考点09复数（7种题型5个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

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考点09复数（7种题型5个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五.、刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．复数的运算（共4小题）
1．（2023•上海）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝　 　．
2．（2021•上海）已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝　 　．
3．（2020•上海）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝　 　．
4．（2019•上海）已知z∈C，且满足＝i，求z＝　 　．
二．共轭复数（共6小题）
5．（2022•上海）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2＝　 　．
6．（2022•上海）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝　 　．
7．（2021•上海）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝　 　．
8．（2020•上海）已知复数z满足z+2＝6+i，则z的实部为　 　．
9．（2019•上海）设i为虚数单位，，则|z|的值为　 　
10．（2023•上海）已知z1，z2∈C且z1＝i（i为虚数单位），满足|z1﹣1|＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为 　 　．
二、考点清单

1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
<常用结论>
1．三个易误点
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
三、题型方法

一．虚数单位i、复数（共2小题）
1．（2023•普陀区校级模拟）已知i是虚数单位，则复数1﹣i的虚部是　 　．
2．（2023•宝山区二模）已知复数（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i＝3（其中i为虚数单位），则实数m＝　 　．
二．复数的代数表示法及其几何意义（共3小题）
3．（2023•长宁区二模）设复平面上表示2﹣i和3+4i的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2023•浦东新区模拟）设复数z满足|z﹣1|＝2，z在复平面内对应的点为（x，y），则（　　）
A．（x﹣1）2+y2＝4 B．（x+1）2+y2＝4
C．x2+（y﹣1）2＝4 D．x2+（y+1）2＝4
5．（2023•奉贤区校级三模）复数（a﹣1）+（2a﹣1）i（a∈R）在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是 　 　．
三．纯虚数（共2小题）
6．（2023•宝山区校级模拟）（sinθ﹣）+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ＝　 　．
7．（2023•黄浦区校级三模）若复数（1﹣i）（a+i）为纯虚数，则实数a＝　 　．
四．复数的运算（共21小题）
8．（2023•奉贤区二模）已知x∈R，y∈R，且x+i＝y+yi，i是虚数单位，则x+y＝　 　．
9．（2023•普陀区二模）设3i（i为虚数单位）是关于x的方程x2+m＝0（m∈R）的根，则m＝　 　．
10．（2023•黄浦区二模）设复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i（i为虚数单位），则z1•z2＝　 　．
11．（2023•闵行区校级二模）在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|＝　 　．
12．（2023•浦东新区校级一模）若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为　 　．
13．（2023•浦东新区校级三模）设z＝，其中i为虚数单位，则Imz＝　 　．
14．（2023•宝山区校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝　 　．
15．（2023•闵行区校级三模）已知复数z满足，则复数z的虚部为 　 　．
16．（2023•闵行区二模）已知复数z满足z（1﹣i）＝i（i为虚数单位），则z的虚部为 　 　．
17．（2023•松江区校级模拟）i2018＝　 　．
18．（2023•嘉定区校级三模）已知复数x满足方程x2＝﹣3，那么x＝　 　．
19．（2023•徐汇区校级三模）复数（其中i为虚数单位）的虚部是 　 　．
20．（2023•徐汇区校级三模）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数a的值为 　 　．
21．（2023•黄浦区校级三模）在复数集中，若复数z满足z2＝﹣1，则z＝　 　．
22．（2023•杨浦区二模）复数的虚部是 　 　．
23．（2023•浦东新区二模）若复数z满足z（1﹣i）＝1+2i（i是虚数单位），则复数z＝　 　．
24．（2023•普陀区校级模拟）复数3+2i（i为虚数单位）是实系数方程x2+ax+b＝0的一个解，则实数b＝　 　．
25．（2023•虹口区二模）复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1（2，1），Z2（1，﹣2），则z1+z2＝　 　．
26．（2023•黄浦区模拟）已知复数，|z2|＝2，z1z2是正实数，则复数z2＝　 　．
27．（2023•崇明区二模）设复数z满足（1﹣i）z＝2i（i是虚数单位），则z＝　 　．
28．（2023•杨浦区校级模拟）已知复数z在复平面内对应的点是A，其共轭复数在复平面内对应的点是B，O是坐标原点，若A在第一象限，且OA⊥OB，则＝　 　．
五．共轭复数（共7小题）
29．（2023•长宁区校级三模）在复平面内，复数z所对应的点为（1，1）．则＝　 　．
30．（2023•金山区二模）若复数z＝2+i（i是虚数单位），则＝　 　．
31．（2023•松江区校级模拟）复数（i为虚数单位），则＝　 　．
32．（2023•虹口区二模）已知复数（i为虚数单位），则z•＝（　　）
A． B． C． D．2
33．（2023•浦东新区校级模拟）复数z满足，则|z|＝　 　．
34．（2023•松江区二模）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则||＝　 　．
35．（2023•上海模拟）已知复数z＝1+2i，则＝　 　．

