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考点03不等式（9种题型11个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（解析版）
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这是一份考点03不等式（9种题型11个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（解析版），共41页。试卷主要包含了 真题多维细目表，命题规律与备考策略，考点清单，题型方法，易错分析，刷基础等内容，欢迎下载使用。
考点03不等式（9种题型11个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题
考点
考向
2022新高考2，第12题
基本不等式
利用基本不等式求最值
2020新高考1，第11题
不等式的概念和性质
比较大小
二、命题规律与备考策略
本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
（多选）4．（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（ ）
A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
【分析】方法一：原等式可化为，（x﹣）2+＝1，进行三角代换，令，则，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
方法二：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，x2+y2﹣1＝xy，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，
令，则，
∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对，
∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，
故C对，D错，
方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，即，
∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对，
对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy，
∴x2+y2≤2，故C对；
∵﹣xy≤，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+＝，
∴，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力，属于中档题．
（多选）1．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．a2+b2≥ B．2a﹣b＞
C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤
【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．
②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正确．
③，故C错误．
④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，
利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
四、考点清单
一.不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
二．不等关系与不等式
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
三．不等式比较大小
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
四．基本不等式及其应用
1、求最值
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
技巧二：凑系数
技巧三：分离
技巧四：换元
五．不等式的综合
1、不等式的性质
2、利用重要不等式求函数最值：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”．
3、常用不等式
4、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法．
比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论．
常用的放缩技巧有：
5．常系数一元二次不等式的解法：判别式﹣图象法
步骤：（1）化为一般形似：ax2+bx+c≥0，其中a＞0；
（2）求根的情况：ax2+bx+c＝0△＞0（＝0，＜0）；
（3）由图写解集：考虑y＝ax2+bx+c（a＞0）图象得解．
6．简单的一元高次不等式的解法：标根法：
其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根右上方依次通过每一点画曲线（奇穿偶回）；
（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集．
7．分式不等式的解法：
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母．
8、含参不等式的解法：通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
注意：①解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．
②按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集．
含参数的一元二次不等式的解法：三级讨论法．
一般地，设关于x的含参数a的一元二次形式的不等式为：．
（1）第一级讨论：讨论二次项系数f（a）是否为零；
（2）第二级讨论：若f（a）≠0时，先观察其左边能否因式分解，否则讨论△的符号；
（3）第三级讨论：若f（a）≠0时，△＞0时，先观察两根x1，x2大小是否确定，否则讨论两根的大小．
注意：每一级的讨论中，都有三种情况可能出现，即“＞”，“＝”，“＜”，应做到不重不漏．
9．不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题
常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法．
1）恒成立问题
若不等式f（x）＞A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）min＞A，
若不等式f（x）＜B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）max＜B．
六．指、对数不等式的解法
【概述】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
七．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
八．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；
＜0⇔f（x）•g（x）＜0；
≥0⇔；
≤0⇔．
九．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
五、题型方法
一．等式与不等式的性质（共1小题）
1．（2023•丰台区一模）设a，b，c∈R，且a＞b，则（ ）
A．ac＞bc B．＜ C．a2＞b2 D．a﹣c＞b﹣c
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】解：∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，因此D正确．
c≤0时，A不正确；a＞0＞b时，B不正确；取a＝﹣1，b＝﹣2，C不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．不等关系与不等式（共6小题）
2．（2023•重庆一模）设x，y∈R，且0＜x＜y＜1，则（ ）
A．x2＞y2 B．tanx＞tany
C．4x＞2y D．
【分析】对选项进行逐个分析，即可解出．
【解答】解：令x＝，y＝则x2＜y2，tanx＜tany，故选AB错误；
令x＝，y＝，则4x＝2y，故选项C错误；
选项D，x+＞2＝2，y（2﹣y）＝2y﹣y2＜2y＜2，故x+＞y（2﹣y），故选D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
3．（2023•吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞0
【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；
B选项，利用基本不等式求出；
C选项，作差法比较出大小关系；
D选项，举出反例即可．
【解答】解：A选项，，故a＜0，b＜0，所以ab＞0，两边同乘以ab得，a＜b，A正确；
B选项，因为a＜b＜0，所以，且，
由基本不等式得，故B正确；
C选项，因为a＜b＜0，所以，
故，
所以，C正确；
D选项，不妨取a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，此时ln（b﹣a）＝ln1＝0，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4．（2023•南昌县校级二模）已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（ ）
A．x2﹣1＞0 B． C．sinx﹣x＞0 D．cosx+x＞0
【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．
【解答】解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+＜﹣2，
又∵sinx，cosx∈[﹣1，1]，
∴sinx﹣x＞0，cosx+x＜0．
可得：ABC成立，D不成立．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（2023•武汉模拟）下列不等式正确的是（ ）
A．若ac2≥bc2，则a≥b
B．若，则a＜b
C．若a+b＞0，c﹣b＞0，则a＞c
D．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则
【分析】利用不等式的性质逐个分析各个选项即可．
【解答】解：对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误，
对于B，取a＝1，c＝1，b＝﹣1，则满足，但不满足a＜b，故B错误；
对于C，取a＝﹣1，b＝2，c＝3，则满足a+b＞0，c﹣b＞0，但不满足a＞c，故C错误；
对于D，若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则b﹣a＞0，
所以﹣＝＝＞0，即，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题
6．（2023•宣威市校级模拟）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目条件直接列出不等式组即可．
【解答】解：数学成绩x不低于100分表示为x≥100，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示为200＜y+z＜240，
即．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的实际应用，属于基础题．
7．（2023•天津一模）设，则（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
【分析】根据指数幂和对数的取值，分别判断a，b，c的取值范围，然后比较大小．
【解答】解：，，
∵log34＞1，∴，
即0＜a＜1，b＞1，c＜0，
∴c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数值和指数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的图象和性质判断范围是解决本题的关键，比较基础．
三．不等式比较大小（共1小题）
8．（2023•江宁区校级模拟）三个数a＝，b＝（）3，c＝log3的大小顺序为（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】根据所给的三个式子和1，和0的关系，把a与30进行比较，把b与进行比较，把c同log31进行比较，得到三个数字的大小关系．
【解答】解：∵＞30＝1
＝1
＝0
∴a＞b＞c
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，本题解题的关键是看出需要找两个中间量，把三个数字分成三个层次，本题是考查指数和对数函数的单调性质．
四．基本不等式及其应用（共5小题）
9．（2023•安庆模拟）已知函数f（x）＝log2（ax+b）（a＞0，b＞0）恒过定点（2，0），则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果．
【解答】解：由题意可知2a+b＝1，
则，
当且仅当，时，的最小值为，
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
10．（2023•拉萨一模）已知实数x，y满足2x+y＝2，则9x+2×3y的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据基本不等式求解即可．
【解答】解：∵实数x，y满足2x+y＝2，
∴9x+2×3y＝32x+2×3y≥2＝2＝6，当且仅当时，等号成立．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
11．（2023•滁州二模）若a，b，c均为正数，且满足a2+3ab+3ac+9bc＝18，则2a+3b+3c的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可．
【解答】解：a2+3ab+3ac+9bc＝18⇒a（a+3b）+3c（a+3b）＝18⇒（a+3b）（a+3c）＝18，
因为a，b，c均为正数，
所以，
当且仅当a+3b＝a+3c时取等号，即时取等号，
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
12．（2023•文昌模拟）设x、y＞1，z＞0，若z2＝x•y，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知变形可得出2lgz＝lgx+lgy，可得出，利用基本不等式可求得的最小值．
【解答】解：因为x、y＞1，z＞0，z2＝x⋅y，则lgz2＝lg（xy），即2lgz＝lgx+lgy，
由题意可得lgx＞0，lgy＞0，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
13．（2023•陕西模拟）已知a，b，c为正实数且a+2b+3c＝5．
（1）求a2+b2+c2的最小值；
（2）当时，求a+b+c的值．
【分析】（1）由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件；
（2）由基本不等式可得++≤5，结合条件得++＝5，从而求a、b、c的值，即可得a+b+c的值．
【解答】解：（1）由柯西不等式得，
（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2＝25，
故a2+b2+c2≥；
