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考点03函数的概念与性质（8种题型10个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）
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这是一份考点03函数的概念与性质（8种题型10个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用），共16页。
考点03函数的概念与性质（8种题型10个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五、刷好题
六.刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共3小题）
1．（2022•上海）下列函数定义域为R的是（ ）
A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝
2．（2023•上海）下列函数是偶函数的是（ ）
A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x
3．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）
A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x
二．填空题（共2小题）
4．（2020•上海）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝ ．
5．（2022•上海）设函数f（x）满足对任意x∈[0，+∞）都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝Af，则a的取值范围为 ．
三．解答题（共3小题）
6．（2020•上海）已知非空集合A⊆R，函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成立，则称函数f（x）具有A性质．
（1）当A＝{﹣1}，判断f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性质；
（2）当A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；
（3）当A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值．
7．（2021•上海）已知函数f（x）＝﹣x．
（1）若a＝1，求函数的定义域；
（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．
8．（2021•上海）已知x1，x2∈R，若对任意的x2﹣x1∈S，f（x2）﹣f（x1）∈S，则有定义：f（x）是在S关联的．
（1）判断和证明f（x）＝2x﹣1是否在[0，+∞）关联？是否有[0，1]关联？
（2）若f（x）是在{3}关联的，f（x）在x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，求解不等式：2≤f（x）≤3．
（3）证明：f（x）是{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的，当且仅当“f（x）在[1，2]是关联的”．
二、考点清单
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
5.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
6.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
7.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数
关于原点对称
偶函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数
关于y轴对称
8.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
三、题型方法
一．函数的定义域及其求法（共3小题）
1．（2023•虹口区二模）函数y＝lg（x﹣1）+的定义域为 ．
2．（2023•普陀区二模）函数的定义域为 ．
3．（2023•浦东新区模拟）函数的定义域为 ．
二．函数的值域（共1小题）
4．（2023•虹口区二模）对于定义在R上的奇函数y＝f（x），当x＞0时，，则该函数的值域为 ．
三．函数解析式的求解及常用方法（共1小题）
5．（2023•宝山区校级模拟）已知a＞0，函数（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是 ．
四．函数的图象与图象的变换（共2小题）
6．（2023•黄浦区模拟）设a，b，c，d∈R，若函数y＝ax3+bx2+cx+d的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＞0 D．b＜0，c＜0
7．（2023•上海模拟）已知函数，则其图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
五．函数的最值及其几何意义（共3小题）
8．（2023•浦东新区校级一模）函数f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+2．若存在x1，x2，…，xn∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn），则n的最大值是（ ）
A．11 B．13 C．14 D．18
9．（2023•徐汇区二模）已知函数，x∈[b，+∞），其中b＞0，a∈R，若f（x）的最小值为2，则实数a的取值范围是 ．
10．（2023•浦东新区二模）函数在区间上的最小值为 ．
六．函数奇偶性的性质与判断（共6小题）
11．（2023•闵行区二模）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（ ）
A．y＝0 B． C．y＝x2 D．y＝2x
