考点04幂函数、指数函数、对数函数（9种题型4个易错考点）（解析版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

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考点04幂函数、指数函数、对数函数（9种题型4个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五、刷好题
六.刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．选择题（共1小题）
1．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（　　）
A．f（x）＝x2 B．f（x）＝sinx C．f（x）＝2x D．f（x）＝1
【分析】根据反函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．
【解答】解：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，
选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，
选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，
选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，
故选：C．
【点评】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．
二．填空题（共5小题）
2．（2021•上海）若方程组无解，则＝　0　．
【分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．
【解答】解：对于方程组，有，
根据题意，方程组无解，
所以D＝0，即，
故答案为：0．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．
3．（2021•上海）已知f（x）＝+2，则f﹣1（1）＝　﹣3　．
【分析】利用反函数的定义，得到f（x）＝1，求解x的值即可．
【解答】解：因为f（x）＝+2，
令f（x）＝1，即+2＝1，解得x＝﹣3，
故f﹣1（1）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了反函数定义的理解和应用，解题的关键是掌握原函数的定义域即为反函数的值域，考查了运算能力，属于基础题．
4．（2020•上海）已知函数f（x）＝x3，f﹣1（x）是f（x）的反函数，则f﹣1（x）＝　x，x∈R　．
【分析】由已知求解x，然后把x与y互换即可求得原函数的反函数．
【解答】解：由y＝f（x）＝x3，得x＝，
把x与y互换，可得f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．
5．（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为　[，+∞）　．
【分析】因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根⇒y＝f（x+a）与y＝x有交点⇒方程，有根．进而得出答案．
【解答】解：因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，
若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，
则y＝f（x+a）与y＝x有交点，
所以，
即a＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥，
故答案为：[，+∞）．

【点评】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题．
6．（2022•上海）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝　3　．
【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．
【解答】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），
整理得；
所以f﹣1（27）＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
二、考点清单

一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
二．幂函数的图象

三．幂函数的性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
四．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．
五．指数函数的单调性与特殊点
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
六．指数式与对数式的互化
ab＝N⇔logaN＝b；
alogaN＝N；logaaN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）
（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝；（换底法）
（5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法）
七．对数的运算性质
对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．
八．对数函数的定义域
一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．
九．对数函数的图象与性质

十．对数函数的单调性与特殊点
对数函数的单调性和特殊点：
1、对数函数的单调性
当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数
当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数
2、特殊点
对数函数恒过点（1，0）
十一．反函数
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色。
三、题型方法

一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共6小题）
1．（2023•宝山区校级模拟）已知幂函数的图像经过点P（2，4），则它是 　偶　函数．（判断奇偶性）
【分析】由已知先求出函数的解析式，再结合基本初等函数的奇偶性即可判断．
【解答】解：设f（x）＝xa，
则f（2）＝2a＝4，
所以a＝2，f（x）＝x2为偶函数．
故答案为：偶．
【点评】本题主要考查了幂函数解析式的求解及函数奇偶性的判断，属于基础题．
2．（2023•长宁区二模）当x∈[a，+∞）时，幂函数y＝x2的图像总在的图像上方，则a的取值范围为 　（1，+∞）　．
【分析】根据题意，解不等式得出x＞1，从而得出当x∈（1，+∞）时，幂函数y＝x2的图像总在的图像上方，然后即可求出a的取值范围．
【解答】解：由得，x3＞x＞0，解得x＞1，
∴当x∈（1，+∞）时，幂函数y＝x2的图像总在的图像上方，此时x∈[a，+∞），
∴a＞1，
∴a的取值范围为：（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了函数f（x）在g（x）的图象上方时，满足f（x）＞g（x），考查了计算能力，属于基础题．
3．（2023•黄浦区模拟）设m∈R，若幂函数y＝定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（　　）
A．1 B．4 C．7 D．10
【分析】幂函数y＝（m∈R）的图像关于y轴对称说明幂函数为偶函数，由此判断可得m的值．
【解答】解：由于幂函数y＝（m∈R）定义域为R，且图像关于y轴对称，故幂函数是偶函数，
且m2﹣2m+1＝（m﹣1）2为正的偶数，
则m的值可以为7．
故选：C．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．
4．（2023•黄浦区二模）若函数y＝xa的图像经过点（2，16）与（3，m），则m的值为 　81　．
【分析】把点（2，16）代入函数解析式求出a的值，再把（3，m）代入即可求出m的值．
【解答】解：∵函数y＝xa的图像经过点（2，16）与（3，m），
∴，解得，
即m的值为81．
故答案为：81．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义，属于基础题．
5．（2023•宝山区二模）若幂函数y＝xa的图像经过点，则此幂函数的表达式为 　y＝x3　．
【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得α的值，从而得出结论．
【解答】解：∵幂函数y＝xa的图像经过点，
∴＝3，∴α＝3，
则此幂函数的表达式为y＝x3．
故答案为：y＝x3．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
6．（2022•黄浦区二模）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα在区间（﹣∞，0）上单调递增，且其图像不过坐标原点，则α＝　﹣2　．
【分析】利用幂函数的性质直接求解．
【解答】解：．
若幂函数f（x）＝xα在区间（﹣∞，0）上单调递增，且其图像不过坐标原点，
则α＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．幂函数的图象（共1小题）
7．（2023•黄浦区校级模拟）如图所示是函数（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（　　）

