考点01集合与逻辑（16种题型3个易错考点）（解析版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

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考点01集合与逻辑（16种题型3个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五、刷好题
六.刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．选择题（共3小题）
1．（2022•上海）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1}
【分析】根据集合的运算性质计算即可．
【解答】解：∵A＝[﹣1，2），B＝Z，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．
2．（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（　　）
A．A⊆B B．∁RA⊆∁RB C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R
【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
【解答】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，
解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x∈R}，
∁RA＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁RB＝{x|﹣1＜x＜2}；
则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
3．（2020•上海）命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；
命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；
命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，
则下列说法正确的是（　　）
A．只有q1是p的充分条件
B．只有q2是p的充分条件
C．q1，q2都是p的充分条件
D．q1，q2都不是p的充分条件
【分析】对于命题q1：当a＞0时，结合f（x）单调递减，可推出 f（x+a）＜f（x）＜f（x）+f（a），命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a＝x0＜0时，f（a）＝f（x0）＝0，结合f（x）单调递增，推出f（x+a）＜f（x），进而f（x+a）＜f（x）+f（a），命题q2都是p的充分条件．
【解答】解：对于命题q1：当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时，
当a＞0时，此时x+a＞x，
又因为f（x）单调递减，
所以f（x+a）＜f（x）
又因为f（x）＞0恒成立时，
所以f（x）＜f（x）+f（a），
所以f（x+a）＜f（x）+f（a），
所以命题q1⇒命题p，
对于命题q2：当f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，
当a＝x0＜0时，此时x+a＜x，f（a）＝f（x0）＝0，
又因为f（x）单调递增，
所以f（x+a）＜f（x），
所以f（x+a）＜f（x）+f（a），
所以命题p2⇒命题p，
所以q1，q2都是p的充分条件，
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．
二．填空题（共5小题）
4．（2022•上海）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝　（1，2）　．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），
∴A∩B＝（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2021•上海）已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝　{﹣1，0}　．
【分析】直接根据交集的运算性质，求出A∩B即可．
【解答】解：因为A＝{x|2x≤1}＝{x|x}，B＝{﹣1，0，1}，
所以A∩B＝{﹣1，0}．
故答案为：{﹣1，0}．
【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．
6．（2020•上海）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝　{2，4}　．
【分析】由交集的定义可得出结论．
【解答】解：因为A＝{1，2，4}，B＝{2，4，5}，
则A∩B＝{2，4}．
故答案为：{2，4}．
【点评】本题考查交集的定义，属于基础题．
7．（2020•上海）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则a＝　3　．
【分析】利用集合的包含关系即可求出a的值．
【解答】解：∵3∈A，且A⊆B，∴3∈B，∴a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．
8．（2023•上海）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝　2　．
【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，
则a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题．
二、考点清单

1.集合的有关概念
（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.
（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
（4）五个特定的集合
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号

N*或N＋



2.集合间的基本关系

文字语言
符号语言
集合间的
基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
集合A中任意一个元素均为集合B中的元素
A⊆B
真子集
集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素

空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示



集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
5．常用结论
（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；
②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；
空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）．
（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，
则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个．
（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．
（4）(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) ．
6.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p ⇒ q且q ⇏ p
p是q的必要不充分条件
p ⇏ q且q ⇒ p
p是q的充要条件
p ⇔ q
p是q的既不充分也不必要条件
p ⇏ q且q ⇏ p
7.充分、必要条件与集合的关系
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AB；
（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BA；
（3）p是q的充要条件⇔A＝B．
<知识记忆小口诀>
集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．
<解题方法与技巧>
集合基本运算的方法技巧：
（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；
（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.
集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.
充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
(3)数学定义都是充要条件.
三、题型方法

