考点01集合与逻辑（16种题型3个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

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考点01集合与逻辑（16种题型4个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五、刷好题
六.刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．选择题（共3小题）
1．（2022•上海）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1}
2．（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（　　）
A．A⊆B B．∁RA⊆∁RB C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R
3．（2020•上海）命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；
命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；
命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，
则下列说法正确的是（　　）
A．只有q1是p的充分条件
B．只有q2是p的充分条件
C．q1，q2都是p的充分条件
D．q1，q2都不是p的充分条件
二．填空题（共5小题）
4．（2022•上海）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝　 　．
5．（2021•上海）已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝　 　．
6．（2020•上海）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝　 　．
7．（2020•上海）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则a＝　 　．
8．（2023•上海）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝　 　．
二、考点清单

1.集合的有关概念
（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.
（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
（4）五个特定的集合
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号

N*或N＋



2.集合间的基本关系

文字语言
符号语言
集合间的
基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
集合A中任意一个元素均为集合B中的元素
A⊆B
真子集
集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素

空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示



集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
5．常用结论
（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；
②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；
空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）．
（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，
则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个．
（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．
（4）(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) ．
6.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p ⇒ q且q ⇏ p
p是q的必要不充分条件
p ⇏ q且q ⇒ p
p是q的充要条件
p ⇔ q
p是q的既不充分也不必要条件
p ⇏ q且q ⇏ p
7.充分、必要条件与集合的关系
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AB；
（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BA；
（3）p是q的充要条件⇔A＝B．
<知识记忆小口诀>
集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．
<解题方法与技巧>
集合基本运算的方法技巧：
（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；
（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.
集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.
充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
(3)数学定义都是充要条件.
三、题型方法

一．集合的含义（共1小题）
1．（2022•上海自主招生）等势集合指两个集合间一一对应，下列为等势集合的是（　　）
A．[0，1]与{E|0≤E≤1} B．[0，1]与{a，b，c，d}
C．（0，1）与[0，1] D．{1，2，3}与{a，b，c，d}
二．元素与集合关系的判断（共3小题）
2．（2022•黄浦区模拟）若集合A＝{n|＝0.，n∈N*}，其中a和b是不同的数字，则A中所有元素的和为（　　）
A．44 B．110 C．132 D．143
3．（2022•宝山区模拟）已知集合S＝{x|x＝a+bi，a，b∈Z}，i是虚数单位，对任意x1，x2∈S （x1，x2可以相等）均有∈S，则符合条件的元素个数最多的集合S＝　 　．
4．（2022•青浦区二模）已知集合，其中1∉A且s+＜t，函数f（x）＝，且对任意a∈A，都有f（a）∈A，则t的值是 　 　．
三．集合的表示法（共2小题）
5．（2022秋•徐汇区校级期末）若函数f（x）＝4|x|+（2|x|﹣14）2|x|+x2﹣14|x|+33有零点，则其所有零点的集合为 　 　.（用列举法表示）．
6．（2022秋•浦东新区期末）已知集合A＝{（x，y）|y＝4x﹣1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+2}，用列举法表示集合A∩B．


四．集合的相等（共1小题）
7．（2020•崇明区二模）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f（x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（　　）
A．[0，4） B．[﹣1，4） C．[﹣3，5] D．[0，7）
五．集合的包含关系判断及应用（共2小题）
8．（2023•浦东新区校级三模）设集合M＝{0，1，2}，N＝{1，a}，若M⊇N，则实数a＝　 　．
9．（2022•金山区二模）已知集合A＝{﹣1，3，0}，B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的值为 　 　．
六．子集与真子集（共2小题）
10．（2023•松江区模拟）非空集合A中所有元素乘积记为T（A）．已知集合M＝{1，4，5，8}，从集合M的所有非空子集中任选一个子集A，则T（A）为偶数的概率是 　 　（结果用最简分数表示）．
11．（2022•闵行区校级二模）设ai（i＝1，2，3）均为实数，若集合{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和为12，则a1+a2+a3＝　 　．
七．集合中元素个数的最值（共2小题）
12．（2022•上海自主招生）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．9
13．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．
（1）若集合A＝{1，3}，直接写出集合S，T（无需写计算过程）；
（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，求证：x1+x4＝x2+x3；
（3）若集合A⊆{x|0≤x≤2021，x∈N}，S∩T＝∅，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值．