当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时，等号成立；
故a2+b2+c2的最小值为；
（2）由基本不等式可得，
a+2b≥2，
a+3c≥2，
2b+3c≥，
故2（a+2b+3c）≥2（++），
故++≤5，
当且仅当a＝2b＝3c，且a+2b+3c＝5，
即a＝，b＝，c＝时，等号成立，
又∵，
∴++＝5，
即a＝，b＝，c＝，
a+b+c＝．
【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题．
五．不等式的综合（共1小题）
14．（2022•沙河口区校级一模）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于10%，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示 采光效果变好，＞ ．
【分析】根据题意，设窗户和地板同时增加m平方米，利用作差法分析和的大小，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设窗户和地板同时增加m平方米，有，
则有﹣＝＝，
又由a＜b，则﹣＞0，即＞，
故采光效果变好，不等式表示为＞，
故答案为：采光效果变好，＞．
【点评】本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式大小的比较，属于基础题．
六．指、对数不等式的解法（共4小题）
15．（2023•泸县校级模拟）若loga3＜logb3＜0，则（ ）
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
【分析】化loga3＜logb3＜0为log3b＜log3a＜0，利用函数的单调性求解．
【解答】解：∵loga3＜logb3＜0，
∴＜＜0，
即log3b＜log3a＜0，
故0＜b＜a＜1，
故选：B．
【点评】本题考查了对数的运算及对数函数单调性的利用，属于基础题．
16．（2023•北京模拟）已知函数，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，1）∪（2，+∞）
C．（1，2） D．（1，+∞）
【分析】令f（x）＝0求得x的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求出不等式f（x）＜0的解集．
【解答】解：令＝0，得log2x＝（x﹣1）2，得x＝1或x＝2；
在同一坐标系内画出y＝log2x与y＝（x﹣1）2的图象，如图所示，
则不等式f（x）＜0的解集为（0，1）∪（2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的问题，是基础题．
17．（2023•海淀区校级模拟）不等式2log3x﹣（x﹣1）（x﹣2）＞0的解集为 {x|1＜x＜3} ．
【分析】利用数形结合思想，结合对数函数和二次函数的图象进行求解即可．
【解答】解：由，
在同一直角坐标系内画出函数的图象如下图所示：
因为f（3）＝g（3）＝1，
所以由函数的图象可知：当x∈（1，3）时，有f（x）＞g（x），
故答案为：{x|1＜x＜3}．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于基础题．
18．（2023•银川模拟）关于x的不等式ax≥logax（a＞0且a≠1）恒成立，则实数a的取值范围是 [，+∞） ．
【分析】ax≥logax（a＞0且a≠1）等价于，即，令，对f（x）求导，得出f（x）的单调性，即可得出答案．
【解答】解：因为不等式ax≥logax（a＞0且a≠1）恒成立，可知a＞1，lna＞0，
由ax≥logax（a＞0且a≠1）可得，
则xlna⋅exlna≥xlnx＝elnx⋅lnx，
令h（t）＝tet，h′（t）＝et（t+1），
令h′（t）＞0，解得：t＞﹣1；令h′（t）＜0，解得：t＜﹣1，
所以h（t）在（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减，
当t＜0时，h（t）＝tet＜0，当t＞0时，h（t）＝tet＞0，
因为x＞0，lna＞0，所以xlna＞0，
所以要使xlna⋅exlna≥xlnx＝elnx⋅lnx，故只需xlna≥lnx即可，
故即可，
令，解得：x＝e，
令f′（x）＞0解得：0＜x＜e；令f′（x）＜0解得：x＞e，
所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
所以，所以，即，
所以实数a的取值范围是．
故答案为：[e，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
七．二次函数的性质与图象（共7小题）
19．（2023•和平区校级一模）若函数f（x）＝x2﹣4x+4在区间[a，a+1]上的最小值为4，则a的取值集合为 {﹣1，4} ．
【分析】函数f（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，对称轴为x＝2，再对a分类讨论，即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，对称轴为x＝2，
当a+1≤2，即a≤1时，
f（x）min＝f（a+1）＝4，即（a+1）2﹣4（a+1）+4＝4，解得a＝﹣1或a＝3（舍去），
故a＝﹣1，
当a＜2＜a+1，即1＜a＜2时，
f（x）min＝f（2）＝0，不符合题意，舍去，
当a≥2时，
f（x）min＝f（a）＝4，即a2﹣4a+4＝4，解得a＝4或a＝0（舍去），
故a的取值集合为{﹣1，4}．
【点评】本题主要考查二次函数的性质与图象，属于基础题．
20．（2023•海淀区一模）已知二次函数f（x），对任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），则f（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意可得f（0）＞0，所以CD都不可能，对于B，由图象可知f（﹣）＞0，与x＝﹣时，f（2x）＝f（﹣）＜2f（﹣）＜0相矛盾，所以B不可能．
【解答】解：二次函数f（x），对任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），
令x＝0得，f（0）＜2f（0），即f（0）＞0，故CD都不可能，
对于B，二次函数的对称轴方程为x＝﹣，由图象可知f（﹣）＜0，
设f（x）的图象与x轴的两个交点为x1，x2，且0＜x1＜x2，
则x1+x2＝﹣＞0，
所以0＜，所以f（﹣）＞0，
当x＝﹣时，f（2x）＝f（﹣）＜2f（﹣）＜0，两者相矛盾，故B不可能．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．
21．（2023•宁波一模）若函数f（x）＝x2+mx+n在区间（﹣1，1）上有两个零点，则n2﹣m2+2n+1的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（0，4） D．（1，4）
【分析】由已知结合二次方程实根分布及不等式性质即可求解．
【解答】解：由题意得，
所以n2﹣m2+2n+1＝（n+1）2﹣m2＝（n+1+m）（n+1﹣m）＞0，
设f（x）的两个零点为x1，x2，则f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2），
所以（n+1+m）（n+1﹣m）＝f（1）•f（﹣1）＝（1﹣）（1﹣x22）＜1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次方程实根分布及不等式的性质的应用，属于基础题．
22．（2023•会泽县模拟）已知二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），则ac的值是 4 ；的最大值是 6﹣2 ．
【分析】根据二次函数的性质知a＞0，Δ＝0，然后通过变形利用基本不等式即得．
【解答】解：由题意知：a＞0，f（x）的值域为[0，+∞），
∴Δ＝16﹣4ac＝0，
则ac＝4，c＞0，
所以，
又，当且仅当时取等号，
即．
故答案为：4；．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
23．（2023•宛城区校级模拟）已知二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域是[0，+∞），且f（1）≤2，则的取值范围是（ ）
A．[0，12] B．[1，13] C．[2，12] D．[3，13]
【分析】根据二次函数的性质可得mn＝1，且m＞0，又因为f（1）≤2，所以m+≤4，再结合基本不等式求解即可．
【解答】解：∵二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R）的值域是[0，+∞），
∴Δ＝4﹣4mn＝0，解得mn＝1，且m＞0，
又∵f（1）＝m﹣2+n≤2，n＝，
∴m+≤4，
∴＝＝+＝＝＝，
由m+≤4，m＞0，可得2≤≤14，
∴1≤≤13，
即的取值范围是[1，13]．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
24．（2023•温州模拟）已知f（x）＝x2﹣ax，|f（f（x））|≤2在[1，2]上恒成立，则实数a的最大值为 ．
【分析】代入x＝1，2的值得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：∵|f（f（x））|≤2在[1，2]上恒成立，
∴|f（f（1））|≤2，即|f（1﹣a）|≤2，
故|2a2﹣3a+1|≤2，
解得：≤a≤，
同理，|f（f（2））|≤2，解得：1≤a≤，
故1≤a≤，
当a＝时，设t＝f（x），此时＜1，
∵x∈[1，2]，∴t＝f（x）在[1，2]递增，
故t∈[1﹣a，4﹣2a]，
此时﹣（4﹣2a）＝a﹣4＞0，
故y＝f（t）在[1﹣a，4﹣2a]递减，
故|f（t）|≤2在[1﹣a，4﹣2a]上恒成立，
只需，
故amax＝．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．
25．（2023•和平区校级一模）在①f（4）＝﹣1，f（3）＝2，②当x＝2时，f（x）取得最大值3，③f（x+2）＝f（2﹣x），f（0）＝﹣1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知函数f（x）＝﹣x2﹣2ax+b，且 _______．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域为[3m﹣2，3n﹣2]，求m+n的值．
【分析】（1）分别选①②③，得到关于a，b的方程组，解出即可求出f（x）的解析式；
（2）根据函数的值域以及二次函数的性质求出m+n的值即可．
【解答】解：（1）若选①，
由题意可得
解得a＝﹣2，b＝﹣1，
故f（x）＝﹣x2+4x﹣1；
若选②，
由题意可得
解得a＝﹣2，b＝﹣1，
故f（x）＝﹣x2+4x﹣1；
若选③，
因为f（x+2）＝f（2﹣x），
所以f（x）图象的对称轴方程为x＝2，
则﹣a＝2，即a＝﹣2，因为f（0）＝﹣1，所以b＝﹣1，
故f（x）＝﹣x2+4x﹣1．
（2）因为f（x）＝﹣x2+4x﹣1在R上的值域为（﹣∞，3]，
所以3n﹣2≤3，即，
因为f（x）图象的对称轴方程为x＝2，且，
所以f（x）在[m，n]上单调递增，
则
整理得n2﹣m2+m﹣n＝0，即（n﹣m）（n+m﹣1）＝0，
因为n﹣m≠0，所以n+m﹣1＝0，即n+m＝1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查转化思想，是中档题．
八．一元二次不等式及其应用（共4小题）
26．（2023•青羊区校级模拟）不等式（x﹣1）2＜x+5的解集为（ ）
A．{x|1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{x|﹣4＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}
【分析】把不等式化为x2﹣3x﹣4＜0，求出解集即可．
【解答】解：不等式（x﹣1）2＜x+5可化为x2﹣3x﹣4＜0，
即（x﹣4）（x+1）＜0，
解得﹣1＜x＜4，
所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜4}．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
27．（2023•南昌县校级二模）已知关于x的不等式mx2+nx+6m＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则mx＜n的解集为 {x|x＞﹣5} ．
【分析】由题意可知2，3是方程mx2+nx+6m＝0的两根，然后利用韦达定理得出m，n的关系以及m的符号，由此即可求出所求不等式的解集．
【解答】解：由题意可知2，3是方程mx2+nx+6m＝0的两根，
则由韦达定理可得：，且m＜0，所以n＝﹣5m＞0，
则mx＜n化简为：mx＜﹣5m，解得x＞﹣5，
所以不等式的解集为{x|x＞﹣5}．
故答案为：{x|x＞﹣5}．
【点评】本题考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．
28．（2023•道里区校级一模）已知x+y＝4，且x＞y＞0，则的最小值为 2 ．
【分析】根据已知条件，将原式进行变形，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：∵x+y＝4，且x＞y＞0，
∴＝＝＝，
令g（y）＝﹣y2+2y，
g（y）＝﹣y2+2y＝﹣（y﹣1）2+1，
当y＝1时，g（y）max＝1，
当y＝1，
则x＝4﹣y＝3，满足x＞y＞0，符合题意，
故的最小值为．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，属于基础题．
29．（2023•武侯区校级模拟）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}，则（ ）
A．2∈A∩B B．3∈A∩B C．4∈A∪B D．5∈A∪B
【分析】求解集合B，然后求解交集与并集，即可判断元素与集合的关系，得到正确的选项．
【解答】解：集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}＝{x|x≤3或x≥6}，
A∩B＝{x|2＜x≤3}，
所以3∈A∩B，所以B正确；A不正确；
A∪B＝{x＜4或x≥6}，所以C、D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次不等式的解法，交集以及并集的元素，运算与集合的关系，是基础题．
九．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共1小题）
30．（2022•河北区校级模拟）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【分析】由已知可转化为关于y的二次方程的实根分布，结合二次方程根的存在条件及根的分布求解．
【解答】解：由，得4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0有正根，
易得x≠0，则Δ＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，
解得x≤﹣1或或x≥1，
设方程的根分别为y1，y2，
则y1•y2＝＞0，y1+y2＝＞0，
解得x＜﹣或0＜x＜，
综上，x≤﹣1或0＜x，
所以x的最大值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次方程的实根分布，体现了转化思想和方程思想，属于中档题．
六、易错分析
易错点1：忽视字母的取值范围而致错
1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若，，则； B．若，则；
C．若，则； D．若，，则.