A．m，n是奇数且
B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且
D．m，n是奇数，且
【分析】由幂函数性质及0＜x＜1时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定m，n的特征．
【解答】解：由幂函数性质可知：与y＝x恒过点（1，1），即在第一象限的交点为（1，1），
当0＜x＜1时，，则，
又图象关于y轴对称，
∴为偶函数，
∴，
又m，n互质，
∴m为偶数，n为奇数．
故选：B．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
三．有理数指数幂及根式（共1小题）
8．（2022•静安区二模）解指数方程：　x＝﹣3或x＝3+log32　．
【分析】取对数，解方程即可．
【解答】解：∵，
两边取对数，则（x+3）ln2＝（x+3）（x﹣3）ln3，
∴（x+3）[ln2﹣（x﹣3）ln3]＝0，
解得x＝﹣3或x＝3+log32，
故答案为：x＝﹣3或x＝3+log32．
【点评】本题考查了指数，对数的运算，解指数方程问题，考查转化思想，是基础题．
四．指数函数的单调性与特殊点（共1小题）
9．（2020•上海模拟）若2m＞2n，则下列结论一定成立的是（　　）
A．＞ B．m|m|＞n|n| C．ln（m﹣n）＞0 D．πm﹣n＜1
【分析】方法一：根据指数函数的性质可得m＞n，再分类讨论即可，
方法二：特殊值法
【解答】解：方法一：由2m＞2n得到m＞n．当m＞n＞0时，由不等式同向可乘性知m2＞n2，即m|m|＞n|n|；
当m＞0＞n时，m|m|＞0＞n|n|；
当n＜m＜0时，﹣n＞﹣m＞0，由不等式同向可乘性知n2＞m2，故﹣n2＞﹣m2，m|m|＞n|n|．
方法二：由2m＞2n得到m＞n，当m＝1.5，n＝1时，A不成立，C不成立，D不成立，
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数，不等式的性质，属于基础题．
五．对数的运算性质（共5小题）
10．（2023•黄浦区模拟）方程2x+log4x＝17的解为 　x＝4　．
【分析】设函数f（x）＝2x+log4x，x∈（0，+∞），由函数的单调性，结合特殊值，即可求得方程2x+log4x＝17的解．
【解答】解：设函数f（x）＝2x+log4x，x∈（0，+∞），由于函数y＝2x，y＝log4x在x∈（0，+∞）上均为增函数，
又f（4）＝24+log44＝16+1＝17，故方程2x+log4x＝17的解为x＝4．
故答案为：x＝4．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
11．（2023•闵行区二模）若实数x、y满足lgx＝m、y＝101﹣m，则xy＝　10　．
【分析】先把对数式化为指数式求出x，再利用有理数指数幂的运算性质求解．
【解答】解：∵实数x、y满足lgx＝m、y＝101﹣m，
∴x＝10m，
∴xy＝10m×101﹣m＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
12．（2023•上海模拟）若12a＝3b＝m，且，则m＝　2　．
【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．
【解答】解：∵12a＝3b＝m，∴a＝log12m，b＝log3m，
∴﹣＝﹣＝logm12﹣logm3＝logm4＝2，
∴m2＝4，
又∵m＞0，
∴m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．
13．（2023•静安区二模）若10x﹣10y＝10，其中x，y∈R，则2x﹣y的最小值为 　1+2lg2　．
【分析】由题意可知10x＝10y+10，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：∵10x﹣10y＝10，
∴10x＝10y+10＝2，当且仅当10y＝10，即y＝1时，等号成立，
两边平方得：102x≥4×10y+1，
∴≥4，即102x﹣y﹣1≥4，
∴2x﹣y﹣1≥lg4，
∴2x﹣y≥1+lg4＝1+2lg2，当且仅当y＝1，x＝1+lg2时，等号成立，
即2x﹣y的最小值为1+2lg2．
故答案为：1+2lg2．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
14．（2023•青浦区校级模拟）若实数b＞a＞1，且logab+logba＝，则3lna﹣lnb＝　0　．
【分析】利用换元法得到一元二次方程求出logab＝3，再利用对数的性质和运算法则求解．
【解答】解：∵b＞a＞1，∴logab＞1，设logab＝t，
∵logab+logba＝，
∴t+＝，即3t2﹣10t+3＝0，
∵t＞1，∴t＝3，
∴logab＝3，∴b＝a3，
∴3lna﹣lnb＝3lna﹣lna3＝3lna﹣3lna＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，对数的性质和运算法则，属于中档题．
六．对数函数的定义域（共1小题）
15．（2023•浦东新区三模）函数y＝lg（1+x）﹣lg（x﹣1）的定义域是 　（1，+∞）　．
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：由题意得，
解得x＞1．
故答案为：（1，+∞）
【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
七．对数函数的图象与性质（共2小题）
16．（2023•普陀区二模）设a＞0且a≠1，若在平面直角坐标系xOy中，函数y＝loga（ax+2）与y＝loga的图像于直线l对称，则l与这两个函数图像的公共点的坐标为 　（﹣，0）　．
【分析】根据两函数的图象关于直线l对称，再结合底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称，可求得a，可得出答案．
【解答】解：y＝loga＝﹣loga（2x+a）＝log（2x+a），
因为函数y＝loga（ax+2）与y＝log（2x+a）的底数互为倒数，
函数y＝loga（ax+2）与y＝log（2x+a）的图像关于直线l对称，
所以函数y＝loga（ax+2）与y＝log（2x+a）的图像关于x轴对称，
即直线l为x轴，
所以ax+2＝2x+a，所以a＝2，
则两个函数分别为y＝log2（2x+2），y＝log（2x+2），
令log2（2x+2）＝0，log（2x+2）＝0，得2x+2＝1，解得x＝﹣，此时y＝0，
所以l与这两个函数图像的公共点的坐标为（﹣，0）．