一．集合的含义（共1小题）
1．（2022•上海自主招生）等势集合指两个集合间一一对应，下列为等势集合的是（　　）
A．[0，1]与{E|0≤E≤1} B．[0，1]与{a，b，c，d}
C．（0，1）与[0，1] D．{1，2，3}与{a，b，c，d}
【分析】根据等势集合的定义，即可解出．
【解答】解：根据等势集合的定义可判断选项A正确，
选项B、C、D错误，
故选：A．
【点评】本题考查了等势集合的定义，学生的逻辑推理能力，属于基础题．
二．元素与集合关系的判断（共3小题）
2．（2022•黄浦区模拟）若集合A＝{n|＝0.，n∈N*}，其中a和b是不同的数字，则A中所有元素的和为（　　）
A．44 B．110 C．132 D．143
【分析】由题意得＝0.＝，从而表示出10a+b＝，再由（10a+b）∈N*，得到n的可能取值，从而得到a，b的值，可确定n的值．
【解答】解：∵0.＝0．ab+0.00ab+•••+•••＝＝，
又ab＝10a+b，
∴＝0.＝，∴10a+b＝，
∴n可以为1，3，9，11，33，99，
∴（a，b）可以为（9，9），（3，3），（1，1），（0，9），（0，3），（0，1），
∵a，b是不同的数字，∴A中所有的元素的和为11+33+99＝143．
故选：D．
【点评】本题考解答的关键是正确理解0.是循环节长度为两位的循环纯小数，从而得到0.＝，进而求出结果，是中档题．
3．（2022•宝山区模拟）已知集合S＝{x|x＝a+bi，a，b∈Z}，i是虚数单位，对任意x1，x2∈S （x1，x2可以相等）均有∈S，则符合条件的元素个数最多的集合S＝　{1，﹣1，i，﹣i}　．
【分析】由题意可以判断0∉S，1∈S，再设x＝a+bi，（a，b∈Z）且a，b不同时为0，有a2+b2≥1，与题目条件进行推理求解即可．
【解答】解：因为，对任意x1，x2∈S，有∈S，所以，0∉S，1∈S，
假设S中有不为1的元素，不妨设其为：x＝a+bi，（a，b∈Z）且a，b不同时为0，有a2+b2≥1，
则＝＝＝﹣i∈S，
其中，∈Z，且，不同时为0，
因此，，∈Z，且+＞0，
又a，b∈Z，
∴0≤＝+＜1，
同理，0≤＜1，
∴＝0或＝0，即a＝0或b＝0，
a＝0时，＝﹣∈S，∴﹣∈Z，b＝±1，此时，x＝i或x＝﹣i；
b＝0时，＝∈Z，∴∈Z，又x不为1，故a＝﹣1，此时，x＝﹣1，
因此，符合条件的元素个数最多的集合S＝{1，﹣1，i，﹣i}，
故答案为：{1，﹣1，i，﹣i}．
【点评】本题考查复数的概念，元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
4．（2022•青浦区二模）已知集合，其中1∉A且s+＜t，函数f（x）＝，且对任意a∈A，都有f（a）∈A，则t的值是 　或3　．
【分析】先判断区间[t，t+1]与x＝1的关系为t＞1，再分析s+＜1时，定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得s与t，确定定义域与值域的关系，能求出t的值．
【解答】解：先判断区间[t，t+1]与x＝1的关系，
∵1∉A，∴t+1＜1或t＞1，
∵当t+1＜1，即t＜0时，由题意当t∈A时，，不成立，故t＞1；
再分析区间[s，s+]与x＝1的关系，
∵1∉A，∴s+＜1或s＞1，
①当s+，即s＜时，∵f（x）＝在区间[s，s+]上为减函数，
∴当x∈[s，s+]，f（x）∈[，]，
∵，t＞1，∴[，]⊆[s，s+]，∴，
∵s＜，∴，∴，∴6s，解得s＝，
∵s，∴s＝，
此时区间[s，s+]在x＝1左侧，[t，t+1]在x＝1右侧，
∴当x∈[t，t+1]时，f（x）＝[]，
∵，∴[]⊆[t，t+1]，
∴，此时，∴t2﹣t﹣1＝0，
解得t＝，∵t＞1，∴t＝，
②当s＞1时，f（x）＝1+在区间x∈[s，s+]∪[t，t+1]上单调递减，
∴f（x）∈[1+，1+]∪[1+，1+]，
∴且，
且，∴，
∴＝，∴t2﹣t﹣6＝0，
∵t＞1，∴t＝3．
综上，t的值为或3．
故答案为：或3．
【点评】本题考查函数的定义域与值域的关系、函数的单调性、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三．集合的表示法（共2小题）
5．（2022秋•徐汇区校级期末）若函数f（x）＝4|x|+（2|x|﹣14）2|x|+x2﹣14|x|+33有零点，则其所有零点的集合为 　{﹣3，﹣1，1，3}　.（用列举法表示）．
【分析】注意到f（x）＝（2|x|+|x|﹣11）（2|x|+|x|﹣3），令f（x）＝0，结合x＞0时，偶函数g（x）＝2|x|+|x|﹣11，h（x）＝2|x|+|x|﹣3均在（0，+∞）上单调递增可得答案．
【解答】解：f（x）＝（2|x|+|x|﹣11）（2|x|+|x|﹣3），令f（x）＝0，
得2|x|+|x|﹣11＝0或2|x|+|x|﹣3＝0，
令g（x）＝2|x|+|x|﹣11，h（x）＝2|x|+|x|﹣3，
注意到g（x），h（x）均为偶函数，g（3）＝h（1）＝0，
又x＞0时，
函数y＝2x与函数y＝x在（0，+∞）上单调递增，
则g（x）＝2|x|+|x|﹣11，h（x）＝2|x|+|x|﹣3在（0，+∞）上单调递增，
故g（x），h（x）在（0，+∞）上有唯一零点，得2|x|+|x|﹣11＝0⇒x＝±3，2|x|+|x|﹣3＝0⇒x＝±1．则f（x）所有零点的集合为{﹣3，﹣1，1，3}．
故答案为：{﹣3，﹣1，1，3}．
【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题．
6．（2022秋•浦东新区期末）已知集合A＝{（x，y）|y＝4x﹣1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+2}，用列举法表示集合A∩B．
【分析】求出直线y＝4x﹣1与抛物线y＝x2+2的交点坐标，即可得到集合A∩B．
【解答】解：由题意可知，集合A∩B的元素为表示直线y＝4x﹣1与抛物线y＝x2+2的交点坐标，
联立方程，解得或，
∴A∩B＝{（1，3），（3，11）}．
【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题．
四．集合的相等（共1小题）
7．（2020•崇明区二模）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f（x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（　　）
A．[0，4） B．[﹣1，4） C．[﹣3，5] D．[0，7）
【分析】由{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}可得f（0）＝0，从而求得m＝0；从而化简f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，从而讨论求得
【解答】解：设x1∈{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}，
∴f（x1）＝f（f（x1））＝0，
∴f（0）＝0，
即f（0）＝m＝0，
故m＝0；
故f（x）＝x2+nx，
f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，
当n＝0时，成立；
当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n＝0的根，
故Δ＝n2﹣4n＜0，
解得：0＜n＜4；
综上所述，0≤n+m＜4；
故选：A．
【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题
五．集合的包含关系判断及应用（共2小题）
8．（2023•浦东新区校级三模）设集合M＝{0，1，2}，N＝{1，a}，若M⊇N，则实数a＝　0或2　．
【分析】根据包含关系和集合元素互异性可得．
【解答】解：∵M＝{0，1，2}，N＝{1，a}，M⊇N，
∴a＝0或2，
故答案为：0或2．
【点评】本题考查集合包含关系，属于基础题．
9．（2022•金山区二模）已知集合A＝{﹣1，3，0}，B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的值为 　0　．
【分析】根据集合间的关系确定m值，求解即可．
【解答】解：集合A＝{﹣1，3，0}，B＝{3，m2}，且B⊆A，
∴m2＝0，m2＝﹣1（舍），
解得：m＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关的应用，集合关系中的参数问题，是基础题．
六．子集与真子集（共2小题）
10．（2023•松江区模拟）非空集合A中所有元素乘积记为T（A）．已知集合M＝{1，4，5，8}，从集合M的所有非空子集中任选一个子集A，则T（A）为偶数的概率是 　　（结果用最简分数表示）．
【分析】先求出集合M的所有非空子集的个数，然后求出T（A）为奇数的集合A的个数，从而求出T（A）为偶数的集合A的个数，由古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：因为集合M＝{1，4，5，8}，
所以集合M的所有非空子集共有24﹣1＝15种，
若T（A）为奇数，则A中元素全部为奇数，
又{1，5}的非空子集个数，共有22﹣1＝3种，
所以T（A）为偶数的共有15﹣3＝12种，
故T（A）为偶数的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率与集合的综合应用，涉及了集合子集个数的求解，古典概型概率公式的运用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
11．（2022•闵行区校级二模）设ai（i＝1，2，3）均为实数，若集合{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和为12，则a1+a2+a3＝　4　．
【分析】列举出集合{a1，a2，a3}的所有非空真子集，根据题意列方程，可求得a1+a2+a3的值．
【解答】解：集合{a1，a2，a3}的所有非空真子集为：{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，
由题意，可得3（a1+a2+a3）＝12，解得a1+a2+a3＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查子集与真子集的定义，属于基础题．
七．集合中元素个数的最值（共2小题）
12．（2022•上海自主招生）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．9
【分析】集合A的元素代表圆周及其内部的点，分坐标轴和象限进行讨论，即可得到结论
【解答】解：根据题意：A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x，y∈Z}＝{（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0）（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）}共9个元素，是平面直角坐标系中9个点．
故选：D．
【点评】本题考查集合的表示以及点与圆的位置关系，解题时需注意集合A的元素为两坐标均为整数的点，本题属于基础题．
13．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．
（1）若集合A＝{1，3}，直接写出集合S，T（无需写计算过程）；
（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，求证：x1+x4＝x2+x3；
（3）若集合A⊆{x|0≤x≤2021，x∈N}，S∩T＝∅，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值．
【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可；
（2）根据集合相等的概念，能证明x1+x4＝x2+x3；
（3）通过假设集合A＝{m，m+1，m+2，•••，2021}（m≤2021，m∈N），求出对应的集合S，T，通过S∩T＝∅，建立不等式关系，求出对应的值即可．
【解答】解：（1）∵集合A＝{1，3}，S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}，
∴集合S＝{2，4，6}，集合T＝{0，2}．
（2）证明：∵集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，
∴T中也只包含4个元素，即T＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1}，
剩下的元素满足x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3，
∴x1+x4＝x2+x3；
（3）集合A⊆{x|0≤x≤2021，x∈N}，S∩T＝∅，记|A|为集合A中元素的个数，
设集合A＝{a1，a2，•••，ak}满足题意，其中a1＜a2＜•••＜ak，
则2a1＜a1+a2＜a1+a3＜•••＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜•••＜ak﹣1+ak＜2ak，
∴|S|≥2k﹣1，a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜•••＜ak﹣a1，∴|T|≥k，
∵S∩T＝∅，由容斥原理，|S∪T|＝|S|+|T|≥3k﹣1，
S∪T最小的元素为0，最大的元素为2ak，
∴|S∪T|≤2ak+1，
∴3k﹣1≤2ak+1≤4043（k∈N*），解得k≤1348，
实际上当A＝{674，675，•••，2021}时满足题意．
证明如下：
设A＝{m，m+1，m+2，m+3，•••，2021}，（m∈N），
则S＝{2m，2m+1，2m+2，•••，4042}，T＝{0，1，2，•••，2021﹣m}，
依题意，有2021﹣m＜2m，即m＞673，∴m的最小值为674，
∴当m＝674时，集合A中元素最多，即A＝{674，675，•••，2021}时满足题意，
综上，|A|的最大值为1348．
【点评】本题考查集合的运算、容斥原理、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
八．空集的定义、性质及运算（共2小题）
14．（2022秋•宝山区校级月考）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：
①； ②{x|x∈R，x≠0}；③； ④整数集Z
以0为聚点的集合有（　　）
A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④
【分析】由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．
【解答】解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，
除了第一项0之外，其余的都至少比0大，
∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合的聚点
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x＝（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|＝＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点
③集合中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|＝＜a
∴0是集合的聚点
④对于某个a＜1，比如a＝0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|＝0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键．
15．（2022秋•徐汇区校级月考）不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是　（﹣1，+∞）　．
【分析】从反面分析，根据题意，x+a＞0的解集为x＞﹣a，若这个不等式组的解集是空集，则有ax＞﹣1，即ax+1＞0的解集为{x|x≤﹣a}的子集，分析可得a的范围，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，x+a＞0的解集为x＞﹣a，
若这个不等式组的解集是空集，
则ax＞﹣1，即ax+1＞0的解集为{x|x≤﹣a}的子集，
分析可得，当a＜﹣1，成立；
故当a＞﹣1时，该不等式组的解集不是空集，
故答案为（﹣1，+∞）．
【点评】本题考查空集的性质的运用，注意结合题意，分析空集的几何或代数意义，有时需从反面下手．
九．集合关系中的参数取值问题（共2小题）
16．（2020•浦东新区校级模拟）已知集合A＝{﹣1，0，a}，B＝{x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是　（0，1）　．
【分析】解指数不等式求得集合B，再根据A∩B≠∅，求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，a}，B＝{x|1＜2x＜2}＝{x|0＜x＜1}，若A∩B≠∅，则有 0＜a＜1，
故实数a的取值范围是（0，1），
故答案为 （0，1）．
【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，集合间的包含关系，指数不等式的解法，属于基础题．
17．（2021秋•宝山区校级期中）已知集合，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a≤0}．
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【分析】＝[1，2），B＝{x|x2﹣（a+1）x+a≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）≤0}，结合间关系可解决此题．
【解答】解：＝[1，2），B＝{x|x2﹣（a+1）x+a≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）≤0}，
（1）∵A⊆B，∴a∈[2，+∞）；
（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴a∈[1，2）．
【点评】本题考查一元二次不等式解法及集合间关系应用，考查数学运算能力，属于基础题．
一十．并集及其运算（共2小题）
18．（2023•徐汇区二模）已知集合A＝{x|x＜3}，，则A∪B＝　{x|x＜3}　．
【分析】首先求集合B，再求A∪B．
【解答】解：因为，A＝{x|x＜3}，
所以A∪B＝{x|x＜3}．
故答案为：{x|x＜3}．
【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．
19．（2023•静安区二模）若集合A＝{2，log2a}，B＝{a，b}，且A∩B＝{0}，则A∪B＝　{1，0，2}　．
【分析】根据A∩B＝{0}，求出a，b的值，从而确定A∪B．
【解答】解：A∩B＝{0}，0∈A，log2a＝0，∴a＝1，
则B＝{1，b}，又0∈B，∴b＝0，
∴B＝{1，0}，A＝{2，0}，∴A∪B＝{1，0，2}．
故答案为：{1，0，2}．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
一十一．交集及其运算（共2小题）
20．（2023•松江区二模）若方程f（x）•g（x）＝0的解集为M，则以下结论一定正确的是（　　）
（1）M＝{x|f（x）＝0}∪{x|g（x）＝0}
（2）M＝{x|f（x）＝0}∩{x|g（x）＝0}
（3）M⊆{x|f（x）＝0}∪{x|g（x）＝0}
（4）M⊇{x|f（x）＝0}∩{x|g（x）＝0}
A．（1）（4） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）（4）
【分析】由f（x）•g（x）＝0可得出f（x）＝0或g（x）＝0，从而可得出（3）（4）正确．
【解答】解：根据题意，M⊆{x|f（x）＝0或g（x）＝0}＝{x|f（x）＝0}∪{x|g（x）＝0}，M⊇{x|f（x）＝0}∩{x|g（x）＝0}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的描述法的定义，并集和交集的定义，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
21．（2023•浦东新区三模）已知集合A＝（1，3），集合B＝（2，4），则A∩B＝　（2，3）　．
【分析】由已知结合集合的交集运算即可求解．
【解答】解：因为集合A＝（1，3），集合B＝（2，4），
则A∩B＝（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
一十二．补集及其运算（共3小题）
22．（2023•杨浦区校级三模）已知全集U＝R，集合A＝（﹣∞，1）∪[2，+∞），则＝　[1，2）　．
【分析】根据集合补集运算定义运算即可．
【解答】解：由题意结合补集的定义可得＝[1，2）．
故答案为：[1，2）．
【点评】本题考查集合补集的运算、考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．
23．（2023•普陀区二模）设全集U＝R，若集合A＝{x||x|≥1，x∈R}，则＝　{x|﹣1＜x＜1，x∈R}　．
【分析】求解绝对值的不等式化简A，再由补集运算的定义得答案．
【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{x||x|≥1，x∈R}＝{x|x≤﹣1或x≥1，x∈R}，
∴＝{x|﹣1＜x＜1，x∈R}．
故答案为：{x|﹣1＜x＜1，x∈R}．
【点评】本题考查补集及其运算，是基础题．
24．（2023•闵行区二模）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，0，2}，则＝　{﹣1，1}　．
【分析】由已知直接利用补集运算的定义得答案．
【解答】解：U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，0，2}，
由补集的定义得：＝{﹣1，1}．
故答案为：{﹣1，1}．
【点评】本题考查补集及其运算，是基础题．
一十三．子集与交集、并集运算的转换（共4小题）
25．（2022秋•宝山区校级期中）用C（A）表非空集合A中元素的个数，定义，若A＝{1}，B＝{x|x（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．9
【分析】根据新定义可确定几何B中元素个数，从而解得a的取值即可．
【解答】解：由于，A＝{1}，且A*B＝1，则C（B）＝0或2，
显然0∈B，则B≠∅，故C（B）＝2，
由于0不是x2+ax+2＝0的根，则x2+ax+2＝0有两个相等的实数根，
故Δ＝a2﹣8＝0，从而，故C（S）＝2．
故选：C．
【点评】本题考查集合中元素个数，属于基础题．
26．（2022秋•浦东新区校级月考）设集合M、P≠∅，定义集合M﹣P＝{x|x∈M，x∉P}，则集合M﹣（M﹣P）是（　　）
A．P B．M C．M∪P D．M∩P
【分析】由条件中差集的定义便可表示M﹣（M﹣P）＝{x|x∈M，且x∉（M﹣P）}，然后用venn图表示集合M，P，由图形即可得出答案．
【解答】解：根据差集的定义，M﹣（M﹣P）＝{x|x∈M，且x∉（M﹣P）}，用venn图表示集合M，P的关系如图：