【错解】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，则；故B对；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.所以选BCD。
【错因】选项B是错的，忽略了的情况。
【正解】CD
【解析】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，当时，，故B错误；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.
易错点2：多次运用不等式性质而致错
2、已知，，求的取值范围.
【错解】因为，，两式相加得，所以，
因为，，两式相加得，所以，
所以，即。
【错因】根据已知条件单独求出a,b各自的范围，会导致它们的范围变大。
【正解】
【解析】令.
∴,解得,∴.
∵，∴.,又，
∴.故的取值范围为.
易错点3：忽视不等式中高次项的系数
3．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
由题意知必须满足解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2）．选A
【错因】没有对二次项系数2－m讨论。
【正解】C
【解析】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；
当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2]．
易错点4：应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，
4．当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【错解】当时，由得.
，.，故选B。
【错因】令，即，而，所以不成立，即使用基本不等式求最值时，没有考虑等号问题。
【正解】A
【解析】 当时，由得.令，
则易知在上是减函数，所以时，
则∴.
5.已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或
【错解】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，而由等差数列通项公式可知，
当且仅当时取得等号，所以的最大值为4，选A。
【错因】因为数列为递增数列,所以，由已知得，则，而错解中把当成正值。
【正解】B
【解析】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知，由,结合基本不等式可得，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。
易错点5：忽视一元二次不等式中两根大小而致错
6．已知集合，集合，命题：，
命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【错解】因为，，若是的充分条件，则．
因为
则，，，解得．
实数的取值范围是．
【错因】因为参数a的范围不定，所以a与2a-1的大小关系不定，故需对两根大小分类讨论。
【正解】.
【详解】，，若是的充分条件，则．
因为
当时，，显然成立；
当时，，，，解得；
当时，，，，解得．
实数的取值范围是．
易错点6：忽视分式不等式中的分母不能为零致错
7．不等式≤1的解集是________．
【错解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得(x－1)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|xx≤－1或x≥1}．
【错因】因为x＋1为分母，所以x＋1不等于零。
【正解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得x－1＝0或(x－1)(x＋1)>0，得x＝1或x<－1或x>1，得x<－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x≥1}．
易错点7：忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错
8.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.若该不等式恒成立，必须满足
解得－2＜m＜2.综上知实数m的取值范围是(－2,2)，
选A．
【错因】没有对二次项系数m讨论。
【正解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；
当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2.
综上知实数m的取值范围是(－2,2]．选C
易错点8：忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错．
9．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为( )
A. B.
C．{x|x≤或x≥2}． D．
【错解】由(x－2)(3－2x)≥0解得x≤或x≥2，故不等式的解集为.选C
【错因】“大于号取两边，小于号取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零，
【正解】由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为.选B
易错点9：一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错
10．当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－] B.
C. D．
【错解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，令f(x)＝2－＝2－，则当x＝2时，f(x)min＝－，所以a≤－,选A。
【错因】因为1≤x≤3，即x可以取到端点值，所以2－可以取到－，则a<－，不能取等号。
【正解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，令f(x)＝2－＝2－，则当x＝2时，f(x)min＝－，所以a<－.选B。
易错点10：有关一元二次方程根的分布条件列不全致错
11． 若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．
【错解】设方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根为则，
则，即，即
解得m<－4，故m的取值范围是(－∞，－4)．
【错因】条件不能推出，例如时，满足，但。
【正解】令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，其对称轴方程为x＝，
由题意得，即
解得－5
12．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【错解】原不等式可化为 (x－1)<0(a>0).解得
【错因】没有考虑与1的大小关系，
【正解】由a>0，知原不等式等价于 (x－1)<0.
①当a＝1时，＝1， (x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，得1，得1
七、刷基础
一．选择题（共14小题）
1．（2023•东城区校级模拟）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．|a|＜|b| B．
C． D．lna＞lnb
【分析】根据对数函数的单调性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，即可得出结论．
【解答】解：根据对数函数的单调性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，比较基础．
2．（2023•江宁区校级模拟）三个数a＝，b＝（）3，c＝log3的大小顺序为（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】根据所给的三个式子和1，和0的关系，把a与30进行比较，把b与进行比较，把c同log31进行比较，得到三个数字的大小关系．
【解答】解：∵＞30＝1
＝1
＝0
∴a＞b＞c
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，本题解题的关键是看出需要找两个中间量，把三个数字分成三个层次，本题是考查指数和对数函数的单调性质．
3．（2023•吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞0
【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；
B选项，利用基本不等式求出；
C选项，作差法比较出大小关系；
D选项，举出反例即可．
【解答】解：A选项，，故a＜0，b＜0，所以ab＞0，两边同乘以ab得，a＜b，A正确；
B选项，因为a＜b＜0，所以，且，
由基本不等式得，故B正确；
C选项，因为a＜b＜0，所以，
故，
所以，C正确；
D选项，不妨取a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，此时ln（b﹣a）＝ln1＝0，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4．（2023•河南模拟）已知a＝，b＝，c＝，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【分析】根据题意，设f（x）＝，求出f（x）的导数，分析可得f（x）在（0，）上递减，由此可得f（1）＞f（），变形可得a＞b，利用作差法可得c﹣a＞0，即c＞a，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝，其导数f′（x）＝，
在区间（0，）上，tanx＞x恒成立，则有sinx＞xcosx恒成立，则有f′（x）＜0在（0，）上恒成立，
则函数f（x）在（0，）上递减，则有f（1）＞f（），即＞＝，即a＞b，
c﹣a＝﹣＝，
而sin1＜sin＝，则c﹣a＞＞0，即c＞a，
故c＞a＞b，
故选：B．
【点评】本题考查不等式的大小比较，涉及数字的估算，属于基础题．
5．（2023•朝阳区一模）若a＞0＞b，则（ ）
A．a3＞b3 B．|a|＞|b| C． D．ln（a﹣b）＞0
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD．
【解答】解：∵a＞0＞b，∴a3＞0，b3＜0，即a3＞b3，故A正确；
取a＝1，b＝﹣2，则|a|＞|b|不成立，故B错误；
取a＝1，b＝﹣2，则不成立，故C错误；
取，则ln（a﹣b）＝ln1＝0，故D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
6．（2023•临高县模拟）给定下列四个命题：命题①a＞b，c＞d⇒a﹣c＞b﹣d；命题②：a＞b⇒（）a＜（）b；命题③：⇒；命题④：a＜b＜0⇒＜．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．
【解答】解：对于命题①：∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d，
故a＞b，c＞d⇒a﹣c＞b﹣d错误；
对于命题②：∵y＝在R递减，故a＞b⇒（）a＜（）b正确；
对于命题③：∵0＜a＜1，2＜b＜3，∴2＜a+b＜4，0＜ab＜3，
故⇒正确；
对于命题④：∵a＜b＜0，∴a2＞b2，ab＞0，
∴＞，∴＞，故a＜b＜0⇒＜正确；
其中真命题的个数是3个，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是基础题．
7．（2023•黄浦区模拟）已知x∈R，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】举反例可排除A、B、C，再利用不等式的性质可证明D正确即可．
【解答】解：取x＝0可得＝1＝，故A错误；
取x＝0可得＝1＝，故B错误；
取x＝1可得＝＝，故C错误；
选项D，∵x2+2＞x2+1＞0，∴＞，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题．
8．（2023•河南模拟）已知正实数a，b，点M（1，4）在直线上，则a+b的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【分析】根据点M（1，4）在直线上，代入已知点的坐标，再由a+b＝（a+b）•（+），展开整理后利用基本不等式求最小值．
【解答】解：∵直线l经过点M（1，4），
∴+＝1．
∴a+b＝（a+b）•（+）＝5++，
又a＞0，b＞0，
∴a+b＝5++≥5+2＝9 （当且仅当2a＝b时取“＝”）．
∴a+b的最小值为9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，关键是“1”的代换，是基础题．
9．（2023•河南模拟）已知正实数a，b，满足，则a+b的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】将已知不等式两边同时加上a+b，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b≥+，
∴（a+b）2≥（+）（a+b）＝++≥+2＝，
当且仅当4a2＝9b2，即2a＝3b时取等号，
所以a+b≥，
a+b的最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
10．（2023•北京模拟）已知函数，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，1）∪（2，+∞）
C．（1，2） D．（1，+∞）
【分析】令f（x）＝0求得x的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求出不等式f（x）＜0的解集．
【解答】解：令＝0，得log2x＝（x﹣1）2，得x＝1或x＝2；