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题考查函数的交点问题，考查函数图像的性质，属于中档题．
17．（2022•闵行区二模）已知函数的定义域为R，且对任意实数a，都满足f（a）≥f（﹣a），则实数m＝　1　．
【分析】根据条件得到f（a）＝f（﹣a），即f（x）＝log4（4x+m）﹣x为偶函数，根据f（﹣x）＝f（x）列出方程，求出实数m的值．
【解答】解：因为f（x）＝log4（4x+m）﹣x的定义域为R，所以4x+m＞0恒成立，
故m≥0，
又因为对任意实数a，都满足f（a）≥f（﹣a），
则对于实数﹣a，都满足f（﹣a）≥f（a），
所以f（a）＝f（﹣a），
所以f（x）＝log4（4x+m）﹣x为偶函数，
从而log4（4﹣x+m）+x＝log4（4x+m）﹣x，
化简得：（4x﹣1）（m﹣1）＝0，
要想对任意x，上式均成立，则m﹣1＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的奇偶性判断和运用，考查运算能力，运用定义法解题是关键，属于中档题．
八．对数函数的单调性与特殊点（共2小题）
18．（2023•浦东新区校级三模）函数f（x）＝2loga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 　（1，1）　．
【分析】由f（1）＝1即可得解．
【解答】解：已知函数f（x）＝2loga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1），
令2x﹣1＝1，
即x＝1，
则f（1）＝1，
即函数f（x）＝2loga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（1，1），
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查了对数函数的图象及性质，属基础题．
19．（2023•上海模拟）不等式lg（x﹣1）＜1的解集是　（1，11）　．（用区间表示）
【分析】由不等式可得可得0＜x﹣1＜10，从而求得不等式的解集．
【解答】解：由lg（x﹣1）＜1，可得0＜x﹣1＜10，求得1＜x＜11，故不等式的解集是（1，11），
故答案为 （1，11）．
【点评】本题主要对数函数的单调性和特殊点，对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．
九．反函数（共5小题）
20．（2023•浦东新区校级一模）设函数y＝f（x）＝2x+c的图象经过点（2，5），则y＝f（x）的反函数f﹣1（x）＝　log2（x﹣1）　．
【分析】由f（2）＝5，解得c＝1，得y＝f（x）＝2x+1，然后反解x后，对调x与f（x）可得．
【解答】解：依题意有：f（2）＝22+c＝5，解得：c＝1，所以f（x）＝2x+1，
∴2x＝f（x）﹣1，x＝log2 （f（x）﹣1），∴f﹣1（x）＝log2（x﹣1）
故答案为：log2 （x﹣1）
【点评】本题考查了反函数．属基础题．
21．（2022•普陀区二模）设函数的反函数为f﹣1（x），若集合A＝{x|f﹣1（x）≥2，x∈Z}，则由A中所有元素所组成的一组数据的中位数为 　5　．
【分析】先求出反函数，再求出集合A，根据中位数的定义可得．
【解答】解：y＝，则yx﹣y＝3x，即x＝，
∴f﹣1（x）＝，
∵集合A＝{x|f﹣1（x）≥2，x∈Z}，
∴≥2，x∈Z，
解得3＜x≤6，x∈Z，
∴A＝{4，5，6}，
∴由A中所有元素所组成的一组数据的中位数为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了反函数的定义和中位数，属于基础题．
22．（2022•静安区二模）若函数的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞3的解集是 　　．
【分析】根据反函数的定义求出f﹣1（x），解不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：由y＝2++（x＞0），
得＝y﹣1（y＞1），
则+1＝，
则x＝，
故f﹣1（x）＝，
不等式f﹣1（x）＞3，即＞3，
即＜0，故1＜＜，
解得2＜x＜，
故答案为：（2，）．
【点评】本题考查了反函数的定义，考查解不等式问题，是基础题．
23．（2022•黄浦区二模）设a为常数，函数．
（1）若a＝0，求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；
（2）若a≤0，根据a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由．
【分析】（1）利用y把x表示出来即可求得结果；
（2）对a分情况讨论，利用函数奇偶性的定义判断即可得出结论．
【解答】解：（1）由，得，于是，且y≠0．
因此，所求反函数为．
（2）当a＝﹣1时，，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
，故函数y＝f（x）是奇函数；
当a≤0且a≠﹣1时，函数y＝f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣a，+∞），函数y＝f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
【点评】本题考查了反函数的求解以及函数奇偶性的判断，属于中档题．
24．（2022•上海模拟）已知函数f（x）＝ax+k（a＞0且a≠1，常数k∈R）的图像过点（﹣1，1），其反函数y＝f﹣1（x）的图像过点（8，2），若将y＝f﹣1（x）的图像向左平移3个单位，向上平移2个单位，就得到函数y＝g（x）的图像，则g（5）的值为 　4　．
【分析】直接利用反函数和指数函数及对数函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数f（x）＝ax+k（a＞0且a≠1，常数k∈R）的图像过点（﹣1，1），
则：a﹣1+k＝1，
故﹣1+k＝0，解得k＝1；
其反函数y＝f﹣1（x）的图像过点（8，2），
故a2+k＝8，故a＝2；
所以f（x）＝2x+1；
故f﹣1（x）＝log2x﹣1，
将y＝f﹣1（x）的图像向左平移3个单位，向上平移2个单位，就得到函数y＝g（x）的图像，
故g（x）＝log2（x+3）+1；
所以g（5）＝log2（5+3）+1＝4；
故答案为：4．
【点评】本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的求值，反函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
四、易错分析