12．（2023•杨浦区二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上严格递减的是（ ）
A．y＝2|x| B．y＝ln（﹣x） C． D．
13．（2023•奉贤区二模）已知y＝f（x）为R上的奇函数，且当x≥0时，，则y＝f（x）的驻点为 ．
14．（2023•金山区二模）已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x3+2x﹣1，则f（﹣2）＝ ．
15．（2023•静安区二模）已知函数为偶函数，则函数f（x）的值域为 ．
16．（2023•宝山区校级模拟）设定义在R上的奇函数y＝f（x），当x＞0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是 ．
七．奇偶性与单调性的综合（共3小题）
17．（2023•崇明区二模）下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）
A．f（x）＝tanx B．
C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝ex﹣e﹣x
18．（2023•浦东新区模拟）下列函数在定义域中，既是奇函数又是严格减函数的是（ ）
A．y＝﹣lnx B． C．y＝ex﹣e﹣x D．y＝﹣x|x|
19．（2023•浦东新区校级三模）下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（ ）
A．f（x）＝tanx B．f（x）＝x﹣
C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝x（ex+e﹣x）
八．函数恒成立问题（共6小题）
20．（2023•浦东新区三模）已知定义在R上的函数y＝f（x）．对任意区间[a，b]和c∈[a，b]，若存在开区间I，使得c∈I∩[a，b]，且对任意x∈I∩[a，b]（x≠c）都成立f（x）＜f（c），则称c为f（x）在[a，b]上的一个“M点”．有以下两个命题：
①若f（x0）是f（x）在区间[a，b]上的最大值，则x0是f（x）在区间[a，b]上的一个M点；
②若对任意a＜b，b都是f（x）在区间[a，b]上的一个M点，则f（x）在R上严格增．
那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
21．（2023•金山区二模）已知函数y＝f（x）和y＝g（x）的表达式分别为，g（x）＝x|x2﹣a|，若对任意，若存在x2∈[﹣3，0]，使得g（x1）＜f（x2），则实数a的取值范围是 ．
22．（2023•长宁区二模）若对任意x∈[1，2]，均有|x2﹣a|+|x+a|＝|x2+x|，则实数a的取值范围为 ．
23．（2023•奉贤区二模）设函数y＝f（x）的定义域是R，它的导数是f'（x）．若存在常数m（m∈R），使得f（x+m）＝﹣f'（x）对一切x恒成立，那么称函数y＝f（x）具有性质P（m）．
（1）求证：函数y＝ex不具有性质P（m）；
（2）判别函数y＝sinx是否具有性质P（m）．若具有求出m的取值集合；若不具有请说明理由．
24．（2023•松江区模拟）已知fa（x）＝|x|+|x﹣a|，其中a∈R．
（1）判断函数y＝fa（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a＝4时，对任意非零实数c，不等式均成立，求实数t的取值范围．
25．（2023•黄浦区模拟）定义在R上的函数y＝f（x），y＝g（x），若|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|对任意的x1，x2∈R成立，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“从属函数”．
（1）若函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“从属函数”且y＝f（x）是偶函数，求证：y＝g（x）是偶函数；
（2）若，求证：当a≥1时，函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“从属函数”；
（3）设定义在R上的函数y＝f（x）与y＝g（x），它们的图像各是一条连续的曲线，且函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“从属函数”．设α：“函数y＝f（x）在R上是严格增函数或严格减函数”；β：“函数y＝g（x）在R上为严格增函数或严格减函数”，试判断α是β的什么条件？请说明理由．
四、易错分析
易错点1：求函数的单调区间忽视定义域致错
函数y＝的单调递减区间为( )
A. B.
C．[0，＋∞) D．(－∞，－3]
易错点2：判断函数的奇偶性忽视定义域致错
判断函数f(x)＝的奇偶性：
易错点3：有关分段函数的不等式问题忽视定义域致错
设函数f(x)＝ 则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为__________．
易错点4：有关抽象函数的不等式问题忽视定义域致错
设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，则a的取值范围是( )
A．[－4,1) B．(1,4] C．(1,2] D．C．（1，＋∞)
易错点5：有关分段函数的单调性问题忽视端点值致错
已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．
易错点6：有关奇函数的解析式忽视自变量0的函数值致错
已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，则函数f(x)的解析式为_______．
易错点7：使用换元法忽视新变量的取值范围致错
若f(2x)＝4x－2x，则f(x)＝________.
易错点8：忽视零点存在性定理前提条件而致错
对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解
易错点9：搞不清复合函数的自变量而致错
已知f(x2－1)的定义域为[0,3]，则f(2x－1)的定义域是( )