在同一坐标系内画出y＝log2x与y＝（x﹣1）2的图象，如图所示，
则不等式f（x）＜0的解集为（0，1）∪（2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的问题，是基础题．
11．（2023•云南模拟）设x1，x2是关于x的方程x2+（a﹣1）x+a+2＝0的根．若﹣1＜x1＜1，1＜x2＜2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】函数图像开口向上，利用根的分布，即可求解实数a的取值范围．
【解答】解：由题意知，函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+a+2开口方向向上，
若﹣1＜x1＜1，1＜x2＜2，则函数须同时满足三个条件：
当x＝﹣1时，x2+（a﹣1）x+a+2＞0，代入解得4＞0，恒成立；
当x＝1时，x2+（a﹣1）x+a+2＜0，代入解得2a+2＜0，a＜﹣1；
当x＝2时，x2+（a﹣1）x+a+2＞0，代入解得，
综上，实数a的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．
12．（2023•海淀区一模）已知二次函数f（x），对任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），则f（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意可得f（0）＞0，所以CD都不可能，对于B，由图象可知f（﹣）＞0，与x＝﹣时，f（2x）＝f（﹣）＜2f（﹣）＜0相矛盾，所以B不可能．
【解答】解：二次函数f（x），对任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），
令x＝0得，f（0）＜2f（0），即f（0）＞0，故CD都不可能，
对于B，二次函数的对称轴方程为x＝﹣，由图象可知f（﹣）＜0，
设f（x）的图象与x轴的两个交点为x1，x2，且0＜x1＜x2，
则x1+x2＝﹣＞0，
所以0＜，所以f（﹣）＞0，
当x＝﹣时，f（2x）＝f（﹣）＜2f（﹣）＜0，两者相矛盾，故B不可能．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．
13．（2023•柳州模拟）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2，
则＝＝（）（a+b）＝（2+）（2+2）＝2，
当且仅当且a+b＝2，即a＝b＝1时取等号．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
14．（2023•顺义区二模）已知函数 f（x）＝log2（x+1）﹣x，则不等式f（x）＞0的解集是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，+∞）
C．（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【分析】由题意可得x+1＞2x，在同一坐标系中作出y＝x+1与y＝2x的图象，结合图象即可得解．
【解答】解：由x+1＞0，可得x＞﹣1，
不等式f（x）＞0，即log2（x+1）﹣x＞0，
log2（x+1）＞x＝log22x，
所以x+1＞2x，
在同一坐标系中作出y＝x+1与y＝2x的图象，如图所示：
由此可得x+1＞2x的解集为（0，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数的性质、指数函数的性质及转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
（多选）15．（2023•潍坊二模）已知实数a＞b＞0，则（ ）
A． B．
C．ab＞ba D．
【分析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，﹣＝＜0，则有＜，A正确；
对于B，a+﹣b﹣＝（a﹣b）﹣（﹣）＝（a﹣b）+（）＝（a﹣b）（1+），
又由a＞b＞0，则a+﹣b﹣＝（a﹣b）（1+）＞0，必有a+＞b+，B正确；
对于C，当a＝4，b＝2时，有ab＝ba，C错误；
对于D，由于a＞b＞0，则＞，两边同时取对数可得：lg＞lg＝，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查不等式的证明，涉及不等式的性质以及应用，属于基础题．
三．填空题（共1小题）
16．（2023•青浦区二模）已知函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式（ax+b）（bx+c）（cx+a）＜0的解集是 ．
【分析】根据题意，由二次函数的性质可得a＞0且方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和2，由此分析可得b＝﹣3a，c＝2a，则不等式等价于（x﹣3）（3x﹣2）（2x+1）＞0，解可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数y＝ax2+bx+c的图像，有a＞0，
且方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和2，则有，则有b＝﹣3a，c＝2a，
则（ax+b）（bx+c）（cx+a）＜0⇔（ax﹣3a）（﹣3a+2a）（2a+a）＜0⇔（x﹣3）（3x﹣2）（2x+1）＞0，
解可得：﹣＜x＜或x＞3，即不等式的解集为．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式的解法，考查数形结合思想及运算求解能力，属于基础题．
八.刷易错
一．选择题（共3小题）
1．（2023•西固区校级模拟）若x，y是正数，则+的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【分析】连续用基本不等式求最小值，由题设知+≥2（x+）×（y+）整理得知+≥2（xy++1），其中等号成立的条件是x＝y，又xy+≥2＝1等号成立的条件是xy＝与x＝y联立得两次运用基本不等式等号成立的条件是x＝y＝，计算出最值是4
【解答】解：∵x，y是正数，
∴+≥2（xy++1），
等号成立的条件是x+＝y+，
解得x＝y，①
又xy+≥2＝1
等号成立的条件是xy＝②
由①②联立解得x＝y＝，
即当x＝y＝时+的最小值是4
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式，解题过程中两次运用基本不等式，注意验证两次运用基本不等式时等号成立的条件是否相同，若相同时，代数式才能取到计算出的最小值，否则最小值取不到．本题是一道易错题．
2．（2022•河西区模拟）已知a∈R，则“a（1+a）＞0”是“0＜a＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求出不等式a（1+a）＞0的解集，再根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：解不等式a（1+a）＞0，得a＜﹣1或a＞0，
所以“a（1+a）＞0”是“0＜a＜1”必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
3．（2022•岳阳二模）已知关于x的不等式ax2+2bx+4＜0的解集为，其中m＜0，则的最小值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．8
【分析】根据不等式ax2+2bx+4＜0的解集求出a的值和b的取值范围，再代入中利用基本不等式求出它的最小值．
【解答】解：关于x的不等式ax2+2bx+4＜0的解集为，其中m＜0，
所以m和是方程ax2+2bx+4＝0的实数根，
由根与系数的关系知，
解得a＝1，b＝﹣（+）＞2，
所以＝+≥2＝2，
当且仅当＝，即b＝4时取“＝”，
所以的最小值为2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系，也考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题．
二．多选题（共1小题）
（多选）4．（2022•丹东模拟）如果关于x的不等式x2﹣2ax+b﹣1＞0的解集为{x|x≠a}，那么下列数值中，b可取到的数为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据题意，利用不等式成立的条件，求出b的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：不等式x2﹣2ax+b﹣1＞0可化为（x﹣a）2＞a2﹣b+1，
因为不等式的解集为{x|x≠a}，
所以a2﹣b+1＝0，得b＝a2+1．
验证a＝0时，b＝1；a＝±1时，b＝2；
所以b可取到的值为1和2．
故选：CD．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
三．填空题（共3小题）
5．（2023•杨浦区二模）由函数的观点，不等式3x+lgx≤3的解集是 （0，1） ．
【分析】不等式化为3x≤3﹣lgx，在同一坐标系内画出y＝3x和y＝3﹣lgx的图象，利用函数的图象求出不等式的解集．
【解答】解：不等式3x+lgx≤3可化为3x≤3﹣lgx，
在同一坐标系内画出y＝3x和y＝3﹣lgx的图象，如图所示：
由3x＝3﹣lgx，得x＝1，
所以由函数的观点知，不等式3x+lgx≤3的解集是（0，1]．
故答案为：（0，1]．
【点评】本题考查了函数的图象与性质应用问题，也考查了不等式解法与应用问题，是基础题．
6．（2023•吉林模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为 9 ．
【分析】由x+y＝得出5x+5y＝1，再由＝+，利用乘“1”法求最小值即可．
【解答】解：因为x+y＝，所以5x+5y＝1，
所以＝（+）[（3x+y）+（2x+4y）]＝1+4++≥5+2＝5+2×2＝9，
当且仅当＝，即y＝2x，即x＝，y＝时取“＝”，
所以最小值为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．
7．（2023•琼中县模拟）已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则x+y的最小值为 2﹣3 ，xy的最大值为 8﹣4 ．
【分析】由xy+2x+y＝4求得y＝（0＜x＜2），代入化简x+y＝x+，转化为x+1+﹣3，利用基本不等式求最值即可；由4﹣xy＝2x+y≥2，转化为不等式，将xy作为一个整体解不等式即可．
【解答】解：∵xy+2x+y＝4，∴y＝（0＜x＜2），
∴x+y＝x+＝x+1+﹣3≥2﹣3，
（当且仅当x+1＝，即x＝﹣1时，等号成立），
故x+y的最小值为2﹣3，
∵4﹣xy＝2x+y≥2，
（当且仅当2x＝y，即x＝﹣1，y＝2﹣2时，等号成立），
∴（4﹣xy）2≥8xy，即（xy）2﹣16xy+16≥0，
解得，xy≤8﹣4或xy≥8+4（舍去），
故xy的最大值为8﹣4，
故答案为：2﹣3，8﹣4．
【点评】本题考查了最值问题及基本不等式，考查了化简运算的能力及转化思想与整体思想的应用，属于中档题．
考点03不等式（9种题型11个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题
考点
考向
2022新高考2，第12题
基本不等式
利用基本不等式求最值
2020新高考1，第11题
不等式的概念和性质
比较大小
二、命题规律与备考策略
本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
（多选）4．（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（ ）
A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
【分析】方法一：原等式可化为，（x﹣）2+＝1，进行三角代换，令，则，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
方法二：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，x2+y2﹣1＝xy，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，
令，则，
∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对，
∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，
故C对，D错，
方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，即，
∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对，
对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy，
∴x2+y2≤2，故C对；
∵﹣xy≤，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+＝，
∴，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力，属于中档题．
（多选）1．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．a2+b2≥ B．2a﹣b＞
C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤
【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．
②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正确．
③，故C错误．
④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，
利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