六．复数的模（共18小题）
36．（2023•杨浦区校级三模）已知i是虚数单位，复数z满足z3＝2+2i，则|z|＝　 　．
37．（2023•宝山区校级三模）复数的模为 　 　．
38．（2023•虹口区校级三模）若复数z满足z+＝0，则|z|＝　 　．
39．（2023•上海模拟）设复数z满足（1﹣i）z＝﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝　 　．
40．（2023•普陀区校级三模）已知i为虚数单位，复数z＝i（1+3i），则＝　 　．
41．（2023•闵行区校级一模）若复数z是x2+x+2＝0的一个根，则|z|＝　 　．
42．（2023•嘉定区校级三模）若复数z是x2﹣0.1x+3＝0的一个根，则|z|＝　 　．
43．（2023•徐汇区三模）设i是虚数单位，则|i6+i7+i8|＝　 　．
44．（2023•静安区二模）若复数（i为虚数单位），则|z﹣i|＝　 　．
45．（2023•青浦区校级模拟）已知z1、z2是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的两个根，则|z2|＝　 　．
46．（2023•浦东新区三模）已知复数z满足|z﹣2|＝|z|＝2，则z3＝　 　．
47．（2023•青浦区二模）已知复数z满足，则|z|＝　 　．
48．（2023•黄浦区校级模拟）已知i是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为 　 　．
49．（2023•浦东新区模拟）已知复数z满足（2+i）z＝3+4i（ i为虚数单位），则|z|＝　 　．
50．（2023•普陀区校级模拟）若复数，则|z﹣i|＝　 　．
51．（2023•嘉定区二模）已知复数z＝3+4i（i为虚数单位），则|z|＝　 　．
52．（2023•松江区模拟）设复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z的模为 　 　．
53．（2023•黄浦区校级三模）若复数z＝1+i（i为虚数单位）是方程x2+cx+d＝0（c、d均为实数）的一个根，则|c+di|＝　 　
七．复数的三角表示（共7小题）
54．（2022春•嘉定区校级期末）复数的三角形式（用辐角主值表示）为 　 　．
55．（2022春•虹口区校级期末）已知复数，若复数z满足2iz＝z1，则复数z的辐角主值为 　 　．
56．（2022春•浦东新区校级月考）若复数（i为虚数单位），则argz＝　 　．
57．（2022春•浦东新区校级期末）的三角形式是（　　）
A．
B．
C．
D．
58．（2022春•浦东新区校级期末）复数1+i的辐角主值是 　 　．
59．（2022春•闵行区校级期末）将复数化为三角形式：＝　 　．
60．（2022•宝山区校级开学）已知复数z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i为虚数单位），ω＝．
（Ⅰ）若0＜θ＜2π，求满足|ω|＝1的复数z所组成的集合；
（Ⅱ）若0＜θ＜π，试讨论复数ω的辐角（用θ表示）．







四、易错分析

易错点1：纯虚数的条件不明晰
1、若复数是纯虚数,则实数（ ）
A. B. C. D.
易错点2：对复数的虚部理解错误
2、复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A. B. C. D.
易错点3：乱用判别式
3、已知关于x的一元二次方程有实数根,求的取值范围.