A. B.
C. D．
易错点10：搞不清函数图象左右平移规则而致错
将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．
五、刷好题
一．函数的定义域及其求法（共2小题）
1．（2021•黄浦区三模）函数f（x）＝的定义域为 ．
2．（2021•黄浦区三模）如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC．已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m2a万元，其中a，r，m为常数，设∠POA＝θ，总造价为y万元．
（1）把y表示成θ的函数y＝f（θ），并求出定义域；
（2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？
二．函数的值域（共1小题）
3．（2021•徐汇区校级三模）下列函数中，与函数y＝x3的值域相同的函数为（ ）
A．y＝（）x+1 B．y＝ln（x+1） C．y＝ D．y＝x+
三．函数的图象与图象的变换（共2小题）
4．（2022•徐汇区三模）函数f（x）＝（﹣1）sinx图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022•杨浦区模拟）定义域为[a，b]的函数y＝f（x）图象的两个端点为A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y＝f（x）图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称||的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为[1，2]上的函数中，曲径最小的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝x﹣ D．y＝sinx
四．复合函数的单调性（共2小题）
6．（2021•浦东新区三模）函数y＝的单调递减区间为 ．
7．（2021•徐汇区校级三模）函数y＝lgsin2x的单调递减区间为 ．
五．函数的最值及其几何意义（共2小题）
8．（2022•浦东新区校级模拟）若分段函数f（x）＝，将函数y＝|f（x）﹣f（a）|，x∈[m，n]的最大值记作Za[m，n]，那么当﹣2≤m≤2时，Z2[m，m+4]的取值范围是 ．
9．（2021•金山区二模）设m为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+m）＝f（x0）+f（m）成立，则
称函数f（x）为“G（m）函数”．
（1）若函数f（x）＝2x为“G（2）函数”，求实数x0的值；
（2）若函数f（x）＝lg，为“G（1）函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知f（x）＝x+b（b∈R）为“G（0）函数”，设g（x）＝x|x﹣4|．若对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2时，都有＞2成立，求实数t的最大值．
六．函数奇偶性的性质与判断（共2小题）
10．（2021•长宁区二模）设f（x）＝xα（α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}），则“y＝f（x）图象经过点（﹣1，1）”是“y＝f（x）是偶函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
11．（2021•奉贤区二模）设函数f（x）＝lg（1﹣cos2x）+cos（x+θ），θ∈[0，）．
（1）讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设θ＞0，解关于x的不等式f（+x）﹣f（﹣x）＜0．
七．抽象函数及其应用（共1小题）
12．（2021•上海模拟）设f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f（10+x）＝f（10﹣x），f（20﹣x）＝﹣f（20+x），则f（x）是（ ）
A．偶函数，又是周期函数
B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数
D．奇函数，但不是周期函数
八．函数恒成立问题（共4小题）
13．（2021•浦东新区校级三模）已知实数a＞0，函数f（x）＝，g（x）＝x+a，若对任意x1∈[﹣2a，2a]，总存在x2∈[﹣2a，2a]，使得f（x2）≤g（x1），则a的最大值为 ．
14．（2021•徐汇区二模）已知实数a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x对任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐标系xOy中，点（a，b）形成的区域记为Ω．若圆x2+y2＝r2上的任一点都在Ω中，则r的最大值为 ．
15．（2021•宝山区校级模拟）已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．
（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1]•g（x）的值域；
（2）给定n∈N，如果对任意的x∈[2n，2n+1]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
16．（2021•黄浦区三模）已知函数f（x）＝a﹣（a为实常数）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当f（x）为奇函数时，对任意x∈[1，6]，不等式f（x）≥恒成立，求实数u的最大值．
八.刷压轴
一、填空题
1．（2023·上海崇明·统考二模）若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________．
2．（2023·上海徐汇·统考二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________.
二、解答题
3．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
(3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.
4．（2023·上海金山·统考一模）若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”.
(1)判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）；
(2)已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值；
(3)已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值.
5．（2023·上海嘉定·统考二模）已知，等差数列的前项和为，记．
(1)求证：函数的图像关于点中心对称；
(2)若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围；
(3)若，求证：．反之是否成立？并请说明理由．
6．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“函数”.
(1)分别判断和是否为函数，并说明理由；
(2)若是函数，求正数的取值范围；
(3)已知奇函数及其导函数定义域均为.判断“在上严格减”是“为函数”的什么条件，并说明理由.
7．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
8．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）对于函数和，设集合，，若存在，，使得，则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数与“具有性质”，求实数的最大值和最小值；
(3)设且，，若函数与“具有性质”，求的取值范围.
9．（2023·上海浦东新·统考一模）已知定义域为R的函数.当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”.
(1)分别判断函数、是否为函数；
(2)是否存在实数b，使得函数，是函数？若存在，求实数b的取值范围；否则，证明你的结论；
(3)已知，其中.证明：若是R上的严格增函数，则对任意，都是函数.