阴影部分表示M﹣P，
∴M﹣（M﹣P）＝M∩P．
故选：D．
【点评】本题主要考查对差集定义的理解，描述法表示集合，借助venn图解决集合问题的方法．
27．（2022秋•金山区校级月考）数学中经常把集合{x|x∈A，x∉B}称为集合A对B的差集，记作A﹣B，M＝（﹣∞，3]∪（5，2022），N是自然数集，则N﹣M＝　{x|x＝4或x≥2022，且x∈N}　．
【分析】根据差集定义，计算即可．
【解答】解：M＝（﹣∞，3]∪（5，2022），N是自然数集，则N﹣M＝{x|x＝4或x≥2022，且x∈N}．
故答案为：{x|x＝4或x≥2022，且x∈N}．
【点评】本题是新定义题型，考查差集定义，属于基础题．
28．（2022秋•青浦区校级期中）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，设A＝{x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0}，若C（A）＝5，则实数a的取值范围　（﹣∞，﹣9）∪（﹣1，0）　．
【分析】由题意可得：|x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0有5个不同实数解．必然a＞0，方程化为：|x（x+1）（x+3）|+a|（x﹣1）（x+1）|＝0，可得x＝﹣1是此方程的一个实数根，x≠﹣1时，化为：|x（x+3）|＝﹣a|（x﹣1）|，分别作出函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象．P（1，0），Q．由于函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象必须有四个交点，当y＝﹣a|（x﹣1）|的图象与y＝x（x+3）（﹣3≤x≤0）相切时，解得a，进而得出．
【解答】解：A＝{x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0}，C（A）＝5，
则|x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0有5个不同实数解．
必然a＜0，
方程化为：|x（x+1）（x+3）|+a|（x﹣1）（x+1）|＝0，
x＝﹣1是此方程的一个实数根，
x≠﹣1时，化为：|x（x+3）|＝﹣a|（x﹣1）|，
分别作出函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象．P（1，0），Q．
由于函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象必须有四个交点，
当y＝﹣a|（x﹣1）|的图象与y＝﹣x（x+3）（﹣3≤x≤0）相切时，可得：y＝﹣a|（x﹣1）|化为：y＝a（x﹣1）．
联立化为：x2+（3+a）x﹣a＝0，由Δ＝（3+a）2+4a＝0，解得a＝﹣1，或a＝﹣9．
∴﹣1＜a＜0或a＜﹣9．
∴实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（﹣∞，﹣9）．
故答案为：（﹣∞，﹣9）∪（﹣1，0）．
【点评】本题考查了方程的解法、集合运算性质、分类讨论方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
一十四．Venn图表达集合的关系及运算（共2小题）
29．（2022秋•浦东新区校级期中）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，4，5，7}，B＝{1，4，7，8}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{3，6} B．{4，7}
C．{1，2，4，5，7，8} D．{1，2，3，5，6，8}
【分析】阴影部分对应的集合为A∪B的补集，根据集合的基本关系即可得到结论．
【解答】解：阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），
∵A＝{2，4，5，7}，B＝{1，4，7，8}，
∴A∪B＝{1，2，4，5，7，8}，
则∁U（A∪B）＝{3，6}，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
30．（2022秋•杨浦区校级期中）已知全集为U，则图中阴影部分表示的集合是 　（∁UA）∩B　．（用含A，B或∁UA，∁UB的集合语言表示）．

