表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误；
集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；
由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确．
故选：ACD．
27．（2023·高三课时练习）方程组的解集可表示为______.
【答案】
【分析】求出二元一次方程组的解，然后利用列举法表示即得.
【详解】由，可得，
所以方程的解集为.
故答案为：.
28．（2023·高三课时练习）已知集合，用列举法表示M＝______．
【答案】
【分析】由直接求解.
【详解】根据题意，应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，.
又，所以的值分别为：4，3，2.
故集合.
故答案为：
29．（2023春·河北·高三统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ）
A．
B．或
C．
D．
【答案】C
【解析】直角坐标平面中除去两点､，其余的点全部在集合中，逐一排除法．
【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点､，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．
故选：C
【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．
考点二 集合间的基本关系
（一）集合间基本关系的判定
30．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用集合之间的基本关系即可判断.
【详解】,,
,
，故B正确；
，,
,故AD正确；
故选：C
31．（2023·全国·高三专题练习）集合，,则（    ）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】B
【分析】化简两个集合，再判断集合间的关系.
【详解】,,
表示奇数，表示整数，所以.
故选：B
32．（2023·高三课时练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）
A．Ü B．Ü C．ÜÜ D．ÜÜ
【答案】B
【分析】先将集合M、N、P化简成统一形式，然后判断即可．
【详解】，
，
，
所以Ü.
故选：B．
33．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
（二）空集
34．（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是(    )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x6且x6或x6且x