易错点1：幂函数中忽视定义域致错
1.已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1) 【错解】∵f(x)＝＝(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴，
解得3＜a. 答案：(3,＋∞)．
【错因】没有考虑函数的定义域，
【正解】∵f(x)＝x＝(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴
解得3＜a＜5. 答案：(3,5)
易错点2：使用换元法时没有注意注意新元的取值范围致错
2.已知函数y＝4x－3·2x＋3，若其值域为[1,7]，则x可能的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0]
C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
【错解】选D　令t＝2x，则y＝t2－3t＋3＝2＋，其图象的对称轴为直线t＝.
当x∈[2,4]时，t∈[4,16]，此时y∈[7,211]，不满足题意；
当x∈(－∞，0]时，t∈(－∞,1]，此时y∈[1,3)，不满足题意；
当x∈(0,1]∪[2,4]时，t∈(－∞,2]∪[4,16]，此时y∈∪[7,211]，不满足题意；
当x∈(－∞，0]∪[1,2]时，t∈(－∞,1]∪[2,4]，此时y∈[1,7]，满足题意．故选D.
【错因】没有考虑新元t的取值范围，因为2x>0，所以t>0。
【正解】选D　令t＝2x(t>0)，则y＝t2－3t＋3＝2＋，其图象的对称轴为直线t＝.当x∈[2,4]时，t∈[4,16]，此时y∈[7,211]，不满足题意；当x∈(－∞，0]时，t∈(0,1]，此时y∈[1,3)，不满足题意；当x∈(0,1]∪[2,4]时，t∈(1,2]∪[4,16]，此时y∈∪[7,211]，不满足题意；当x∈(－∞，0]∪[1,2]时，t∈(0,1]∪[2,4]，此时y∈[1,7]，满足题意．故选D.
易错点3：对数函数中忽视对底数的讨论致错
3．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【错解】已知f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
知f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1 【错因】没有对底数a进行分情况讨论，
【正解】当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
知f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1 当01在区间[1,2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝
loga(8－a)>1，且8－2a>0.解得a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
易错点4：忽视对数式中真数大于零致错
4．函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．
【错解】令g(x)＝x2＋2x－3，则函数g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是(－1，＋∞)．
【错因】没有保证对数式中真数大于零，
【正解】由题意，函数y＝log5(x2＋2x－3)满足x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1，即函数
y＝log5(x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令g(x)＝x2＋2x－3，则函数g(x)
在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数
y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是(1，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为(　 )
A.∪[2，＋∞) B.∪(1,2]
C.∪[2，＋∞) D．∪(1,2]
【错解】选A　当00恒成立，所以，解得0 当a>1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u>0恒成立，所以，解得a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)．
【错因】没有保证对数式中真数大于零，
【正解】选C　当00恒成立，所以解得≤a≤；当a>1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u>0恒成立，所以解得a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)．
五、刷好题