【分析】根据Venn图可知阴影部分表示的元素在集合B中不在集合A中，再利用集合的运算表示即可．
【解答】解：由Venn图可知，阴影部分表示的元素在集合B中不在集合A中，
∴图中阴影部分表示的集合是（∁UA）∩B．
故答案为：（∁UA）∩B．
【点评】本题考查集合的Venn图示法，集合的基本运算，属基础题．
一十五．充分条件与必要条件（共5小题）
31．（2023•宝山区校级模拟）“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
【分析】把a＝1代入可得直线的方程，易判平行；而由平行的条件可得a的值，进而由充要条件的判断可得答案．
【解答】解：当a＝1时，直线l1：x+2y﹣1＝0与直线l2：x+2y+4＝0，显然平行；
而由两直线平行可得：a（a+1）﹣2＝0，解得a＝1，或a＝﹣2，经检验均符合题意，
故不能推出“a＝1”，由充要条件的定义可得：
“a＝1”是“直线l1：ax+2x﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题为充要条件的判断，涉及直线的平行的判定，属基础题．
32．（2023•浦东新区三模）设等比数列{an}的前n项和为Sn，设甲：a1＜a2＜a3，乙：{Sn}是严格增数列，则甲是乙的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】举例说明充分性和必要性都不成立即可．
【解答】解：等比数列{an}中，前n项和为Sn，当a1＜0时，若q＝，则a1＜a2＜a3＜0，数列{Sn}严格单调递减，充分性不成立；
若数列{Sn}严格递增，则数列{an}是正项等比数列，只需满足an＞0，q＞0即可，若0＜q＜1，则a1＞a2＞a3，必要性不成立；
所以甲是乙的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的定义与前n项和性质应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
33．（2023•普陀区二模）设a、b为实数，则“a＞b＞0”的一个充分非必要条件是（　　）
A． B．a2＞b2 C． D．a﹣b＞b﹣a
【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与条件“a＞b＞0”推出关系即可．
【解答】解：由＞，得，可得a＞b≥1，可推出a＞b＞0，反向推不出，满足；
由a2＞b2，则|a|＞|b|，推不出a＞b＞0，反向可推出，不满足；
由＞，则a＞b＞0或b＞0＞a或0＞a＞b，推不出a＞b＞0，反向可推出，不满足；
由a﹣b＞b﹣a，则a＞b，推不出a＞b＞0，反向可推出，不满足．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件，不等式的性质，属于基础题．
34．（2023•松江区二模）已知直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：x+ay﹣2＝0，则“l1∥l2”是“a＝1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，以及充分、必要条件的定义，即可求解．
【解答】解：直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：x+ay﹣2＝0，
则a2＝1，解得a＝±1，
经经验，当a＝±1时，均符合题意，
故直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：x+ay﹣2＝0，则“l1∥l2”是“a＝1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，以及充分、必要条件的定义，属于基础题．
35．（2023•宝山区校级模拟）若α：x∈（1，2），β：x∈[0，2]，则α是β的 　充分非必要　条件．
【分析】利用充要条件的定义判定即可．
【解答】解：∵（1，2）⫋[0，2]，
∴α是β的充分非必要条件．
故答案为：充分非必要．
【点评】本题考查了充要条件的判定，属于基础题．
一十六．命题的真假判断与应用（共2小题）
36．（2023•徐汇区二模）已知“若x＞a，则＞0“为真命题，则实数a的取值范围是 　[1，+∞）　．
【分析】由命题“若x＞a，则＞0”是真命题，转换成转换成x＞a，能推出（x﹣1）x＞0成立，即x＞a，能推出x＞1成立，可得实数a的取值范围．
【解答】解：命题“若x＞a，则＞0”是真命题，
则x＞a，能推出＞0”成立，
转换成x＞a，能推出（x﹣1）x＞0成立，
即x＞a，能推出{x|x＜0或x＞1}成立，
即x＞a，能推出x＞1成立，
由不等式端点和简易逻辑关系可得，a≥1，
则实数a的取值范围是：a≥1，
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查命题不等式的计算、简易逻辑，属于基础题．
37．（2023•宝山区校级模拟）已知命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题．给出下列四个命题：
①M的元素不都是P的元素；
②M的元素都不是P的元素；
③M中有P的元素；
④存在x∈M，使得x∉P．
其中真命题的序号是　①④　．（将正确命题的序号都填上）
【分析】直接利用命题的否定和元素和集合之间的关系的应用判定①②③④的结论．
【解答】解：命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题．
则：命题：“非空集合M的元素不都是集合P的元素”是真命题．
故①M的元素不都是P的元素，①正确
②M的元素都不是P的元素，②错误
③M中有P的元素，③错误
④存在x∈M，使得x∉P，④正确
故答案为：①④
【点评】本题考查的知识要点：命题的否定，集合间的关系，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．
四、易错分析