10．（2023·上海崇明·统考二模）已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
(1)若，，求实数a的取值范围；
(2)证明：方程至多只有一个实根；
(3)若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．
考点03函数的概念与性质（8种题型10个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五、刷好题
六.刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共3小题）
1．（2022•上海）下列函数定义域为R的是（ ）
A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝
2．（2023•上海）下列函数是偶函数的是（ ）
A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x
3．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）
A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x
二．填空题（共2小题）
4．（2020•上海）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝ ．
5．（2022•上海）设函数f（x）满足对任意x∈[0，+∞）都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝Af，则a的取值范围为 ．
三．解答题（共3小题）
6．（2020•上海）已知非空集合A⊆R，函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成立，则称函数f（x）具有A性质．
（1）当A＝{﹣1}，判断f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性质；
（2）当A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；
（3）当A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值．
7．（2021•上海）已知函数f（x）＝﹣x．
（1）若a＝1，求函数的定义域；
（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．
8．（2021•上海）已知x1，x2∈R，若对任意的x2﹣x1∈S，f（x2）﹣f（x1）∈S，则有定义：f（x）是在S关联的．
（1）判断和证明f（x）＝2x﹣1是否在[0，+∞）关联？是否有[0，1]关联？
（2）若f（x）是在{3}关联的，f（x）在x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，求解不等式：2≤f（x）≤3．
（3）证明：f（x）是{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的，当且仅当“f（x）在[1，2]是关联的”．
二、考点清单
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
5.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
6.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
7.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数
关于原点对称
偶函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数
关于y轴对称
8.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
三、题型方法
一．函数的定义域及其求法（共3小题）
1．（2023•虹口区二模）函数y＝lg（x﹣1）+的定义域为 ．
2．（2023•普陀区二模）函数的定义域为 ．
3．（2023•浦东新区模拟）函数的定义域为 ．
二．函数的值域（共1小题）
4．（2023•虹口区二模）对于定义在R上的奇函数y＝f（x），当x＞0时，，则该函数的值域为 ．
三．函数解析式的求解及常用方法（共1小题）
5．（2023•宝山区校级模拟）已知a＞0，函数（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是 ．
四．函数的图象与图象的变换（共2小题）
6．（2023•黄浦区模拟）设a，b，c，d∈R，若函数y＝ax3+bx2+cx+d的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＞0 D．b＜0，c＜0
7．（2023•上海模拟）已知函数，则其图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
五．函数的最值及其几何意义（共3小题）
8．（2023•浦东新区校级一模）函数f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+2．若存在x1，x2，…，xn∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn），则n的最大值是（ ）
A．11 B．13 C．14 D．18
9．（2023•徐汇区二模）已知函数，x∈[b，+∞），其中b＞0，a∈R，若f（x）的最小值为2，则实数a的取值范围是 ．
10．（2023•浦东新区二模）函数在区间上的最小值为 ．
六．函数奇偶性的性质与判断（共6小题）
11．（2023•闵行区二模）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（ ）
A．y＝0 B． C．y＝x2 D．y＝2x