一．选择题（共2小题）
1．（2021•静安区二模）函数y＝x2（x≤0）的反函数为（　　）
A．y＝（x≥0） B．y＝﹣（x≥0） C．y＝（x≤0） D．y＝﹣（x≤0）
【分析】利用反函数的求法即可得出．
【解答】解：由y＝x2（x≤0），解得（y≥0），将x与y互换可得：（x≥0）．
故选：B．
【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题．
2．（2021•浦东新区校级模拟）已知函数的反函数图象的对称中心是（﹣1，3），则实数a的值是（　　）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【分析】求出原函数的对称中心，化简函数的表达式，即可求出a的值．
【解答】解：函数的反函数图象的对称中心是（﹣1，3），所以原函数的对称中心为（3，﹣1），
函数化为，所以a+1＝3，所以a＝2．
故选：A．
【点评】掌握基本函数的对称中心，反函数的对称性，是解答本题的关键，考查计算能力．
二．填空题（共23小题）
3．（2022秋•浦东新区校级期末）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（3）＝　　．
【分析】求出幂函数的解析式，然后求解f（3）的值．
【解答】解：因为幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），
所以幂函数的解析式为：f（x）＝，
则f（3）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．
4．（2023春•松江区校级月考）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（﹣2）＝　　．
【分析】设出幂函数的解析式，由图象过（，8）确定出解析式，然后令x＝﹣2即可得到f（﹣2）的值．
【解答】解：设f（x）＝xa，因为幂函数图象过，
则有8＝，∴a＝﹣3，即f（x）＝x﹣3，
∴f（﹣2）＝（﹣2）﹣3＝﹣
故答案为：﹣
【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．
5．（2021•杨浦区校级三模）幂函数y＝（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m＝　0　．
【分析】根据幂函数的性质，可得m2+2m﹣3＜0，解不等式求得自然数解，即可得到m＝0．
【解答】解：由幂函数y＝xm2+2m﹣3在（0，+∞）为减函数，
则m2+2m﹣3＜0，
解得﹣3＜m＜1．
由于m∈N，
则m＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查幂函数的性质，主要考查二次不等式的解法，属于基础题．
6．（2022秋•奉贤区校级期末）函数的定义域为　[3，+∞）　．
【分析】由2x﹣8≥0即可求得函数的定义域．
【解答】解：依题意得，2x﹣8≥0，
∴2x≥8＝23，又y＝2x为增函数，
∴x≥3．
∴函数的定义域为{x|x≥3}．
故答案为：[3，+∞）．
【点评】本题考查指数函数单调性的应用，属于基础题．
7．（2023春•嘉定区月考）若log2x＝3，则x＝　8　．
【分析】把对数式化为指数式即可得出．
【解答】解：∵log2x＝3，则x＝23＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了对数式化为指数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数是幂函数，则实数m＝　2　．
【分析】根据幂函数的定义，令m﹣1＝1，求出m的值．
【解答】解：∵函数是幂函数，
∴m﹣1＝1，∴m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了幂函数的定义，属于基础题．
9．（2022秋•徐汇区校级期末）把化成有理数指数幂的形式为 　　．
【分析】直接化根式为分数指数幂得答案．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查有理指数幂与根式，是基础题．
10．（2021•黄浦区三模）设f﹣1（x）为函数f（x）＝log2（4x﹣1）的反函数，则当f（x）＝2f﹣1（x）时，x的值为　1　．
【分析】根据题意函数过（x，y），（，x），代入解方程组，求出x．
【解答】解：f﹣1（x）为函数f（x）＝log2（4x﹣1）的反函数，
设y＝f（x）＝2f﹣1（x），函数过（x，y），反函数过（x，），
所以f（x）同时过（x，y），（，x），
代入，得，所以x＝1，
故答案为：1
【点评】考查函数，反函数的关系和对数的运算，基础题．
11．（2022秋•浦东新区校级期末）记函数y＝3ax﹣8﹣1所过定点为P，若P位于幂函数f（x）的图像上，则f（﹣27）＝　﹣3　．
【分析】由题意，根据指数函数的图象经过定点问题，得到点P的坐标，再根据幂函数的定义和性质，用待定系数法求出幂函数的解析式，从而得到f（﹣27）的值．
【解答】解：∵函数y＝3ax﹣8﹣1所过定点为P（8，2），P位于幂函数f（x）＝xα的图像上，
∴8α＝2，∴α＝，
则f（﹣27）＝＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，幂函数的定义和性质，属于基础题．
12．（2022秋•浦东新区校级期末）幂函数f（x）的图像经过点（2，4），则解析式f（x）＝　x2　．
【分析】利用待定系数法求解即可．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图像经过点（2，4），
∴2α＝4，∴α＝2，
∴f（x）＝x2，
故答案为：x2．
【点评】本题考查了利用待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．
13．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm（x≠0）是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m＝　3　．
【分析】由题意可得，m2﹣5m+7＝1且m＞0、m为奇数，由此求得m的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm（x≠0）是幂函数，
其图像分布在第一、三象限，
∴m2﹣5m+7＝1且m＞0、m为奇数，
则m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
14．（2022秋•普陀区校级期末）已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）的单调减区间为　（0，+∞）　．
【分析】设幂函数f（x）＝xα（α为常数），由图象过点（2，），可得＝2α，解得α即可得出．
【解答】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数），
∵图象过点（2，），∴＝2α，解得α＝﹣2．
∴f（x）＝．
则f（x）的单调减区间为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
【点评】本题考查了幂函数的定义及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（2022秋•金山区期末）将a•化为有理数指数幂的形式为 　　．
【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．
【解答】解：a•＝a•＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算，是基础题．
16．（2022秋•金山区校级期末）若m≠n，且m2﹣5m+1＝0，n2﹣5n+1＝0，则m2+n2的值为 　23　．
【分析】由题意，利用韦达定理，求得m2+n2＝（m+n）2﹣2mn 的值．
【解答】解：∵m≠n，且m2﹣5m+1＝0，n2﹣5n+1＝0，
∴m、n是方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根，
∴m+n＝5，m•n＝1，
则m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝25﹣2＝23，
故答案为：23．
【点评】本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．
17．（2023春•宝山区校级期中）指数函数y＝（a﹣1）x在区间[0，2]上的最大值为4，则实数a的值是 　3　．
【分析】利用指数函数的单调性求解即可．
【解答】解：①当a﹣1＞1，即a＞2时，指数函数y＝（a﹣1）x在区间[0，2]上单调递增，
则当x＝2时，函数取得最大值为y＝（a﹣1）2＝4，∴a﹣1＝2，∴a＝3，
②当0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2时，指数函数y＝（a﹣1）x在区间[0，2]上单调递减，
则当x＝0时，函数取得最大值为y＝（a﹣1）0＝1，∴a不存在，
综上，实数a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了指数函数的单调性，属于基础题．
18．（2022秋•徐汇区期末）当α∈R时，函数y＝xα﹣2的图像恒过定点A，则点A的坐标为 　（1，﹣1）　．
【分析】令幂函数的底数等于1，求得x、y的值，可得函数图像经过定点的坐标．
【解答】解：当α∈R时，对于函数y＝xα﹣2的图像，令x＝1，可得y＝﹣1，
故函数的图像恒过定点A（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】本题主要考查幂函数的图像经过定点问题，属于基础题．
19．（2022秋•浦东新区校级期末）函数y＝ax+1的图象过定点　（0，2）　．
【分析】利用a0＝1（a≠0）即可得出答案．
【解答】解：令x＝0，则y＝a0+1＝2，
∴函数y＝ax+1的图象过定点（0，2）．
故答案为（0，2）．
【点评】熟练掌握指数函数类型的函数图象与a0＝1（a≠0）是解题的关键．
20．（2022秋•普陀区校级期末）如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积会超过30m2；
③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3则有t1+t2＝t3；
其中正确的说法有　①②④　．（请把正确的说法的序号都填在横线上）．