易错点1：忽视集合元素的互异性致错
例1：已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.
【错解】由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，
解得a＝1或a＝－5.
当a＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；
当a＝－5时，集合B＝{0,7,3}．
综上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．
【错因】由题设条件知集合B中有四个元素，集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解．
【正解】应将当a＝－5时的集合B＝{0,7,3}舍去，故集合B＝{0,7,3,1}．
【答案】{0,7,3,1}
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
易错点2：忽视空集致错
例2.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
【错解】由B⊆A，得解得2≤m≤3.
【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．
原因是考虑不全面，由集合B的含义及B⊆A，忽略了集合为∅的可能而漏掉解．
【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.
①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，
此时有B⊆A；
②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B⊆A，得解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.
【答案】{m|m≤3}.
易错点3：判断充要条件时出错
例4：命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的________条件．
【错解】若向量a与向量b的夹角θ为锐角，
则cos θ＝>0，即a·b>0，反之也成立，所以p是q的充要条件．
【错因】判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误．
【正解】若向量a与向量b夹角θ为锐角，则cos θ＝>0⇒a·b>0；而a·b>0时，θ＝0°也成立，但此时a与b夹角不为锐角．故p是q的充分不必要条件．
【答案】充分不必要
五、刷好题

一．选择题（共5小题）
1．（2023•杨浦区二模）已知a、b∈R，则“a＞b”是“a3＞b3”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】利用立方差公式，再结合充要条件的定义判定即可．
【解答】解：∵a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝（a﹣b）[+b2]，
∴a＞b⇔a3＞b3，
则a＞b是a3＞b3的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了立方差公式的运用、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．（2022•虹口区二模）已知l1，l2是平面α内的两条直线，l是空间的一条直线，则“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分条件也不必要条件
【分析】利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出结论．
【解答】解：l⊥α，l1，l2⊂α⇒“l⊥l1且l⊥l2”，反之不一定成立，例如l1∥l2时．
“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（2022•嘉定区二模）已知复数z＝（2sinα﹣1）+i（i为虚数单位），则“z为纯虚数”是“”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】由复数z＝（2sinα﹣1）+i（i为虚数单位）是纯虚数求得α值，再结合充分必要条件的判定得答案．
【解答】解：当α＝时，z＝（2sinα﹣1）+i＝（2×﹣1）+i＝i为纯虚数，
反之，若z为纯虚数，则2sinα﹣1，解得α＝+2kπ或α＝+2kπ，k∈Z．
∴“z为纯虚数”是“α＝”的必要非充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查充分必要条件的判断，是基础题．
4．（2022•黄浦区模拟）已知向量，，“”是“＝0”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】＝0⇔||2＝||2，以此可解决此题．
【解答】解：＝0⇔||2＝||2＝0⇔||＝||＝0，所以“”是“＝0”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量数量积，考查数学运算能力，属于基础题．
5．（2022•浦东新区校级模拟）设x＞0，则“a＝1”是“”恒成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【分析】x＞0，若a＝1，利用基本不等式可得：x+≥2恒成立．反之，令y＝x+，y′＝1﹣＝，a＞0时，利用导数研究函数的单调性可得x＝时，f（x）取得最小值，令f（）≥2，解得a范围即可判断出结论．
【解答】解：∵x＞0，
若a＝1，则x+≥2＝2成立．
反之，令y＝x+，y′＝1﹣＝，
a＞0时，x＝时，f（x）取得最小值，f（）＝2，令2≥2，解得a≥1，
因此a≥1时，“”恒成立．
综上可得：“a＝1”是“”恒成立的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式、利用导数研究函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题（共8小题）
6．（2023•奉贤区二模）已知集合A＝{1，2}，B＝{a，3}，若A∩B＝{2}，则a＝　2　．
【分析】根据题意可得出2∈B，然后即可求出a的值．
【解答】解：∵A∩B＝{2}，
∴2∈B，
∴a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．
7．（2023•金山区二模）已知集合A＝{﹣1，0}，集合B＝{2，a}，若A∩B＝{0}，则a＝　0　．
【分析】根据A∩B＝{0}可得出0∈B，从而可得出a的值．
【解答】解：∵A∩B＝{0}，
∴0∈B，
∴a＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了交集的定义，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．
8．（2023•黄浦区二模）设集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝　{3，5}　．
【分析】直接利用交集运算的定义得答案．
【解答】解：∵A＝{1，3，5，7，9}，B＝{x|2≤x≤5}，
∴A∩B＝{1，3，5，7，9}∩{x|2≤x≤5}＝{3，5}．
故答案为：{3，5}．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
9．（2023•虹口区二模）已知集合A＝{x|﹣2＜x≤3，x∈R}，B＝{0，2，4，6}，则A∩B＝　{0，2}　．
【分析】由已知直接利用交集运算的定义得答案．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x≤3，x∈R}，B＝{0，2，4，6}，
∴A∩B＝{x|﹣2＜x≤3，x∈R}∩{0，2，4，6}＝{0，2}．
故答案为：{0，2}．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
10．（2023•浦东新区二模）已知集合A＝{x|x2+x﹣6＜0，x∈R}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝　{0，1}　．
【分析】求解一元二次不等式化简A，再由交集运算的定义得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x2+x﹣6＜0，x∈R}＝（﹣3，2），B＝{0，1，2}，
∴A∩B＝（﹣3，2）∩{0，1，2}＝{0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
11．（2023•宝山区二模）已知集合A＝（1，3），B＝[2，+∞），则A∩B＝　[2，3）　．
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝（1，3），B＝[2，+∞），
∴A∩B＝[2，3）．
故答案为：[2，3）．
【点评】本题考查了集合的区间的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
12．（2023•松江区二模）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|＞1}，则A∩B＝　{1}　．
【分析】可解分式不等式求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵，A＝{1，2，3，4}，
∴A∩B＝{1}．
故答案为：{1}．
【点评】本题考查了分式不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
13．（2023•嘉定区模拟）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{4，5}，则＝　{1，2，3}　．
【分析】由补集的定义求解即可．
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{4，5}，
∴＝{1，2，3}，
故答案为：{1，2，3}．
【点评】本题考查补集及其运算，属于基础题．