八．空集的定义、性质及运算（共2小题）
14．（2022秋•宝山区校级月考）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：
①； ②{x|x∈R，x≠0}；③； ④整数集Z
以0为聚点的集合有（　　）
A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④
15．（2022秋•徐汇区校级月考）不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是　 　．
九．集合关系中的参数取值问题（共2小题）
16．（2020•浦东新区校级模拟）已知集合A＝{﹣1，0，a}，B＝{x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是　 　．
17．（2021秋•宝山区校级期中）已知集合，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a≤0}．
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．





一十．并集及其运算（共2小题）
18．（2023•徐汇区二模）已知集合A＝{x|x＜3}，，则A∪B＝　 　．
19．（2023•静安区二模）若集合A＝{2，log2a}，B＝{a，b}，且A∩B＝{0}，则A∪B＝　 　．
一十一．交集及其运算（共2小题）
20．（2023•松江区二模）若方程f（x）•g（x）＝0的解集为M，则以下结论一定正确的是（　　）
（1）M＝{x|f（x）＝0}∪{x|g（x）＝0}
（2）M＝{x|f（x）＝0}∩{x|g（x）＝0}
（3）M⊆{x|f（x）＝0}∪{x|g（x）＝0}
（4）M⊇{x|f（x）＝0}∩{x|g（x）＝0}
A．（1）（4） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）（4）
21．（2023•浦东新区三模）已知集合A＝（1，3），集合B＝（2，4），则A∩B＝　 　．
一十二．补集及其运算（共3小题）
22．（2023•杨浦区校级三模）已知全集U＝R，集合A＝（﹣∞，1）∪[2，+∞），则＝　 　．
23．（2023•普陀区二模）设全集U＝R，若集合A＝{x||x|≥1，x∈R}，则＝　 　．
24．（2023•闵行区二模）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，0，2}，则＝　 　．
一十三．子集与交集、并集运算的转换（共4小题）
25．（2022秋•宝山区校级期中）用C（A）表非空集合A中元素的个数，定义，若A＝{1}，B＝{x|x（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．9
26．（2022秋•浦东新区校级月考）设集合M、P≠∅，定义集合M﹣P＝{x|x∈M，x∉P}，则集合M﹣（M﹣P）是（　　）
A．P B．M C．M∪P D．M∩P
27．（2022秋•金山区校级月考）数学中经常把集合{x|x∈A，x∉B}称为集合A对B的差集，记作A﹣B，M＝（﹣∞，3]∪（5，2022），N是自然数集，则N﹣M＝　 　．
28．（2022秋•青浦区校级期中）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，设A＝{x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0}，若C（A）＝5，则实数a的取值范围　 　．
一十四．Venn图表达集合的关系及运算（共2小题）
29．（2022秋•浦东新区校级期中）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，4，5，7}，B＝{1，4，7，8}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{3，6} B．{4，7}
C．{1，2，4，5，7，8} D．{1，2，3，5，6，8}
30．（2022秋•杨浦区校级期中）已知全集为U，则图中阴影部分表示的集合是 　 　．（用含A，B或∁UA，∁UB的集合语言表示）．


一十五．充分条件与必要条件（共5小题）
31．（2023•宝山区校级模拟）“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
32．（2023•浦东新区三模）设等比数列{an}的前n项和为Sn，设甲：a1＜a2＜a3，乙：{Sn}是严格增数列，则甲是乙的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
33．（2023•普陀区二模）设a、b为实数，则“a＞b＞0”的一个充分非必要条件是（　　）
A． B．a2＞b2 C． D．a﹣b＞b﹣a
34．（2023•松江区二模）已知直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：x+ay﹣2＝0，则“l1∥l2”是“a＝1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
35．（2023•宝山区校级模拟）若α：x∈（1，2），β：x∈[0，2]，则α是β的 　 　条件．
一十六．命题的真假判断与应用（共2小题）
36．（2023•徐汇区二模）已知“若x＞a，则＞0“为真命题，则实数a的取值范围是 　 　．
37．（2023•宝山区校级模拟）已知命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题．给出下列四个命题：
①M的元素不都是P的元素；
②M的元素都不是P的元素；
③M中有P的元素；
④存在x∈M，使得x∉P．
其中真命题的序号是　 　．（将正确命题的序号都填上）
四、易错分析

易错点1：忽视集合元素的互异性致错
例1：已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.

