考点02不等式（7种题型11个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

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考点02不等式（7种题型11个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五、刷好题
六.刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．选择题（共4小题）
1．（2022•上海）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．ad＞bc
2．（2020•上海）下列不等式恒成立的是（　　）
A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2 D．a2+b2≤﹣2ab
3．（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（　　）
A．a+b＞2 B．a+b＜2 C．+2b＞2 D．+2b＜2
4．（2021•上海）已知两两不相等的x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪个选项恒成立（　　）
A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3 C．x22＜x1x3 D．x22＞x1x3
二．填空题（共5小题）
5．（2022•上海）不等式＜0的解集为 　 　．
6．（2021•上海）不等式＜1的解集为　 　．
7．（2023•上海）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为 　 　．
8．（2021•上海）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝　 　．
9．（2020•上海）不等式＞3的解集为　 　．
三．解答题（共1小题）
10．（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）
（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；
（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？








二、考点清单

一、等式与不等式的性质
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).
二、均值不等式及其应用
1.均值不等式：≤
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象



一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集


R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
a a＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a ∅
{x|b 4.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
三、题型方法

一．等式与不等式的性质（共2小题）

1．（2022•宝山区校级模拟）已知a＜b，c≥0，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A．ac＜bc B．a2c≤b2c C．a2+c＜b2+c D．ac2≤bc2
2．（2022•杨浦区模拟）设x1，x2∈R，则“x1+x2＞6且x1x2＞9”是“x1＞3且x2＞3”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二．不等关系与不等式（共3小题）
3．（2023•黄浦区模拟）已知x∈R，下列不等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023•金山区二模）若实数a、b满足a2＞b2＞0，则下列不等式中成立的是（　　）
A．a＞b B．2a＞2b
C．a＞|b| D．log2a2＞log2b2
5．（2023•嘉定区模拟）不等式的解集为 　 　．
三．基本不等式及其应用（共9小题）
6．（2023•宝山区二模）已知定义在R上的偶函数f（x）＝|x﹣m+1|﹣2，若正实数a、b满足f（a）+f（2b）＝m，则的最小值为（　　）
A． B．9 C． D．8
7．（2023•黄浦区模拟）若关于x的不等式x2+bx+c≥0（b＞1）的解集为R，则的最小值为 　 　．
8．（2023•奉贤区二模）已知两个正数a，b的几何平均值为1，则a2+b2的最小值为 　 　．
9．（2023•金山区二模）已知正实数a、b满足，则2a+b的最小值为 　 　．
10．（2023•嘉定区二模）已知函数y＝2x+，定义域为（0，+∞），则该函数的最小值为 　 　．
11．（2023•崇明区二模）已知正实数a、b满足ab＝1，则a+4b的最小值等于 　 　．
12．（2023•浦东新区模拟）对于正实数x，代数式的最小值为 　 　．
13．（2023•杨浦区校级三模）若实数x，y满足xy＝1，则2x2+y2的最小值为　 　．


14．（2022•上海模拟）已知函数y＝f（x）的定义域为D，值域为A．若D⊆A，则称f（x）为“M型函数”；若A⊆D，则称f（x）为“N型函数”．
（1）设，D＝[1，4]，试判断f（x）是“M型函数”还是“N型函数”；
（2）设，g（x）＝af（2+x）+bf（2﹣x），若g（x）既是“M型函数”又是“N型函数”，求实数a，b的值；
（3）设f（x）＝x2﹣2ax+b，D＝[1，3]，若f（x）为“N型函数”，求f（2）的取值范围．






四．其他不等式的解法（共5小题）
15．（2022•浦东新区校级二模）下列各组不等式中，解集完全相同的是（　　）
A．与x2＜x+6
B．＜0与（x﹣2）（x+1）＜0
C．＞0与x+2＞0
D．与x﹣3＞2x+1
16．（2023•嘉定区二模）已知，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝　 　．
17．（2023•青浦区二模）已知函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式（ax+b）（bx+c）（cx+a）＜0的解集是 　 　．

18．（2023•宝山区二模）已知函数（a＞0且a≠1），若关于x的不等式f（ax2+bx+c）＞0的解集为（1，2），其中b∈（﹣6，1），则实数a的取值范围是 　 　．
19．（2022•长宁区二模）已知函数f（x）满足：，则不等式的解集为 　 　．
五．指、对数不等式的解法（共3小题）
20．（2023•杨浦区二模）由函数的观点，不等式3x+lgx≤3的解集是 　 　．
21．（2022•闵行区二模）不等式2x﹣5＜0的解集为 　 　．
22．（2022•宝山区二模）已知函数f（x）＝．
（1）当a＝b＝1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；
（2）若y＝f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y＝f（x）的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．