12．（2023•杨浦区二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上严格递减的是（ ）
A．y＝2|x| B．y＝ln（﹣x） C． D．
13．（2023•奉贤区二模）已知y＝f（x）为R上的奇函数，且当x≥0时，，则y＝f（x）的驻点为 ．
14．（2023•金山区二模）已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x3+2x﹣1，则f（﹣2）＝ ．
15．（2023•静安区二模）已知函数为偶函数，则函数f（x）的值域为 ．
16．（2023•宝山区校级模拟）设定义在R上的奇函数y＝f（x），当x＞0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是 ．
七．奇偶性与单调性的综合（共3小题）
17．（2023•崇明区二模）下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）
A．f（x）＝tanx B．
C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝ex﹣e﹣x
18．（2023•浦东新区模拟）下列函数在定义域中，既是奇函数又是严格减函数的是（ ）
A．y＝﹣lnx B． C．y＝ex﹣e﹣x D．y＝﹣x|x|
19．（2023•浦东新区校级三模）下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（ ）
A．f（x）＝tanx B．f（x）＝x﹣
C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝x（ex+e﹣x）
八．函数恒成立问题（共6小题）
20．（2023•浦东新区三模）已知定义在R上的函数y＝f（x）．对任意区间[a，b]和c∈[a，b]，若存在开区间I，使得c∈I∩[a，b]，且对任意x∈I∩[a，b]（x≠c）都成立f（x）＜f（c），则称c为f（x）在[a，b]上的一个“M点”．有以下两个命题：
①若f（x0）是f（x）在区间[a，b]上的最大值，则x0是f（x）在区间[a，b]上的一个M点；
②若对任意a＜b，b都是f（x）在区间[a，b]上的一个M点，则f（x）在R上严格增．
那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
21．（2023•金山区二模）已知函数y＝f（x）和y＝g（x）的表达式分别为，g（x）＝x|x2﹣a|，若对任意，若存在x2∈[﹣3，0]，使得g（x1）＜f（x2），则实数a的取值范围是 ．
22．（2023•长宁区二模）若对任意x∈[1，2]，均有|x2﹣a|+|x+a|＝|x2+x|，则实数a的取值范围为 ．
23．（2023•奉贤区二模）设函数y＝f（x）的定义域是R，它的导数是f'（x）．若存在常数m（m∈R），使得f（x+m）＝﹣f'（x）对一切x恒成立，那么称函数y＝f（x）具有性质P（m）．
（1）求证：函数y＝ex不具有性质P（m）；
（2）判别函数y＝sinx是否具有性质P（m）．若具有求出m的取值集合；若不具有请说明理由．
24．（2023•松江区模拟）已知fa（x）＝|x|+|x﹣a|，其中a∈R．
（1）判断函数y＝fa（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a＝4时，对任意非零实数c，不等式均成立，求实数t的取值范围．
25．（2023•黄浦区模拟）定义在R上的函数y＝f（x），y＝g（x），若|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|对任意的x1，x2∈R成立，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“从属函数”．
（1）若函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“从属函数”且y＝f（x）是偶函数，求证：y＝g（x）是偶函数；
（2）若，求证：当a≥1时，函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“从属函数”；
（3）设定义在R上的函数y＝f（x）与y＝g（x），它们的图像各是一条连续的曲线，且函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“从属函数”．设α：“函数y＝f（x）在R上是严格增函数或严格减函数”；β：“函数y＝g（x）在R上为严格增函数或严格减函数”，试判断α是β的什么条件？请说明理由．
四、易错分析
易错点1：求函数的单调区间忽视定义域致错
函数y＝的单调递减区间为( )
A. B.
C．[0，＋∞) D．(－∞，－3]
易错点2：判断函数的奇偶性忽视定义域致错
判断函数f(x)＝的奇偶性：
易错点3：有关分段函数的不等式问题忽视定义域致错
设函数f(x)＝ 则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为__________．
易错点4：有关抽象函数的不等式问题忽视定义域致错
设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，则a的取值范围是( )
A．[－4,1) B．(1,4] C．(1,2] D．C．（1，＋∞)
易错点5：有关分段函数的单调性问题忽视端点值致错
已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．
易错点6：有关奇函数的解析式忽视自变量0的函数值致错
已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，则函数f(x)的解析式为_______．
易错点7：使用换元法忽视新变量的取值范围致错
若f(2x)＝4x－2x，则f(x)＝________.
易错点8：忽视零点存在性定理前提条件而致错
对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解
易错点9：搞不清复合函数的自变量而致错
已知f(x2－1)的定义域为[0,3]，则f(2x－1)的定义域是( )