易错点4：忽略虚数不能比较大小
4、给出下列命题：①；②；③,其中正确命题的个数为 .
A.0 B.1 C.2 D. 3
易错点5：利用解题,忽略前提条件：为实数
5、已知x为实数,y为纯虚数,且,求的值.
A. B. C. D.







五.刷压轴

一、单选题
1．（2022·上海奉贤·统考一模）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
2．（2022·上海·高三专题练习）关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知，且为虚数单位，则的最大值是 （    ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北·校联考模拟预测）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）设数集满足下列两个条件：（1）；（2），若则. 则下论断正确的是（    ）
A．中必有一个为0
B．a，b，c，d中必有一个为1
C．若且，则
D．，使得
三、填空题
6．在下列命题中,正确的命题有 (填写正确的序号)
①若,则的最小值是6;
②如果不等式的解集是,那么恒成立;
③设x,,且,则的最小值是;
④对于任意,恒成立,则t的取值范围是;
⑤“”是“复数()是纯虚数”的必要非充分条件;
⑥若,,,则必有;
7．（2022秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 .
8．（2022春·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知，且z是复数，当的最大值为3，则 .
9．（2022·上海·高三专题练习）已知函数为偶函数，为奇函数，其中、为常数，则
10．已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期为 .
11．已知数列是无穷等比数列，它的前项的和为，该数列的首项是二项式展开式中的的系数，公比是复数的模，其中是虚数单位，则= ．
12．在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数，当且仅当，下面命题①1i0;②若，，则；③若，则对于任意，；④对于复数，则其中真命题是
四、解答题
13．（2022·上海·高三校考强基计划）已知函数，其中，证明：存在，且.的根的实部全部大于0.








14．（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）设b、c均为实数，关于的方程.
(1)是否存在实数b、c，使得该方程在复数集上仅有两个共轭虚根，如存在，请写出一组b、c；如不存在，请说明理由；
(2)试求该方程在复数集上有最多个互不相等的根时，实数b、c满足的条件.






15．已知复数和，其中均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有．
(1)试求m的值，并分别写出和用x、y表示的关系式；
(2)将作为点P的坐标，作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
(3)是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．








16．已知复数．
(1)若复数在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)若虚数是方程的一个根，求实数m的值．




17．已知的顶点分别为，，．
(1)若，，，求的值；
(2)若虚数是实系数方程的根，且是钝角，求的取值范围．







18．已知复数，为虚数单位，.
（1）若为实数，求的值；
（2）若复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围.








19．设复数，其中，为虚数单位，，，复数在复平面上对应的点为．
（1）求复数的值；
（2）证明：当时，；
（3）求数列的前100项之和．




20．设复数，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位，，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn.
（1）求复数z2，z3，z4的值；
（2）是否存在正整数n使得？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；
（3）求数列的前项之和.



21．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）设复平面上点对应的复数（为虚数单位）满足，点的轨迹方程为曲线. 双曲线:与曲线有共同焦点，倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线的交点是、，，为坐标原点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求直线的方程；
（3）设△PQR三个顶点在曲线上，求证：当是△PQR重心时，△PQR的面积是定值.



22．已知复数．
(1)求的最小值；
(2)设，记表示复数z的虚部).将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.试求函数的解析式．





23．（2022·全国·高三专题练习）称一个复数数列为“有趣的”，若，且对任意正整数n，均有．求最大的常数C，使得对一切有趣的数列及任意正整数m，均有．



24．（2021·全国·高三竞赛）设、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明：
（1）；
（2）数列恒为常数．





25．（2021·全国·高三专题练习）已知复数，，且.
（1）若复数对应的点在曲线上运动，求复数z所对应的点的轨迹方程；
（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；
（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一个定点，并求出此定点的坐标.