六.刷压轴

一、单选题
1．（2020·上海杨浦·统考二模）设是2020项的实数数列，中的每一项都不为零，中任意连续11项的乘积是定值.
①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；
②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1.
命题的真假情况为（    ）
A．①和②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．②是真命题，①是假命题 D．①和②都是假命题
【答案】D
【分析】先确定数列是周期数列，然后根据一个周期中出现的1的个数，判断数列中可能出现的1的个数（与365,550接近的可能个数），得出结论．
【详解】设；则，也就是，即是以11为周期的数列.而.
若一个周期内有1个1，则1的个数有183或184个.
若一个周期内有2个1，则1的个数有366或367或368个.
若一个周期内有3个1，则1的个数有549或550或551或552个.
故选：D．
【点睛】本题考查数列的周期性，解题方法是确定出数列的周期，然后分类讨论1出现的次数的可能（与365,550接近的可能个数）．
2．（2020·上海·统考模拟预测）对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是(    )
A．若则 B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据,逐项分析,即可求得答案.
【详解】
对于A,,
分类讨论：
①当,则此时
②当且,即,此时，
③当且,
即时,,此时
综合所述,有,故A正确;
对于B , ,故(2)正确；
对于C ,


,故C正确;
对于D ,,故D错误.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
3．（2021·上海闵行·统考一模）设函数，对于实数a､b，给出以下命题：命题；命题；命题.下列选项中正确的是（    ）
A．中仅是的充分条件
B．中仅是的充分条件
C．都不是的充分条件
D．都是的充分条件
【答案】D
【分析】令，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0，根据这些信息即可判断.
【详解】令，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0.
，
即g(a)＋h(a)≥－g(b)－h(b)，
即g(a)＋h(a)≥g(－b)＋[－h(b)]，
①当a＋b≥0时，a≥－b，故g(a)≥g(－b)，又h(x)＞0，故h(a)＞－h(b)，∴此时，即是q的充分条件；
②当时，a≥0，，，
(i)当a≥1时，a≥，则－b≤a，故g(a)≥g(－b)；
此时，h(a)＞0，－h(b)＜0，∴h(a)＞－h(b)，∴成立；
(ii)当a＝0时，b＝0，f(0)＋f(0)＝6≥0成立，即成立；
(iii)∵g(x)在R上单调递增，h(x)在(－∞，0)单调递增，
∴在(－∞，0)单调递增，
∵f(－1)＝0，∴f(x)＞0在(－1，0)上恒成立；
又∵x≥0时，g(x)≥0，h(x)＞0，∴f(x)＞0在[0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)＞0在(－1，＋∞)恒成立，
故当0＜a＜1时，a＜＜1，，
∴f(a)＞0，f(b)＞0，
∴成立.
综上所述，时，均有成立，∴是q的充分条件.
故选：D.
【点睛】本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.
4．（2022·上海黄浦·统考模拟预测）若集合，其中和是不同的数字，则A中所有元素的和为（    ）.
A．44 B．110 C．132 D．143
【答案】D
【分析】由题意得，从而表示出，再由，得的可能取值，从而得和的值，可确定的值.
【详解】因为，
所以，所以，
所以可以为1，3，9，11，33，99，
所以可以为
因为和是不同的数字，所以可以为，
此时，所以A中所有元素的和为，
故选：D
【点睛】求解本题的关键是理解是循环节长度为两位的循环纯小数，从而得，进而代入集合A化简计算.
5．（2022·上海普陀·统考一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
6．（2023·上海浦东新·统考三模）已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”． 有以下两个命题：
①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点；
②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增．
那么（    ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
【答案】D
【分析】举出反例，得到①②错误.
【详解】对于①，设，满足是在区间上的最大值，但不是在区间上的一个M点，①错误；
对于②，设，对于区间，令为有理数，满足对任意（）都成立，故为区间上的一个M点，
但在上不是严格增函数.
故选：D
【点睛】举出反例是一种特殊的证明方法，它在证明“某命题”不成立时，可达到事半功倍的效果.
7．（2021·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（      ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．
【详解】解：令，，
由，可得，所以，即，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
所以，
设，则数列是单调递增的等差数列，
若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；
若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.
（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，
取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；
（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，
此时数列为，，，，，，
由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，
由，则，，，，全为正，而，
这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，
所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列单调时，数列一定有无穷多项等价转化为论证数列为有穷数列时，数列不可能单调.