A. B.
C. D．
易错点10：搞不清函数图象左右平移规则而致错
将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．
五、刷好题
一．函数的定义域及其求法（共2小题）
1．（2021•黄浦区三模）函数f（x）＝的定义域为 ．
2．（2021•黄浦区三模）如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC．已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m2a万元，其中a，r，m为常数，设∠POA＝θ，总造价为y万元．
（1）把y表示成θ的函数y＝f（θ），并求出定义域；
（2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？
二．函数的值域（共1小题）
3．（2021•徐汇区校级三模）下列函数中，与函数y＝x3的值域相同的函数为（ ）
A．y＝（）x+1 B．y＝ln（x+1） C．y＝ D．y＝x+
三．函数的图象与图象的变换（共2小题）
4．（2022•徐汇区三模）函数f（x）＝（﹣1）sinx图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022•杨浦区模拟）定义域为[a，b]的函数y＝f（x）图象的两个端点为A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y＝f（x）图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称||的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为[1，2]上的函数中，曲径最小的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝x﹣ D．y＝sinx
四．复合函数的单调性（共2小题）
6．（2021•浦东新区三模）函数y＝的单调递减区间为 ．
7．（2021•徐汇区校级三模）函数y＝lgsin2x的单调递减区间为 ．
五．函数的最值及其几何意义（共2小题）
8．（2022•浦东新区校级模拟）若分段函数f（x）＝，将函数y＝|f（x）﹣f（a）|，x∈[m，n]的最大值记作Za[m，n]，那么当﹣2≤m≤2时，Z2[m，m+4]的取值范围是 ．
9．（2021•金山区二模）设m为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+m）＝f（x0）+f（m）成立，则
称函数f（x）为“G（m）函数”．
（1）若函数f（x）＝2x为“G（2）函数”，求实数x0的值；
（2）若函数f（x）＝lg，为“G（1）函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知f（x）＝x+b（b∈R）为“G（0）函数”，设g（x）＝x|x﹣4|．若对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2时，都有＞2成立，求实数t的最大值．
六．函数奇偶性的性质与判断（共2小题）
10．（2021•长宁区二模）设f（x）＝xα（α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}），则“y＝f（x）图象经过点（﹣1，1）”是“y＝f（x）是偶函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
11．（2021•奉贤区二模）设函数f（x）＝lg（1﹣cos2x）+cos（x+θ），θ∈[0，）．
（1）讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设θ＞0，解关于x的不等式f（+x）﹣f（﹣x）＜0．
七．抽象函数及其应用（共1小题）
12．（2021•上海模拟）设f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f（10+x）＝f（10﹣x），f（20﹣x）＝﹣f（20+x），则f（x）是（ ）
A．偶函数，又是周期函数
B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数
D．奇函数，但不是周期函数
八．函数恒成立问题（共4小题）
13．（2021•浦东新区校级三模）已知实数a＞0，函数f（x）＝，g（x）＝x+a，若对任意x1∈[﹣2a，2a]，总存在x2∈[﹣2a，2a]，使得f（x2）≤g（x1），则a的最大值为 ．
14．（2021•徐汇区二模）已知实数a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x对任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐标系xOy中，点（a，b）形成的区域记为Ω．若圆x2+y2＝r2上的任一点都在Ω中，则r的最大值为 ．
15．（2021•宝山区校级模拟）已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．
（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1]•g（x）的值域；
（2）给定n∈N，如果对任意的x∈[2n，2n+1]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
16．（2021•黄浦区三模）已知函数f（x）＝a﹣（a为实常数）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当f（x）为奇函数时，对任意x∈[1，6]，不等式f（x）≥恒成立，求实数u的最大值．
八.刷压轴
一、填空题
1．（2023·上海崇明·统考二模）若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________．
2．（2023·上海徐汇·统考二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________.
二、解答题
3．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
(3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.
4．（2023·上海金山·统考一模）若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”.
(1)判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）；
(2)已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值；
(3)已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值.
5．（2023·上海嘉定·统考二模）已知，等差数列的前项和为，记．
(1)求证：函数的图像关于点中心对称；
(2)若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围；
(3)若，求证：．反之是否成立？并请说明理由．
6．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“函数”.
(1)分别判断和是否为函数，并说明理由；
(2)若是函数，求正数的取值范围；
(3)已知奇函数及其导函数定义域均为.判断“在上严格减”是“为函数”的什么条件，并说明理由.
7．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
8．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）对于函数和，设集合，，若存在，，使得，则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数与“具有性质”，求实数的最大值和最小值；
(3)设且，，若函数与“具有性质”，求的取值范围.
9．（2023·上海浦东新·统考一模）已知定义域为R的函数.当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”.
(1)分别判断函数、是否为函数；
(2)是否存在实数b，使得函数，是函数？若存在，求实数b的取值范围；否则，证明你的结论；
(3)已知，其中.证明：若是R上的严格增函数，则对任意，都是函数.
10．（2023·上海崇明·统考二模）已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
(1)若，，求实数a的取值范围；
(2)证明：方程至多只有一个实根；
(3)若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．
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