【分析】根据其关系为指数函数，图象过（4，16）点，得到指数函数的底数为2，当t＝5时，s＝32＞30，利用指对互化做出三个时间的值，结果相等，根据图形的变化趋势得出命题③错误．
【解答】解：∵其关系为指数函数，
图象过（4，16）点，
∴指数函数的底数为2，故①正确，
当t＝5时，s＝32＞30，故②正确
4对应的t＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；
∵t1＝1，t2，＝log23，t3＝log26，
∴有t1+t2＝t3，故④正确，
综上可知①②④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查指数函数的变化趋势，解题的关键是题目中有所给的点，根据所给的点做出函数的解析式，从解析式上看出函数的性质．
21．（2022秋•普陀区校级期末）已知a＝lg2，则lg50＝　2﹣a　（用a表示）．
【分析】利用对数的运算法则求解．
【解答】解：∵a＝lg2，
∴lg50＝lg（5×10）＝lg5+lg10＝lg+1＝lg10﹣lg2+1＝2﹣lg2＝2﹣a，
故答案为：2﹣a．
【点评】本题考查对数式的化简求值，是基础题，解题时要注意对数运算法则的合理运用．
22．（2022秋•金山区校级期末）若ln2＝a，ln3＝b，则＝　3a﹣2b　.（结果用a、b表示）．
【分析】利用对数的运算性质求解．
【解答】解：ln（）
＝ln8﹣ln9
＝ln23﹣ln32
＝3ln2﹣2ln3
＝3a﹣2b，
故答案为：3a﹣2b．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．
23．（2021•徐汇区校级三模）已知函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）的反函数是g﹣1（x），则g﹣1（x）的定义域为　[2，2]　．
【分析】函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）＝•＝，根据单调性可得其值域．于是g﹣1（x）的定义域为原函数g（x）的值域．
【解答】解：函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）＝•＝，
由，解得1≤x≤3．
∴g（x）∈[2，2]，
则g﹣1（x）的定义域为原函数g（x）的值域，∴g﹣1（x）的定义域为∈[2，2]，
故答案为：[2，2]，
【点评】本题考查了互为反函数的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
24．（2021•浦东新区三模）数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数y＝log2（x+1）的反函数的图象上，则an＝　2n﹣1　．
【分析】先利用点（n，Sn）都在f（x）的反函数图象上即点（Sn，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于Sn的表达式；再利用已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式的方法即可求数列{an}的通项公式；
【解答】解：由题意得n＝log2（Sn+1）⇒sn＝2n﹣1．
n≥2时，an＝sn﹣sn﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，
当n＝1时，a1＝s1＝21﹣1＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1；
故答案为：2n﹣1
【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
25．（2021•崇明区二模）设f（x）＝lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为　　．
【分析】由题意，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：由题意，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增，
∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，
∴1﹣a＞a＞0，
∴a∈，
故答案为
【点评】本题考查解不等式，考查对数函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．
八.刷压轴