四、考点清单
一.不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
二．不等关系与不等式
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
三．不等式比较大小
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
四．基本不等式及其应用
1、求最值
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
技巧二：凑系数
技巧三：分离
技巧四：换元
五．不等式的综合
1、不等式的性质
2、利用重要不等式求函数最值：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”．
3、常用不等式
4、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法．
比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论．
常用的放缩技巧有：
5．常系数一元二次不等式的解法：判别式﹣图象法
步骤：（1）化为一般形似：ax2+bx+c≥0，其中a＞0；
（2）求根的情况：ax2+bx+c＝0△＞0（＝0，＜0）；
（3）由图写解集：考虑y＝ax2+bx+c（a＞0）图象得解．
6．简单的一元高次不等式的解法：标根法：
其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根右上方依次通过每一点画曲线（奇穿偶回）；
（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集．
7．分式不等式的解法：
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母．
8、含参不等式的解法：通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
注意：①解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．
②按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集．
含参数的一元二次不等式的解法：三级讨论法．
一般地，设关于x的含参数a的一元二次形式的不等式为：．
（1）第一级讨论：讨论二次项系数f（a）是否为零；
（2）第二级讨论：若f（a）≠0时，先观察其左边能否因式分解，否则讨论△的符号；
（3）第三级讨论：若f（a）≠0时，△＞0时，先观察两根x1，x2大小是否确定，否则讨论两根的大小．
注意：每一级的讨论中，都有三种情况可能出现，即“＞”，“＝”，“＜”，应做到不重不漏．
9．不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题
常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法．
1）恒成立问题
若不等式f（x）＞A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）min＞A，
若不等式f（x）＜B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）max＜B．
六．指、对数不等式的解法
【概述】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
七．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
八．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；
＜0⇔f（x）•g（x）＜0；
≥0⇔；
≤0⇔．
九．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
五、题型方法
一．等式与不等式的性质（共1小题）
1．（2023•丰台区一模）设a，b，c∈R，且a＞b，则（ ）
A．ac＞bc B．＜ C．a2＞b2 D．a﹣c＞b﹣c
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】解：∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，因此D正确．
c≤0时，A不正确；a＞0＞b时，B不正确；取a＝﹣1，b＝﹣2，C不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．不等关系与不等式（共6小题）
2．（2023•重庆一模）设x，y∈R，且0＜x＜y＜1，则（ ）
A．x2＞y2 B．tanx＞tany
C．4x＞2y D．
【分析】对选项进行逐个分析，即可解出．
【解答】解：令x＝，y＝则x2＜y2，tanx＜tany，故选AB错误；
令x＝，y＝，则4x＝2y，故选项C错误；
选项D，x+＞2＝2，y（2﹣y）＝2y﹣y2＜2y＜2，故x+＞y（2﹣y），故选D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
3．（2023•吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞0
【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；
B选项，利用基本不等式求出；
C选项，作差法比较出大小关系；
D选项，举出反例即可．
【解答】解：A选项，，故a＜0，b＜0，所以ab＞0，两边同乘以ab得，a＜b，A正确；
B选项，因为a＜b＜0，所以，且，
由基本不等式得，故B正确；
C选项，因为a＜b＜0，所以，
故，
所以，C正确；
D选项，不妨取a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，此时ln（b﹣a）＝ln1＝0，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4．（2023•南昌县校级二模）已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（ ）
A．x2﹣1＞0 B． C．sinx﹣x＞0 D．cosx+x＞0
【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．
【解答】解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+＜﹣2，
又∵sinx，cosx∈[﹣1，1]，
∴sinx﹣x＞0，cosx+x＜0．
可得：ABC成立，D不成立．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（2023•武汉模拟）下列不等式正确的是（ ）
A．若ac2≥bc2，则a≥b
B．若，则a＜b
C．若a+b＞0，c﹣b＞0，则a＞c
D．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则
【分析】利用不等式的性质逐个分析各个选项即可．
【解答】解：对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误，
对于B，取a＝1，c＝1，b＝﹣1，则满足，但不满足a＜b，故B错误；
对于C，取a＝﹣1，b＝2，c＝3，则满足a+b＞0，c﹣b＞0，但不满足a＞c，故C错误；
对于D，若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则b﹣a＞0，
所以﹣＝＝＞0，即，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题
6．（2023•宣威市校级模拟）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目条件直接列出不等式组即可．
【解答】解：数学成绩x不低于100分表示为x≥100，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示为200＜y+z＜240，
即．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的实际应用，属于基础题．
7．（2023•天津一模）设，则（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
【分析】根据指数幂和对数的取值，分别判断a，b，c的取值范围，然后比较大小．
【解答】解：，，
∵log34＞1，∴，
即0＜a＜1，b＞1，c＜0，
∴c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数值和指数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的图象和性质判断范围是解决本题的关键，比较基础．
三．不等式比较大小（共1小题）
8．（2023•江宁区校级模拟）三个数a＝，b＝（）3，c＝log3的大小顺序为（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】根据所给的三个式子和1，和0的关系，把a与30进行比较，把b与进行比较，把c同log31进行比较，得到三个数字的大小关系．
【解答】解：∵＞30＝1
＝1
＝0
∴a＞b＞c
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，本题解题的关键是看出需要找两个中间量，把三个数字分成三个层次，本题是考查指数和对数函数的单调性质．
四．基本不等式及其应用（共5小题）
9．（2023•安庆模拟）已知函数f（x）＝log2（ax+b）（a＞0，b＞0）恒过定点（2，0），则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果．
【解答】解：由题意可知2a+b＝1，
则，
当且仅当，时，的最小值为，
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
10．（2023•拉萨一模）已知实数x，y满足2x+y＝2，则9x+2×3y的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据基本不等式求解即可．
【解答】解：∵实数x，y满足2x+y＝2，
∴9x+2×3y＝32x+2×3y≥2＝2＝6，当且仅当时，等号成立．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
11．（2023•滁州二模）若a，b，c均为正数，且满足a2+3ab+3ac+9bc＝18，则2a+3b+3c的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可．
【解答】解：a2+3ab+3ac+9bc＝18⇒a（a+3b）+3c（a+3b）＝18⇒（a+3b）（a+3c）＝18，
因为a，b，c均为正数，
所以，
当且仅当a+3b＝a+3c时取等号，即时取等号，
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
12．（2023•文昌模拟）设x、y＞1，z＞0，若z2＝x•y，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知变形可得出2lgz＝lgx+lgy，可得出，利用基本不等式可求得的最小值．
【解答】解：因为x、y＞1，z＞0，z2＝x⋅y，则lgz2＝lg（xy），即2lgz＝lgx+lgy，
由题意可得lgx＞0，lgy＞0，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
13．（2023•陕西模拟）已知a，b，c为正实数且a+2b+3c＝5．
（1）求a2+b2+c2的最小值；
（2）当时，求a+b+c的值．
【分析】（1）由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件；
（2）由基本不等式可得++≤5，结合条件得++＝5，从而求a、b、c的值，即可得a+b+c的值．
【解答】解：（1）由柯西不等式得，
（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2＝25，
故a2+b2+c2≥；
当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时，等号成立；
故a2+b2+c2的最小值为；
（2）由基本不等式可得，
a+2b≥2，
a+3c≥2，
2b+3c≥，
故2（a+2b+3c）≥2（++），
故++≤5，
当且仅当a＝2b＝3c，且a+2b+3c＝5，
即a＝，b＝，c＝时，等号成立，
又∵，
∴++＝5，
即a＝，b＝，c＝，
a+b+c＝．
【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题．
五．不等式的综合（共1小题）
14．（2022•沙河口区校级一模）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于10%，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示 采光效果变好，＞ ．
【分析】根据题意，设窗户和地板同时增加m平方米，利用作差法分析和的大小，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设窗户和地板同时增加m平方米，有，
则有﹣＝＝，
又由a＜b，则﹣＞0，即＞，
故采光效果变好，不等式表示为＞，
故答案为：采光效果变好，＞．
【点评】本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式大小的比较，属于基础题．
六．指、对数不等式的解法（共4小题）
15．（2023•泸县校级模拟）若loga3＜logb3＜0，则（ ）
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
【分析】化loga3＜logb3＜0为log3b＜log3a＜0，利用函数的单调性求解．
【解答】解：∵loga3＜logb3＜0，
∴＜＜0，