二、解答题
8．（2022·上海·统考模拟预测）已知函数，其中．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）记点，求证：存在实数，使得点在函数图像上的充要条件是；
（3）对于给定的非负实数，求最小的实数，使得关于的不等式对一切恒成立.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）先求定义域，当时，判断奇偶性，当时，利用奇偶性的定义判断与的关系即可判断；（2）先证充分性，取，代入，即可得出结论；再证必要性，直接把代入放缩即可得出结论；（3）由于可知：具有如下两个性质：1）对任意，均有；2）对任意负实数，不等式的解集为；①当时，利用性质1），2）得出的最小值为0；②当时，利用性质1），2）得出的最小值为，即可得出结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，为偶函数；
当时，由，，
得，且，
为非奇非偶函数．
（2）证明：充分性：已知，
取
则
，
所以点在函数图像上．
必要性：已知存在实数，使得点在函数图像上，
则.
（3）由于可知：
具有如下两个性质：
1）对任意，均有；
2）对任意负实数，不等式的解集为，
①当时，的最小值为0，理由如下：
若，取，，
由性质2）可知，，即不满足，
由性质1）可知，满足．
②当时，的最小值为，理由如下：
若，取，

由性质2）可知，，
即不满足，
若，
当时，由性质1）可知：，
当时，
，由性质2），
所以对任意恒成立，
即满足.
综上：．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判断，利用函数的单调性求最值问题以及求函数的充要条件问题.主要考查了学生的理解分析问题和解决问题的能力.属于较难题.
9．（2020·上海宝山·上海交大附中校考模拟预测）已知f(x)是定义在[0，+∞）上的函数，满足：①对任意x∈[0，+∞），均有f(x)＞0；②对任意0≤x1＜x2，均有f（x1）≠f（x2）．数列{an}满足：a1＝0，an+1＝an+，n∈N*．
（1）若函数f(x)＝（x≥0），求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)在[0，+∞）上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N*，使得n＞n0时，均有an＞M；
（3）求证：“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”是“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”的充分非必要条件．
【答案】（1）a＞1；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】（1）由f(x)满足①求出，并且此时f(x)恒满足②，由此可得解；
（2）利用函数的单调性以及递推关系放缩可得，再累加可得，由得，取，可证结论成立；
（3）先证非必要性：令特殊函数，满足，但函数不为增函数；
再证充分性：假设对一切n∈N*，均有f（an+1）≥2f（an）＞0，然后推出矛盾，说明假设不成立，从而说明充分性成立.
【详解】（1）由f(x)＝＞0，即对一切x∈[0，+∞）恒成立，所以a＞1，
当a＞1时，f(x)在x∈[0，+∞）上单调递增，所以对任意0≤x1＜x2，均有f（x1）≠f（x2），
综上，实数a的取值范围为：a＞1；
（2）证明：由函数f(x)在[0，+∞）上单调递减，即对一切x∈[0，+∞），均有f(x)≤f（0），
所以对一切n∈N*，均有f（an）≤f（0），可得：，
所以，
所以恒成立，
对任意正实数M，由得，
取，
当n＞n0时，.
（3）证明：非必要性：取，在[0，+∞）不为增函数，
但a1＝0，，，，，
所以“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”推不出“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”.
所以“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”是“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”的非必要条件．
充分性：假设对一切n∈N*，均有f（an+1）≥2f（an）＞0，
所以：，
由递推式,
所以，，，，
累加得，
因为函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以，
又，
所以，所以，
所以当时，上述不等式不成立，
所以假设成立，即存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）．
所以充分性得证.
所以“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”是“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”的充分非必要条件．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则.
10．（2022·上海徐汇·统考三模）对于数列，记．
(1)若数列通项公式为：，求；
(2)若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；
(3)已知，若，．求的最大值．
【答案】(1)4
(2)证明见解析
(3)2021.

【分析】（1）直接求出，即可求；
（2）用定义法，分充分性和必要性分别进行证明；
（3）先计算出
，利用放缩法和裂项求和法求出的最大值.
【详解】（1）由通项公式得：.
所以
（2）充分性:若数列的前n项单调不增,即.
此时有：.
必要性：用反证法. 若数列不满足,则存在k(),使得,那么



由于,所以.与已知矛盾
所以,假设不成立,必要性得证.
综上所述：的充分必要条件是
（3）由，令，则.
所以


所以



.
（因为）
当且仅当时, 取得最大值2021.
【点睛】(1)数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
(2)数列求和常用方法：
①公式法；②倒序相加法；③分组求和法；④裂项相消法；⑤错位相减法．
11．（2022·上海金山·统考二模）对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质.
(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质，理由见解析
(2)的值分别为4，5或5，9
(3)存在最大值，最大值为4

【分析】（1）根据集合A具有性质的定义进行判断，可得答案；
（2）写出中的所有元素，分类讨论，结合等差数列的性质，列出相应的方程组，解得答案；
（3）一数列新定义得在集合中，，得到，由此分类讨论，可确定n的取值，可得答案.
【详解】（1），故集合具有性质.
故集合不具有性质
（2）因集合具有性质，
故.
（i）若，
则 ,解得 ,
经检验，符合题意，故的值分别为4，5.
（ii）若，
则 ,解得,
经检验，符合题意，故的值分别为5，9.
（3）不妨设，
则在集合中，.
又中的所有元素能构成等差数列，设公差为，
则，
即，故.
当时，是集合A中互不相同的4项，
从而，与集合A具有性质矛盾.
当时，，即成等差数列，且公差也为，
故中的元素从小到大的前三项为，
且第四项只能是或.
（i）若第四项为，则，从而，
于是，故，与集合A具有性质矛盾.
（ii）若第四项为，则，故.
另一方面，，即.
于是，
故，与集合具有性质矛盾.
因此，.
由（2）知，时，存在集合A具有性质，
故集合中的元素个数存在最大值，最大值为4.
【点睛】本题考查了数列的新定义问题，综合考查了学生的阅读理解接受并理解新信息的能力，解答的关键是理解新定义的含义并能依此解决问题，其中还要注意分类讨论与整合的思想方法.
12．（2022·上海·模拟预测）数列对任意，且，均存在正整数，满足.
(1)求可能值；
(2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由：
(3)若成立，求数列的通项公式.
【答案】(1)7或9；
(2)答案见解析；
(3).