一、单选题
1．（2022·上海普陀·统考一模）设函数（且）在区间上是单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知函数在上单调递减，可求得，然后作出函数与函数的图象，可知两个函数在上的图象有两个交点，从而可得知函数在上有且只有一个零点，利用二次函数的零点分布可求得实数的取值范围，即可得解.
【详解】当时，，
二次函数图象的对称轴为直线，此时，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，不合乎题意；
当时，即当时，此时，
，
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，不合乎题意；
当时，即当时，，
此时函数在上单调递减，在上单调递减，
由题意可得，解得，此时.
当时，，可得，
令，可得，
因为，则，
如下图所示：

因为，所以，函数与函数在上的图象有两个交点，
由题意可知，函数与函数在上的图象有且只有一个交点，
联立，可得，
设，则函数在上有且只有一个零点，
二次函数的对称轴方程为，只需，解得.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
2．（2021·上海普陀·统考二模）已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：
①若，则；
②若，则．
其中正确的是（    ）
A．①与②均正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确
【答案】A
【分析】令，得到为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设，结合，利用直线的方程得到，进而得到，可判断①正确；②中，不妨设，得到点，利用直线的方程得到，进而得到，可判定②正确.
【详解】令函数，
可得函数为单调递增函数，
又由，即，
所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示，
①中，因为，且，则，
不妨设，
则点，此时直线的方程为，
可得，
则，
可得，
又由，所以，
即，即，所以①正确；
②中，若，不妨设，则，
不妨设，
则点，此时直线的方程为，
可得，
则，
可得，
又由，所以，
即，即，
所以②正确.
故选：A.
  
【点睛】方法点拨：令函数，得到函数为递增函数，且为奇函数，求得点和，结合直线和的方程，得出不等式关系式是解答的关键.

二、填空题
3．（2022·上海静安·统考二模）已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.
【答案】1
【分析】分、、、依次讨论的范围，进而判断是否恒成立，即可求解.
【详解】当时，，则不成立；
当，，取，，此时不成立；
当时，，则，对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；
当时，，当取最大值1，当时取最小值0，则，
对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；
综上可得，故实数的最大值为1.
故答案为：1.
4．（2021·上海松江·统考一模）对于定义域为D的函数f(x)，若存在且，使得，则称函数f(x)具有性质M，若函数，具有性质M，则实数a的最小值为__．
【答案】
【分析】设，由可得，结合可得 ，进而求得，由此得解．
【详解】解：设，由得，
则，故，
∴，
又，
∴，
∵，∴，
则，∴，
∴，故，
∴，则实数a的最小值为．
故答案为：．
5．（2021·上海宝山·上海交大附中校考模拟预测）设为，的反函数，则的最大值为_________.
【答案】
【分析】由函数是上的递增函数，得到的单调性相同，得出的定义域为，进而可得的最大值，即可求解.
【详解】由题意，函数是上的单调递增函数，
且为，的反函数，
所以函数与的单调性相同，
当时，函数取得最大值，
当时， ，
当时， ，
所以函数的定义域为，且当时，，
所以的最大值为，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了反函数的基本性质，函数的定义域与值域，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
6．（2020·上海金山·统考二模）我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足
，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________
【答案】
【分析】由题意结合平面向量数量积可得，即可得，进而可得，求出后，利用对数函数的性质即可得解.
【详解】由题意可得，当时，
，
，，
记
，
，
，
数列单调递增，且，，
由可得，，解得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.