即log3b＜log3a＜0，
故0＜b＜a＜1，
故选：B．
【点评】本题考查了对数的运算及对数函数单调性的利用，属于基础题．
16．（2023•北京模拟）已知函数，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，1）∪（2，+∞）
C．（1，2） D．（1，+∞）
【分析】令f（x）＝0求得x的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求出不等式f（x）＜0的解集．
【解答】解：令＝0，得log2x＝（x﹣1）2，得x＝1或x＝2；
在同一坐标系内画出y＝log2x与y＝（x﹣1）2的图象，如图所示，
则不等式f（x）＜0的解集为（0，1）∪（2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的问题，是基础题．
17．（2023•海淀区校级模拟）不等式2log3x﹣（x﹣1）（x﹣2）＞0的解集为 {x|1＜x＜3} ．
【分析】利用数形结合思想，结合对数函数和二次函数的图象进行求解即可．
【解答】解：由，
在同一直角坐标系内画出函数的图象如下图所示：
因为f（3）＝g（3）＝1，
所以由函数的图象可知：当x∈（1，3）时，有f（x）＞g（x），
故答案为：{x|1＜x＜3}．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于基础题．
18．（2023•银川模拟）关于x的不等式ax≥logax（a＞0且a≠1）恒成立，则实数a的取值范围是 [，+∞） ．
【分析】ax≥logax（a＞0且a≠1）等价于，即，令，对f（x）求导，得出f（x）的单调性，即可得出答案．
【解答】解：因为不等式ax≥logax（a＞0且a≠1）恒成立，可知a＞1，lna＞0，
由ax≥logax（a＞0且a≠1）可得，
则xlna⋅exlna≥xlnx＝elnx⋅lnx，
令h（t）＝tet，h′（t）＝et（t+1），
令h′（t）＞0，解得：t＞﹣1；令h′（t）＜0，解得：t＜﹣1，
所以h（t）在（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减，
当t＜0时，h（t）＝tet＜0，当t＞0时，h（t）＝tet＞0，
因为x＞0，lna＞0，所以xlna＞0，
所以要使xlna⋅exlna≥xlnx＝elnx⋅lnx，故只需xlna≥lnx即可，
故即可，
令，解得：x＝e，
令f′（x）＞0解得：0＜x＜e；令f′（x）＜0解得：x＞e，
所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
所以，所以，即，
所以实数a的取值范围是．
故答案为：[e，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
七．二次函数的性质与图象（共7小题）
19．（2023•和平区校级一模）若函数f（x）＝x2﹣4x+4在区间[a，a+1]上的最小值为4，则a的取值集合为 {﹣1，4} ．
【分析】函数f（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，对称轴为x＝2，再对a分类讨论，即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，对称轴为x＝2，
当a+1≤2，即a≤1时，
f（x）min＝f（a+1）＝4，即（a+1）2﹣4（a+1）+4＝4，解得a＝﹣1或a＝3（舍去），
故a＝﹣1，
当a＜2＜a+1，即1＜a＜2时，
f（x）min＝f（2）＝0，不符合题意，舍去，
当a≥2时，
f（x）min＝f（a）＝4，即a2﹣4a+4＝4，解得a＝4或a＝0（舍去），
故a的取值集合为{﹣1，4}．
【点评】本题主要考查二次函数的性质与图象，属于基础题．
20．（2023•海淀区一模）已知二次函数f（x），对任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），则f（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意可得f（0）＞0，所以CD都不可能，对于B，由图象可知f（﹣）＞0，与x＝﹣时，f（2x）＝f（﹣）＜2f（﹣）＜0相矛盾，所以B不可能．
【解答】解：二次函数f（x），对任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），
令x＝0得，f（0）＜2f（0），即f（0）＞0，故CD都不可能，
对于B，二次函数的对称轴方程为x＝﹣，由图象可知f（﹣）＜0，
设f（x）的图象与x轴的两个交点为x1，x2，且0＜x1＜x2，
则x1+x2＝﹣＞0，
所以0＜，所以f（﹣）＞0，
当x＝﹣时，f（2x）＝f（﹣）＜2f（﹣）＜0，两者相矛盾，故B不可能．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．
21．（2023•宁波一模）若函数f（x）＝x2+mx+n在区间（﹣1，1）上有两个零点，则n2﹣m2+2n+1的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（0，4） D．（1，4）
【分析】由已知结合二次方程实根分布及不等式性质即可求解．
【解答】解：由题意得，
所以n2﹣m2+2n+1＝（n+1）2﹣m2＝（n+1+m）（n+1﹣m）＞0，
设f（x）的两个零点为x1，x2，则f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2），
所以（n+1+m）（n+1﹣m）＝f（1）•f（﹣1）＝（1﹣）（1﹣x22）＜1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次方程实根分布及不等式的性质的应用，属于基础题．
22．（2023•会泽县模拟）已知二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），则ac的值是 4 ；的最大值是 6﹣2 ．
【分析】根据二次函数的性质知a＞0，Δ＝0，然后通过变形利用基本不等式即得．
【解答】解：由题意知：a＞0，f（x）的值域为[0，+∞），
∴Δ＝16﹣4ac＝0，
则ac＝4，c＞0，
所以，
又，当且仅当时取等号，
即．
故答案为：4；．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
23．（2023•宛城区校级模拟）已知二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域是[0，+∞），且f（1）≤2，则的取值范围是（ ）
A．[0，12] B．[1，13] C．[2，12] D．[3，13]
【分析】根据二次函数的性质可得mn＝1，且m＞0，又因为f（1）≤2，所以m+≤4，再结合基本不等式求解即可．
【解答】解：∵二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R）的值域是[0，+∞），
∴Δ＝4﹣4mn＝0，解得mn＝1，且m＞0，
又∵f（1）＝m﹣2+n≤2，n＝，
∴m+≤4，
∴＝＝+＝＝＝，
由m+≤4，m＞0，可得2≤≤14，
∴1≤≤13，
即的取值范围是[1，13]．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
24．（2023•温州模拟）已知f（x）＝x2﹣ax，|f（f（x））|≤2在[1，2]上恒成立，则实数a的最大值为 ．
【分析】代入x＝1，2的值得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：∵|f（f（x））|≤2在[1，2]上恒成立，
∴|f（f（1））|≤2，即|f（1﹣a）|≤2，
故|2a2﹣3a+1|≤2，
解得：≤a≤，
同理，|f（f（2））|≤2，解得：1≤a≤，
故1≤a≤，
当a＝时，设t＝f（x），此时＜1，
∵x∈[1，2]，∴t＝f（x）在[1，2]递增，
故t∈[1﹣a，4﹣2a]，
此时﹣（4﹣2a）＝a﹣4＞0，
故y＝f（t）在[1﹣a，4﹣2a]递减，
故|f（t）|≤2在[1﹣a，4﹣2a]上恒成立，
只需，
故amax＝．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．
25．（2023•和平区校级一模）在①f（4）＝﹣1，f（3）＝2，②当x＝2时，f（x）取得最大值3，③f（x+2）＝f（2﹣x），f（0）＝﹣1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知函数f（x）＝﹣x2﹣2ax+b，且 _______．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域为[3m﹣2，3n﹣2]，求m+n的值．
【分析】（1）分别选①②③，得到关于a，b的方程组，解出即可求出f（x）的解析式；
（2）根据函数的值域以及二次函数的性质求出m+n的值即可．
【解答】解：（1）若选①，
由题意可得
解得a＝﹣2，b＝﹣1，
故f（x）＝﹣x2+4x﹣1；
若选②，
由题意可得
解得a＝﹣2，b＝﹣1，
故f（x）＝﹣x2+4x﹣1；
若选③，
因为f（x+2）＝f（2﹣x），
所以f（x）图象的对称轴方程为x＝2，
则﹣a＝2，即a＝﹣2，因为f（0）＝﹣1，所以b＝﹣1，
故f（x）＝﹣x2+4x﹣1．
（2）因为f（x）＝﹣x2+4x﹣1在R上的值域为（﹣∞，3]，
所以3n﹣2≤3，即，
因为f（x）图象的对称轴方程为x＝2，且，
所以f（x）在[m，n]上单调递增，
则
整理得n2﹣m2+m﹣n＝0，即（n﹣m）（n+m﹣1）＝0，
因为n﹣m≠0，所以n+m﹣1＝0，即n+m＝1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查转化思想，是中档题．
八．一元二次不等式及其应用（共4小题）
26．（2023•青羊区校级模拟）不等式（x﹣1）2＜x+5的解集为（ ）
A．{x|1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{x|﹣4＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}
【分析】把不等式化为x2﹣3x﹣4＜0，求出解集即可．
【解答】解：不等式（x﹣1）2＜x+5可化为x2﹣3x﹣4＜0，
即（x﹣4）（x+1）＜0，
解得﹣1＜x＜4，
所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜4}．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
27．（2023•南昌县校级二模）已知关于x的不等式mx2+nx+6m＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则mx＜n的解集为 {x|x＞﹣5} ．
【分析】由题意可知2，3是方程mx2+nx+6m＝0的两根，然后利用韦达定理得出m，n的关系以及m的符号，由此即可求出所求不等式的解集．
【解答】解：由题意可知2，3是方程mx2+nx+6m＝0的两根，
则由韦达定理可得：，且m＜0，所以n＝﹣5m＞0，
则mx＜n化简为：mx＜﹣5m，解得x＞﹣5，
所以不等式的解集为{x|x＞﹣5}．
故答案为：{x|x＞﹣5}．
【点评】本题考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．
28．（2023•道里区校级一模）已知x+y＝4，且x＞y＞0，则的最小值为 2 ．
【分析】根据已知条件，将原式进行变形，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：∵x+y＝4，且x＞y＞0，
∴＝＝＝，
令g（y）＝﹣y2+2y，
g（y）＝﹣y2+2y＝﹣（y﹣1）2+1，
当y＝1时，g（y）max＝1，
当y＝1，
则x＝4﹣y＝3，满足x＞y＞0，符合题意，
故的最小值为．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，属于基础题．
29．（2023•武侯区校级模拟）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}，则（ ）
A．2∈A∩B B．3∈A∩B C．4∈A∪B D．5∈A∪B
【分析】求解集合B，然后求解交集与并集，即可判断元素与集合的关系，得到正确的选项．
【解答】解：集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}＝{x|x≤3或x≥6}，
A∩B＝{x|2＜x≤3}，
所以3∈A∩B，所以B正确；A不正确；
A∪B＝{x＜4或x≥6}，所以C、D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次不等式的解法，交集以及并集的元素，运算与集合的关系，是基础题．
九．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共1小题）
30．（2022•河北区校级模拟）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【分析】由已知可转化为关于y的二次方程的实根分布，结合二次方程根的存在条件及根的分布求解．
【解答】解：由，得4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0有正根，
易得x≠0，则Δ＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，
解得x≤﹣1或或x≥1，
设方程的根分别为y1，y2，
则y1•y2＝＞0，y1+y2＝＞0，
解得x＜﹣或0＜x＜，
综上，x≤﹣1或0＜x，
所以x的最大值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次方程的实根分布，体现了转化思想和方程思想，属于中档题．
六、易错分析
易错点1：忽视字母的取值范围而致错
1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若，，则； B．若，则；
C．若，则； D．若，，则.