【分析】（1）利用递推公式可得，进而可求出；
（2）由题意可得，则，从而命题为真命题，给出反例即可得出命题为假命题；
（3）由题意可得，，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式.
【详解】（1）因为，所以或，所以可能值为7或9；
（2）因为成等差数列，所以，,
所以，
逆命题：若，则为等差数列是假命题，举例：故命题为假命题，
（3）因为，所以
，所以，
因此，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立：
当时，明显成立；
假设当时命题成立，即，
则，即，即命题得证；
回到原题，分类讨论求数列的通项公式：
1.若，则矛盾；
2.若，则，所以，所以，
此时，
所以，
3.若，则，所以，所以，
所以（由（2）知对任意成立），所以，与事实上矛盾，
综上.
【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.
13．（2022·上海松江·统考一模）已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为.
(1)求函数的解析式；
(2)已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式；
(3)设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）由可求得、的值，进而可得出函数的解析式；
（2）对分奇数和偶数两种情况讨论，求出的表达式，根据可得出的表达式；
（3）分为奇数、偶数两种情况讨论，求出、关于的表达式，求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得出集合“阈度”的取值范围.
【详解】（1）解：因为，则，
若，即，解得，则，
因为，可得，因此，.
（2）解：当为奇数时，设，则，
此时，此时；
当为偶数时，设，则，
此时，，此时.
综上所述，.
（3）解：，
因为，，其中，
所以，数列的奇数项构成以为首项，公比为的等比数列，
数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列，
①当为偶数时，，
则，
此时，随着的增大而增大，则；
②当为奇数时，，
，
此时，随着的增大而增大，则.
因此，当且，的值在区间内，则，
故集合“阈度”的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查集合“阈度”的取值范围，解题的关键在于对分奇数、偶数两种情况讨论，求出关于的表达式，结合数列的单调性求出的取值范围，进而根据题中定义求出集合“阈度”.
14．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）.
(1)求的值；
(2)求当（），试用、的代数式表示()；
(3)对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数.
【答案】(1)；
(2)，()；
(3)1024.

【分析】（1）由得，然后根据求和公式结合条件即得；
（2）分别求出为奇数时和为偶数时的表达式，最后用n、k的代数式表示即可；
（3）由题可得为整数，然后结合条件及等差数列求和公式即得.
【详解】（1）依题意：（），
由得，
所以


；
（2）① 当为奇数时，为偶数，




；
②当为偶数时，为奇数，


；
综上：，()；
（3）由（2）知，当时，
，，
因为是的整数倍，
所以为整数，
所以为奇数，由得，
所以满足条件的的个数为，
所以集合中元素的个数为.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
15．（2021·上海黄浦·统考三模）集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”.
（1）判断集合、是否为“好集合”；
（2）若集合是“好集合”，求的值；
（3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）为“好集合”，不是“好集合”，理由见解析；（2）；（3）最大值为，理由见解析.
【分析】（1）写出集合、所对应的集合、，结合“好集合”的定义判断可得出结论；
（2）将集合所对应的集合写出来，将集合中的元素由小到大依次排列，根据等差数列的定义可求得实数的值；
（3）利用反证法证明出当时，通过“好集合”的定义推出矛盾，结合（2）中的结论可得结果.
【详解】（1）集合对应的集合，故集合为“好集合”.
集合对应的集合，集合的元素个数为，且，
故集合不是“好集合”；
（2）集合对应的集合，且，
集合中的元素由小到大排列的顺序为、、、、、或、、、、、，
若数列、、、、、为等差数列，则这个等差数列的公差为，
所以，，解得；
若数列、、、、、为等差数列，则这个等差数列的公差为，
则，不合乎题意.
综上所述，；
（3）“好集合”中元素个数存在最大值，理由如下：
由（2）可知，即为“好集合”，以下证明都不是好集合.
不妨设，记，
集合中所有元素从小到大排列为，构成的等差数列的公差为，
显然，，.
第一步，证明“好集合”的元素个数.
（反证法）假设，以下分和两种情况进行讨论.
①若，可得，所以，，，
所以，，，，
在此后的两项和中，最小，
所以，，可得，
余下的项中，和较小，因为，
所以，，，则，
而，这与“集合中的元素个数为”矛盾；
②若，则，，余下的项中，和较小.
（i）若，则，所以，，
这与“集合中的元素个数为”矛盾；
（ii）若，则，，
在此后的两项之和中，最小，
所以，，所以，，
同理可得，所以，，这与“集合中的元素个数为”矛盾.
综上，假设不成立，所以，.
第二步，证明也不合乎要求.
当时，显然，，，，，
所以，，则，，
故，，，
因为，所以，、、、成等差数列，故，
这与“集合中的元素个数为”矛盾.
综上所述，“好集合”中的元素个数存在最大值.
【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；
（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.
16．（2022·上海·上海中学校考模拟预测）已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在，使得.
【答案】是关联的，关联子集有；是独立的；
证明见解析；
证明见解析
【分析】（1）根据题中所给的新定义，即可求解；
（2）根据题意，，，，， ，进而利用反证法求解；
（3）不妨设集合，，且.
记，进而利用反证法求解；
【详解】解:是“关联的”关联子集有;
是“独立的”
记集合的含有四个元素的集合分别为:
，，，，
.
所以，至多有个“关联子集”.
若为“关联子集”，则不是 “关联子集”，否则
同理可得若为“关联子集”，则不是 “关联子集”.
所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾.
所以一定不是“关联子集”
同理一定不是“关联子集”.
所以集合的“关联子集”至多为.
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；
所以都是“关联子集”
所以有，即
，即.
，即，
所以.
所以是等差数列.
不妨设集合，，且.
记.
因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素.
假设结论错误，即不存在，使得
所以任取，，因为，所以
所以
所以任取，
任取，
所以，且中含有个元素.
(i)若，则必有成立.
因为，所以一定有成立.所以.
所以
，，
所以，所以，有矛盾，
(ii)若，
而中含有个元素，所以
所以，
因为，所以.
因为，所以
所以
所以，矛盾.
所以命题成立.
【点睛】本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题.
17．（2020·上海松江·统考一模）对于由m个正整数构成的有限集，记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A､B，使得成立，则称集合M为“满集”，
（1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；
（2）若由小到大能排列成公差为d()的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是或2；
（3）若由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集”
【答案】（1）集合是“满集”，集合不是“满集”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）分别求出和的子集，根据满集的定义说明即可；
（2），对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，当时，可得或，可得，又时，不存在M的子集A，B，使得，可得；
（3）可以数学归纳法证明.
【详解】（1）集合是“满集”，集合不是“满集”.
对于集合，，且共有4个子集：，，，
当k分别取1，2，3时，由；；；
故是“满集”；
对于集合，，且共有4个子集：，，，
当时，不存在的两个子集A，B，使得，
故不是“满集”；
（2）∵，，…，由小到大能排列成公差为d()的等差数列，
∴，记
∵M为“满集”，
∴对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，
当时，由，及知或，
若，则，
∴，此时，
若，则，在M的真子集中，最大，必有，此时，.
综上可得：∴
若，当时，∵，
∴不存在M的子集A，B，使得，∴，
综合得：集合M为“满集”的必要条件是，d=1或2；
（3）可得，
下面用数学归纳法证明：
任意，任意，存在的一个子集，使得，
当时显然成立，
设时结论也成立，
那么当时，任意的，
如果，根据归纳假设，存在的一个子集使得，此时也是的一个子集，结论成立，
如果，那么，
又，
所以，
所以，
根据归纳假设，存在的子集使得，
再令，结论成立，
所以任意，存在M的一个子集A，使得，
再令，则，
所以集合M是“满集”.
【点睛】本题考查集合的新定义问题和数列的应用，解题的关键是正确理解满集的定义.