易错点2：忽视空集致错
例2.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．



易错点3：判断充要条件时出错
例4：命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的________条件．
五、刷好题

一．选择题（共5小题）
1．（2023•杨浦区二模）已知a、b∈R，则“a＞b”是“a3＞b3”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
2．（2022•虹口区二模）已知l1，l2是平面α内的两条直线，l是空间的一条直线，则“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分条件也不必要条件
3．（2022•嘉定区二模）已知复数z＝（2sinα﹣1）+i（i为虚数单位），则“z为纯虚数”是“”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
4．（2022•黄浦区模拟）已知向量，，“”是“＝0”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5．（2022•浦东新区校级模拟）设x＞0，则“a＝1”是“”恒成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
二．填空题（共8小题）
6．（2023•奉贤区二模）已知集合A＝{1，2}，B＝{a，3}，若A∩B＝{2}，则a＝　 　．
7．（2023•金山区二模）已知集合A＝{﹣1，0}，集合B＝{2，a}，若A∩B＝{0}，则a＝　 　．
8．（2023•黄浦区二模）设集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝　 　．
9．（2023•虹口区二模）已知集合A＝{x|﹣2＜x≤3，x∈R}，B＝{0，2，4，6}，则A∩B＝　 　．
10．（2023•浦东新区二模）已知集合A＝{x|x2+x﹣6＜0，x∈R}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝　 　．
11．（2023•宝山区二模）已知集合A＝（1，3），B＝[2，+∞），则A∩B＝　 　．
12．（2023•松江区二模）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|＞1}，则A∩B＝　 　．
13．（2023•嘉定区模拟）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{4，5}，则＝　 　．
六.刷压轴

一、单选题
1．（2020·上海杨浦·统考二模）设是2020项的实数数列，中的每一项都不为零，中任意连续11项的乘积是定值.
①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；
②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1.
命题的真假情况为（    ）
A．①和②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．②是真命题，①是假命题 D．①和②都是假命题
2．（2020·上海·统考模拟预测）对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是(    )
A．若则 B．
C． D．
3．（2021·上海闵行·统考一模）设函数，对于实数a､b，给出以下命题：命题；命题；命题.下列选项中正确的是（    ）
A．中仅是的充分条件
B．中仅是的充分条件
C．都不是的充分条件
D．都是的充分条件
4．（2022·上海黄浦·统考模拟预测）若集合，其中和是不同的数字，则A中所有元素的和为（    ）.
A．44 B．110 C．132 D．143
5．（2022·上海普陀·统考一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·上海浦东新·统考三模）已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”． 有以下两个命题：
①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点；
②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增．
那么（    ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题

7．（2021·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（      ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、解答题
8．（2022·上海·统考模拟预测）已知函数，其中．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）记点，求证：存在实数，使得点在函数图像上的充要条件是；
（3）对于给定的非负实数，求最小的实数，使得关于的不等式对一切恒成立.



9．（2020·上海宝山·上海交大附中校考模拟预测）已知f(x)是定义在[0，+∞）上的函数，满足：①对任意x∈[0，+∞），均有f(x)＞0；②对任意0≤x1＜x2，均有f（x1）≠f（x2）．数列{an}满足：a1＝0，an+1＝an+，n∈N*．
（1）若函数f(x)＝（x≥0），求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)在[0，+∞）上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N*，使得n＞n0时，均有an＞M；
（3）求证：“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”是“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”的充分非必要条件．





10．（2022·上海徐汇·统考三模）对于数列，记．
(1)若数列通项公式为：，求；
(2)若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；
(3)已知，若，．求的最大值．





11．（2022·上海金山·统考二模）对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质.
(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.








12．（2022·上海·模拟预测）数列对任意，且，均存在正整数，满足.
(1)求可能值；
(2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由：
(3)若成立，求数列的通项公式.




13．（2022·上海松江·统考一模）已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为.
(1)求函数的解析式；
(2)已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式；
(3)设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；





14．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）.
(1)求的值；
(2)求当（），试用、的代数式表示()；
(3)对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数.





15．（2021·上海黄浦·统考三模）集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”.
（1）判断集合、是否为“好集合”；
（2）若集合是“好集合”，求的值；
（3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.









16．（2022·上海·上海中学校考模拟预测）已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在，使得.




17．（2020·上海松江·统考一模）对于由m个正整数构成的有限集，记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A､B，使得成立，则称集合M为“满集”，
（1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；
（2）若由小到大能排列成公差为d()的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是或2；
（3）若由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集”