【错解】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，则；故B对；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.所以选BCD。
【错因】选项B是错的，忽略了的情况。
【正解】CD
【解析】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，当时，，故B错误；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.
易错点2：多次运用不等式性质而致错
2、已知，，求的取值范围.
【错解】因为，，两式相加得，所以，
因为，，两式相加得，所以，
所以，即。
【错因】根据已知条件单独求出a,b各自的范围，会导致它们的范围变大。
【正解】
【解析】令.
∴,解得,∴.
∵，∴.,又，
∴.故的取值范围为.
易错点3：忽视不等式中高次项的系数
3．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
由题意知必须满足解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2）．选A
【错因】没有对二次项系数2－m讨论。
【正解】C
【解析】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；
当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2]．
易错点4：应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，
4．当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【错解】当时，由得.
，.，故选B。
【错因】令，即，而，所以不成立，即使用基本不等式求最值时，没有考虑等号问题。
【正解】A
【解析】 当时，由得.令，
则易知在上是减函数，所以时，
则∴.
5.已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或
【错解】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，而由等差数列通项公式可知，
当且仅当时取得等号，所以的最大值为4，选A。
【错因】因为数列为递增数列,所以，由已知得，则，而错解中把当成正值。
【正解】B
【解析】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知，由,结合基本不等式可得，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。
易错点5：忽视一元二次不等式中两根大小而致错
6．已知集合，集合，命题：，
命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【错解】因为，，若是的充分条件，则．
因为
则，，，解得．
实数的取值范围是．
【错因】因为参数a的范围不定，所以a与2a-1的大小关系不定，故需对两根大小分类讨论。
【正解】.
【详解】，，若是的充分条件，则．
因为
当时，，显然成立；
当时，，，，解得；
当时，，，，解得．
实数的取值范围是．
易错点6：忽视分式不等式中的分母不能为零致错
7．不等式≤1的解集是________．
【错解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得(x－1)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|xx≤－1或x≥1}．
【错因】因为x＋1为分母，所以x＋1不等于零。
【正解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得x－1＝0或(x－1)(x＋1)>0，得x＝1或x<－1或x>1，得x<－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x≥1}．
易错点7：忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错
8.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.若该不等式恒成立，必须满足
解得－2＜m＜2.综上知实数m的取值范围是(－2,2)，
选A．
【错因】没有对二次项系数m讨论。
【正解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；
当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2.
综上知实数m的取值范围是(－2,2]．选C
易错点8：忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错．
9．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为( )
A. B.
C．{x|x≤或x≥2}． D．
【错解】由(x－2)(3－2x)≥0解得x≤或x≥2，故不等式的解集为.选C
【错因】“大于号取两边，小于号取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零，
【正解】由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为.选B
易错点9：一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错
10．当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－] B.
C. D．
【错解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，令f(x)＝2－＝2－，则当x＝2时，f(x)min＝－，所以a≤－,选A。
【错因】因为1≤x≤3，即x可以取到端点值，所以2－可以取到－，则a<－，不能取等号。
【正解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，令f(x)＝2－＝2－，则当x＝2时，f(x)min＝－，所以a<－.选B。
易错点10：有关一元二次方程根的分布条件列不全致错
11． 若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．
【错解】设方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根为则，
则，即，即
解得m<－4，故m的取值范围是(－∞，－4)．
【错因】条件不能推出，例如时，满足，但。
【正解】令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，其对称轴方程为x＝，
由题意得，即
解得－5
12．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【错解】原不等式可化为 (x－1)<0(a>0).解得
【错因】没有考虑与1的大小关系，
【正解】由a>0，知原不等式等价于 (x－1)<0.
①当a＝1时，＝1， (x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，得
七、刷基础
一．选择题（共14小题）
1．（2023•东城区校级模拟）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．|a|＜|b| B．
C． D．lna＞lnb
【分析】根据对数函数的单调性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，即可得出结论．
【解答】解：根据对数函数的单调性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，比较基础．
2．（2023•江宁区校级模拟）三个数a＝，b＝（）3，c＝log3的大小顺序为（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】根据所给的三个式子和1，和0的关系，把a与30进行比较，把b与进行比较，把c同log31进行比较，得到三个数字的大小关系．
【解答】解：∵＞30＝1
＝1
＝0
∴a＞b＞c
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，本题解题的关键是看出需要找两个中间量，把三个数字分成三个层次，本题是考查指数和对数函数的单调性质．
3．（2023•吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞0
【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；
B选项，利用基本不等式求出；
C选项，作差法比较出大小关系；
D选项，举出反例即可．
【解答】解：A选项，，故a＜0，b＜0，所以ab＞0，两边同乘以ab得，a＜b，A正确；
B选项，因为a＜b＜0，所以，且，
由基本不等式得，故B正确；
C选项，因为a＜b＜0，所以，
故，
所以，C正确；
D选项，不妨取a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，此时ln（b﹣a）＝ln1＝0，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4．（2023•河南模拟）已知a＝，b＝，c＝，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【分析】根据题意，设f（x）＝，求出f（x）的导数，分析可得f（x）在（0，）上递减，由此可得f（1）＞f（），变形可得a＞b，利用作差法可得c﹣a＞0，即c＞a，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝，其导数f′（x）＝，
在区间（0，）上，tanx＞x恒成立，则有sinx＞xcosx恒成立，则有f′（x）＜0在（0，）上恒成立，
则函数f（x）在（0，）上递减，则有f（1）＞f（），即＞＝，即a＞b，
c﹣a＝﹣＝，
而sin1＜sin＝，则c﹣a＞＞0，即c＞a，
故c＞a＞b，
故选：B．
【点评】本题考查不等式的大小比较，涉及数字的估算，属于基础题．
5．（2023•朝阳区一模）若a＞0＞b，则（ ）
A．a3＞b3 B．|a|＞|b| C． D．ln（a﹣b）＞0
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD．
【解答】解：∵a＞0＞b，∴a3＞0，b3＜0，即a3＞b3，故A正确；
取a＝1，b＝﹣2，则|a|＞|b|不成立，故B错误；
取a＝1，b＝﹣2，则不成立，故C错误；
取，则ln（a﹣b）＝ln1＝0，故D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
6．（2023•临高县模拟）给定下列四个命题：命题①a＞b，c＞d⇒a﹣c＞b﹣d；命题②：a＞b⇒（）a＜（）b；命题③：⇒；命题④：a＜b＜0⇒＜．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．
【解答】解：对于命题①：∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d，
故a＞b，c＞d⇒a﹣c＞b﹣d错误；
对于命题②：∵y＝在R递减，故a＞b⇒（）a＜（）b正确；
对于命题③：∵0＜a＜1，2＜b＜3，∴2＜a+b＜4，0＜ab＜3，
故⇒正确；
对于命题④：∵a＜b＜0，∴a2＞b2，ab＞0，
∴＞，∴＞，故a＜b＜0⇒＜正确；
其中真命题的个数是3个，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是基础题．
7．（2023•黄浦区模拟）已知x∈R，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】举反例可排除A、B、C，再利用不等式的性质可证明D正确即可．
【解答】解：取x＝0可得＝1＝，故A错误；
取x＝0可得＝1＝，故B错误；
取x＝1可得＝＝，故C错误；
选项D，∵x2+2＞x2+1＞0，∴＞，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题．
8．（2023•河南模拟）已知正实数a，b，点M（1，4）在直线上，则a+b的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【分析】根据点M（1，4）在直线上，代入已知点的坐标，再由a+b＝（a+b）•（+），展开整理后利用基本不等式求最小值．
【解答】解：∵直线l经过点M（1，4），