三、解答题
7．（2021·上海·统考一模）已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数.
（1）判断，与，是否是非 减函数?
（2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围；
（3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求的值.
【答案】（1）在上不是非减函数，在上是非减函数；（2）；（3）.
【解析】（1）化简两个函数的解析式，结合二次函数和一次函数的单调性可得出结论；
（2）任取、且，由题中定义可得，通过作差法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；
（3）根据题意计算出，根据非减函数的定义得知，对任意的，，由已知条件得出，进而可得出，即可得解.
【详解】（1），
所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
则函数在区间上不是非减函数，
当时，，
所以，函数在区间上为非减函数；
（2）任取、且，即，
因为函数在上为非减函数，
有，
，， ，，
，则，则，，即，
因此，实数的取值范围是；
（3）由已知得，，得，
从而，，所以，，
因为函数为上的非减函数，
对任意的，，即，所以，，
，所以，，
所以，，
，则，因此，.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“非减函数”，解题时要充分理解“非减函数”的定义，本题第（2）问，在解题时充分利用定义，结合函数单调性、作差法以及参变量分离得出，进而可求得参数的取值范围；在求解第（3）问时，要结合赋值法以及非减函数的定义得出对任意的恒成立，再结合已知条件将所求函数值转化至已知区间进行求解.
8．（2020·上海杨浦·统考二模）已知，其中是实常数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求证：函数的零点有且仅有一个；
（3）若，设函数的反函数为，若是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证：.
【答案】（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析；
【分析】（1）直接解不等式即可；
（2）说明函数是增函数，然后由，可得结论；
（3）首先不等式变形：，即
，而，问题转化为证明是关于的减函数，即设，证明，利用反函数定义，设，由单调递增可得之间的大小关系，得.
作两个差，，并相减得，若，此式中分析左右两边出现矛盾，从而只能有，证得结论．
【详解】（1），所以，，易知，所以，所以.
（2）函数为增函数，且，由于.故在上必存在，使.又为增函数，所以函数的零点有且仅有一个.
（3）即证：.
，而，所以只需证是关于的减函数.
设，即证※大于0
设，由单调递增可得.
.
而，
两式相减得，
①
同理②，
①-②得：
.
若，则上式左侧，右侧矛盾，故※.证毕.
【点睛】本题考查函数的零点，反函数的概念，考查函数的单调性，主要考查转化与化归思想，利用反函数定义把反函数问题转化为原函数的问题求解．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题．
9．（2021·上海·统考一模）已知函数.
（1）解不等式；
（2）设均为实数，当时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数及的值，使得关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（3）设为实数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根，且，试将表示为关于的函数，并写出此函数的定义域.
【答案】（1）； （2）； （3），定义域为.
【分析】（1）把转化为或，分别求得不等式组的解集，即可求解；
（2）根据题意求得的范围，把不等式恒成立，转化为恒成立，结合基本不等式，即可求解；
（3）由题意得到，转化为是方程的两个根，且，并求得的范围，进而求得关于的函数，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
则不等式等价于或，
即或，即不等式的解集为.
（2）当时，的最大值为1，所以，
要使得不等式恒成立，
只需，即对任意恒成立，
因为，所以恒成立，
由，所以，
当且仅当时，即时等号成立，所以，
即的取值范围是.
（3）由函数，可得，
①若，则方程可变为，
即且；
②若，则方程可变为，
即且，
于是分别是方程的两个根，且，
，
故，其中定义域为.
10．（2021·上海宝山·上海交大附中校考模拟预测）已知，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，.
【分析】（1）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得；
（2）由得，令，对一切的恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围；
【详解】（1）因为，，
令，
∵，∴，所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值，
∴函数的值域为.
（2）由得，
令，∵，∴，
∴对一切的恒成立，
①当时，若时，；
当时，恒成立，即，
函数在单调递减，于是时取最小值-2，此时，
于是；
②当时，此时时，恒成立，即，
∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为-3，；
③当时，此时时，恒成立，即，
函数在单调递增，于是时取最小值，
此时，于是.
综上可得：当时，当时，当时，