六．二次函数的性质与图象（共3小题）
23．（2022•徐汇区校级模拟）函数f（x）＝x2﹣6|x|+8的单调减区间是 　 　．
24．（2022•宝山区校级二模）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线滑到台端点B起跳，然后在空中沿抛物线g（x）＝ax2﹣20ax﹣b（x＞0）飞行一段时间后在点C着陆，线段BC的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知g（x）＝ax2﹣20ax﹣b在区间[0，30]上的最大值为﹣30，最小值为﹣70．
（1）求实数a，b的值及助滑道曲线AB的长度．
（2）若运动员某次比赛中着陆点C与起滑门点A的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米）．




25．（2022•青浦区二模）设函数f（x）＝x2+px+q（p，q∈R），定义集合Df＝{x|f（f（x））＝x，x∈R}，集合Ef＝{x|f（f（x））＝0，x∈R}．
（1）若p＝q＝0，写出相应的集合Df和Ef；
（2）若集合Df＝{0}，求出所有满足条件的p，q；
（3）若集合Ef只含有一个元素，求证：p≥0，q≥0．




七．一元二次不等式及其应用（共1小题）
26．（2023•金山区二模）若实数x满足不等式x2﹣3x+2＜0，则x的取值范围是 　 　．
四、易错分析

易错点1：忽视字母的取值范围而致错
1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若，，则； B．若，则；
C．若，则； D．若，，则.
易错点2：多次运用不等式性质而致错
2、已知，，求的取值范围.





易错点3：忽视不等式中高次项的系数
3．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
易错点4：应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，
4．当时，不等式恒成立，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
5.已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或
易错点5：忽视一元二次不等式中两根大小而致错
6．已知集合，集合，命题：，
命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.







易错点6：忽视分式不等式中的分母不能为零致错
7．不等式≤1的解集是________．
易错点7：忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错
8.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
易错点8：忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错．
9．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为(　 )
A. B.
C．{x|x≤或x≥2}． D．
易错点9：一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错
10．当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是(　 )
A．(－∞，－] B.
C. D．
易错点10：有关一元二次方程根的分布条件列不全致错
11． 若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．
易错点11：解一元二次不等式时忽视两根大小而致错
12．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．









五、刷好题

一．填空题（共9小题）
1．（2023•宝山区二模）不等式＜0的解集为　 　．
2．（2022秋•闵行区期末）已知a是正实数，若a3＞aπ，则a的取值范围是 　 　．
3．（2022秋•徐汇区期末）不等式的解集为 　 　．
4．（2022秋•长宁区校级期末）函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，若点A的坐标满足方程mx+2ny﹣1＝0（mn＞0），则的最小值 　 　．
5．（2023春•奉贤区校级期中）不等式的解集为 　 　．
6．（2022秋•徐汇区期末）已知方程x2+x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则|x1﹣x2|＝　 　．
7．（2022秋•浦东新区期末）已知一元二次方程x2+x﹣3a＝0（a＞0）的两个实根为x1、x2，则x12x2+x22x1＝　 　．
8．（2023春•闵行区校级月考）已知实数a＞0，b＜0，则的取值范围是 　 　．
9．（2023春•宝山区校级期中）函数y＝的最小值是　 　．
二．解答题（共2小题）
10．（2023春•青浦区校级期中）如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
（1）若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？









11．（2022秋•长宁区校级期末）已知函数f（x）＝﹣x2+2ax+a2+1，a∈R
（1）函数在区间[﹣1，1]上为严格减函数，求a的取值范围；
（2）函数在区间[﹣1，1]上的最大值为3，求a的值．







八.刷压轴

一、解答题
1．（2022·上海闵行·统考二模）某学校举办毕业联欢晚会，舞台上方设计了三处光源.如图，是边长为6的等边三角形，边的中点处为固定光源，分别为边上的移动光源，且始终垂直于，三处光源把舞台照射出五彩缤纷的若干区域.

(1)当为边的中点时，求线段的长度；
(2)求的面积的最小值.






2．（2022·上海·统考模拟预测）设A是由个实数组成的2行n列的矩阵，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记为所有这样的矩阵构成的集合．记为A的第一行各数之和，为A的第二行各数之和，为A的第i列各数之和．记为、、、、…、中的最小值．
(1)若矩阵，求；
(2)对所有的矩阵，求的最大值；
(3)给定，对所有的矩阵，求的最大值．





3．（2022·上海·统考模拟预测）已知函数，甲变化：；乙变化：，.
(1)若，，经甲变化得到，求方程的解；
(2)若，经乙变化得到，求不等式的解集；
(3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.








4．（2022·上海·统考模拟预测）在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB，求椭圆的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值.