∴+＝1．
∴a+b＝（a+b）•（+）＝5++，
又a＞0，b＞0，
∴a+b＝5++≥5+2＝9 （当且仅当2a＝b时取“＝”）．
∴a+b的最小值为9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，关键是“1”的代换，是基础题．
9．（2023•河南模拟）已知正实数a，b，满足，则a+b的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】将已知不等式两边同时加上a+b，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b≥+，
∴（a+b）2≥（+）（a+b）＝++≥+2＝，
当且仅当4a2＝9b2，即2a＝3b时取等号，
所以a+b≥，
a+b的最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
10．（2023•北京模拟）已知函数，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，1）∪（2，+∞）
C．（1，2） D．（1，+∞）
【分析】令f（x）＝0求得x的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求出不等式f（x）＜0的解集．
【解答】解：令＝0，得log2x＝（x﹣1）2，得x＝1或x＝2；
在同一坐标系内画出y＝log2x与y＝（x﹣1）2的图象，如图所示，
则不等式f（x）＜0的解集为（0，1）∪（2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的问题，是基础题．
11．（2023•云南模拟）设x1，x2是关于x的方程x2+（a﹣1）x+a+2＝0的根．若﹣1＜x1＜1，1＜x2＜2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】函数图像开口向上，利用根的分布，即可求解实数a的取值范围．
【解答】解：由题意知，函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+a+2开口方向向上，
若﹣1＜x1＜1，1＜x2＜2，则函数须同时满足三个条件：
当x＝﹣1时，x2+（a﹣1）x+a+2＞0，代入解得4＞0，恒成立；
当x＝1时，x2+（a﹣1）x+a+2＜0，代入解得2a+2＜0，a＜﹣1；
当x＝2时，x2+（a﹣1）x+a+2＞0，代入解得，
综上，实数a的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．
12．（2023•海淀区一模）已知二次函数f（x），对任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），则f（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意可得f（0）＞0，所以CD都不可能，对于B，由图象可知f（﹣）＞0，与x＝﹣时，f（2x）＝f（﹣）＜2f（﹣）＜0相矛盾，所以B不可能．
【解答】解：二次函数f（x），对任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），
令x＝0得，f（0）＜2f（0），即f（0）＞0，故CD都不可能，
对于B，二次函数的对称轴方程为x＝﹣，由图象可知f（﹣）＜0，
设f（x）的图象与x轴的两个交点为x1，x2，且0＜x1＜x2，
则x1+x2＝﹣＞0，
所以0＜，所以f（﹣）＞0，
当x＝﹣时，f（2x）＝f（﹣）＜2f（﹣）＜0，两者相矛盾，故B不可能．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．
13．（2023•柳州模拟）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2，
则＝＝（）（a+b）＝（2+）（2+2）＝2，
当且仅当且a+b＝2，即a＝b＝1时取等号．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
14．（2023•顺义区二模）已知函数 f（x）＝log2（x+1）﹣x，则不等式f（x）＞0的解集是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，+∞）
C．（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【分析】由题意可得x+1＞2x，在同一坐标系中作出y＝x+1与y＝2x的图象，结合图象即可得解．
【解答】解：由x+1＞0，可得x＞﹣1，
不等式f（x）＞0，即log2（x+1）﹣x＞0，
log2（x+1）＞x＝log22x，
所以x+1＞2x，
在同一坐标系中作出y＝x+1与y＝2x的图象，如图所示：
由此可得x+1＞2x的解集为（0，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数的性质、指数函数的性质及转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
（多选）15．（2023•潍坊二模）已知实数a＞b＞0，则（ ）
A． B．
C．ab＞ba D．
【分析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，﹣＝＜0，则有＜，A正确；
对于B，a+﹣b﹣＝（a﹣b）﹣（﹣）＝（a﹣b）+（）＝（a﹣b）（1+），
又由a＞b＞0，则a+﹣b﹣＝（a﹣b）（1+）＞0，必有a+＞b+，B正确；
对于C，当a＝4，b＝2时，有ab＝ba，C错误；
对于D，由于a＞b＞0，则＞，两边同时取对数可得：lg＞lg＝，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查不等式的证明，涉及不等式的性质以及应用，属于基础题．
三．填空题（共1小题）
16．（2023•青浦区二模）已知函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式（ax+b）（bx+c）（cx+a）＜0的解集是 ．
【分析】根据题意，由二次函数的性质可得a＞0且方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和2，由此分析可得b＝﹣3a，c＝2a，则不等式等价于（x﹣3）（3x﹣2）（2x+1）＞0，解可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数y＝ax2+bx+c的图像，有a＞0，
且方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和2，则有，则有b＝﹣3a，c＝2a，
则（ax+b）（bx+c）（cx+a）＜0⇔（ax﹣3a）（﹣3a+2a）（2a+a）＜0⇔（x﹣3）（3x﹣2）（2x+1）＞0，
解可得：﹣＜x＜或x＞3，即不等式的解集为．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式的解法，考查数形结合思想及运算求解能力，属于基础题．
八.刷易错
一．选择题（共3小题）
1．（2023•西固区校级模拟）若x，y是正数，则+的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【分析】连续用基本不等式求最小值，由题设知+≥2（x+）×（y+）整理得知+≥2（xy++1），其中等号成立的条件是x＝y，又xy+≥2＝1等号成立的条件是xy＝与x＝y联立得两次运用基本不等式等号成立的条件是x＝y＝，计算出最值是4
【解答】解：∵x，y是正数，
∴+≥2（xy++1），
等号成立的条件是x+＝y+，
解得x＝y，①
又xy+≥2＝1
等号成立的条件是xy＝②
由①②联立解得x＝y＝，
即当x＝y＝时+的最小值是4
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式，解题过程中两次运用基本不等式，注意验证两次运用基本不等式时等号成立的条件是否相同，若相同时，代数式才能取到计算出的最小值，否则最小值取不到．本题是一道易错题．
2．（2022•河西区模拟）已知a∈R，则“a（1+a）＞0”是“0＜a＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求出不等式a（1+a）＞0的解集，再根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：解不等式a（1+a）＞0，得a＜﹣1或a＞0，
所以“a（1+a）＞0”是“0＜a＜1”必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
3．（2022•岳阳二模）已知关于x的不等式ax2+2bx+4＜0的解集为，其中m＜0，则的最小值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．8
【分析】根据不等式ax2+2bx+4＜0的解集求出a的值和b的取值范围，再代入中利用基本不等式求出它的最小值．
【解答】解：关于x的不等式ax2+2bx+4＜0的解集为，其中m＜0，
所以m和是方程ax2+2bx+4＝0的实数根，
由根与系数的关系知，
解得a＝1，b＝﹣（+）＞2，
所以＝+≥2＝2，
当且仅当＝，即b＝4时取“＝”，
所以的最小值为2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系，也考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题．
二．多选题（共1小题）
（多选）4．（2022•丹东模拟）如果关于x的不等式x2﹣2ax+b﹣1＞0的解集为{x|x≠a}，那么下列数值中，b可取到的数为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据题意，利用不等式成立的条件，求出b的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：不等式x2﹣2ax+b﹣1＞0可化为（x﹣a）2＞a2﹣b+1，
因为不等式的解集为{x|x≠a}，
所以a2﹣b+1＝0，得b＝a2+1．
验证a＝0时，b＝1；a＝±1时，b＝2；
所以b可取到的值为1和2．
故选：CD．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
三．填空题（共3小题）
5．（2023•杨浦区二模）由函数的观点，不等式3x+lgx≤3的解集是 （0，1） ．
【分析】不等式化为3x≤3﹣lgx，在同一坐标系内画出y＝3x和y＝3﹣lgx的图象，利用函数的图象求出不等式的解集．
【解答】解：不等式3x+lgx≤3可化为3x≤3﹣lgx，
在同一坐标系内画出y＝3x和y＝3﹣lgx的图象，如图所示：
由3x＝3﹣lgx，得x＝1，
所以由函数的观点知，不等式3x+lgx≤3的解集是（0，1]．
故答案为：（0，1]．
【点评】本题考查了函数的图象与性质应用问题，也考查了不等式解法与应用问题，是基础题．
6．（2023•吉林模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为 9 ．
【分析】由x+y＝得出5x+5y＝1，再由＝+，利用乘“1”法求最小值即可．
【解答】解：因为x+y＝，所以5x+5y＝1，
所以＝（+）[（3x+y）+（2x+4y）]＝1+4++≥5+2＝5+2×2＝9，
当且仅当＝，即y＝2x，即x＝，y＝时取“＝”，
所以最小值为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．
7．（2023•琼中县模拟）已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则x+y的最小值为 2﹣3 ，xy的最大值为 8﹣4 ．
【分析】由xy+2x+y＝4求得y＝（0＜x＜2），代入化简x+y＝x+，转化为x+1+﹣3，利用基本不等式求最值即可；由4﹣xy＝2x+y≥2，转化为不等式，将xy作为一个整体解不等式即可．
【解答】解：∵xy+2x+y＝4，∴y＝（0＜x＜2），
∴x+y＝x+＝x+1+﹣3≥2﹣3，
（当且仅当x+1＝，即x＝﹣1时，等号成立），
故x+y的最小值为2﹣3，
∵4﹣xy＝2x+y≥2，
（当且仅当2x＝y，即x＝﹣1，y＝2﹣2时，等号成立），
∴（4﹣xy）2≥8xy，即（xy）2﹣16xy+16≥0，
解得，xy≤8﹣4或xy≥8+4（舍去），
故xy的最大值为8﹣4，
故答案为：2﹣3，8﹣4．
【点评】本题考查了最值问题及基本不等式，考查了化简运算的能力及转化思想与整体思想的应用，属于中档题．
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