考点10空间向量与立体几何（18种题型10个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

这是一份考点10空间向量与立体几何（18种题型10个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用），共27页。
考点10空间向量与立体几何（18种题型10个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五. 刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．选择题（共1小题）
1．（2023•上海）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　）

A．DD1 B．AC C．AD1 D．B1C
二．填空题（共1小题）
2．（2023•上海）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 　 　种．
三．解答题（共2小题）
3．（2023•上海）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4．
（1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1；
（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小．






4．（2023•上海）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝3，AC＝4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．
（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；
（2）求直线ME到平面PAB的距离．









二、考点清单

1．特殊的四棱柱

2．球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝.
3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
4．正四面体的表面积与体积
棱长为a的正四面体，其表面积为a2，体积为a3.
5．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝a，外接球半径R外＝a.
6．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
7．等角定理的引申
(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．
(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．
8．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
9.线、面平行的性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
(7)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(8)垂直于同一平面的两条直线平行．
10．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
11．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
12．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
13．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
14．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
15．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
16．利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
17.在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.
(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
18.利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).
19.求点到平面的距离的四步骤

20.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
21.利用向量法求两平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)
三、题型方法

一．棱柱的结构特征（共2小题）
1．（2023•闵行区校级一模）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，鳖臑的个数为（　　）
A．48 B．36 C．24 D．12
2．（2023•嘉定区二模）已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为R1，与该正方体每条棱都相切的球半径为R2，过该正方体所有顶点的球半径为R3，则下列关系正确的是（　　）
A．R1：R2：R3＝：2 B．R1+R2＝R3
C．+＝ D．+＝
二．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共5小题）
3．（2023•浦东新区校级模拟）已知圆锥的轴截面为正三角形，则其侧面展开图的圆心角为 　 　．
4．（2023•长宁区校级三模）若一个圆柱的侧面积是4π，高为1，则这个圆柱的体积是 　 　．
5．（2023•嘉定区模拟）某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为　 　．
6．（2023•闵行区校级二模）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，CB＝3，将△ABC绕边AB旋转一周，所得到几何体的体积为 　 　．
7．（2023•青浦区校级模拟）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为 　 　．
三．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共5小题）
8．（2023•浦东新区二模）若圆柱的高为10，底面积为4π，则这个圆柱的侧面积为 　 　．（结果保留π）
9．（2023•黄浦区校级三模）已知正方形ABCD的边长是1，将△ABC沿对角线AC折到△AB′C的位置，使（折叠后）A、B′、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为 　 　．
10．（2023•黄浦区二模）如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为
　 　cm2．

11．（2023•奉贤区二模）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1、O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为 　 　．
12．（2023•松江区模拟）已知圆锥的底面半径为2，底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥的侧面积为 　 　．
四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共11小题）
13．（2023•闵行区二模）已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为 　 　．
14．（2023•徐汇区二模）如图所示，圆锥SO的底面圆半径OA＝1，侧面的平面展开图的面积为3π，则此圆锥的体积为 　 　．

15．（2023•普陀区校级模拟）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，AP＝AB＝4，则正四棱锥的体积为 　 　．

16．（2023•松江区二模）将如图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为50mm的直立的圆柱形容器内，则液面高度为 　 　mm．

17．（2023•嘉定区二模）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若点A、B、C、D在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为 　 　．
18．（2023•普陀区校级三模）一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为　 　cm3．

19．（2023•杨浦区校级模拟）若某圆锥高为3，其侧面积与底面积之比为2：1，则该圆锥的体积为 　 　．
20．（2023•虹口区校级模拟）如图，已知a，b是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，且，动点P，Q分别位于直线a，b上，若直线PQ与AB所成的角，三棱锥A﹣BPQ的体积的最大值为 　 　．

21．（2023•奉贤区校级三模）一个正方体和一个球的表面积相同，则正方体的体积V1和球的体积V2的比值＝　 　．
22．（2023•嘉定区校级三模）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S1和S2，体积分别为V1和V2.若S1＝2S2，则＝　 　．
23．（2023•松江区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝4，BC＝3，AB＝5．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）设AC1与底面ABC所成角的大小为60°，求三棱锥C﹣ABC1的体积．


五．球的体积和表面积（共5小题）
24．（2023•虹口区二模）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝60°，P为该球面上的动点，若三棱锥P﹣OAB体积的最大值为6，则球O的表面积为 　 　．
25．（2023•浦东新区校级三模）一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为　 　．
26．（2023•嘉定区模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝，BC＝3，点P在棱BB1上，且PA⊥PC1，当△APC1的面积取最小值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 　 　．

27．（2023•徐汇区二模）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱CC1的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（　　）
①存在点G，使OD垂直于平面EFG；
②对于任意点G，OA平行于平面EFG；
③直线EF被球O截得的弦长为；
④过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为．

A．0 B．1 C．2 D．3
28．（2023•虹口区校级三模）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，P、Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论：
①三角形SPQ面积的最大值为2；②三棱锥O﹣SPQ体积的最大值为；③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为9π．
以上所有正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
六．平面的基本性质及推论（共1小题）
29．（2023•黄浦区校级三模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（　　）

A．不存在 B．有1条 C．有2条 D．有无数条
七．异面直线及其所成的角（共1小题）
30．（2023•浦东新区校级一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC，D是BC的中点．
（1）求证：BC⊥平面A1AD；
（2）若∠BAC＝90°，BC＝4，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8，求异面直线A1D和AB1所成的角的大小．






八．空间中直线与直线之间的位置关系（共2小题）
31．（2023•黄浦区校级三模）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　）

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
32．（2023•长宁区二模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P在直线AD1上，Q为线段BD的中点．则下列说法不正确的是（　　）

A．存在点P，使得PQ⊥A1C1
B．存在点P，使得PQ∥A1B
C．直线PQ始终与直线CC1异面
D．直线PQ始终与直线BC1异面
九．空间中直线与平面之间的位置关系（共4小题）
33．（2023•金山区二模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且AD＝3AE，BC＝3BF，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（　　）

A．直线AB∥直线CD B．直线PQ∥直线ED
C．直线AB⊥直线PQ D．直线PQ∥平面ADE
34．（2023•嘉定区模拟）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①④ D．②④
35．（2023•闵行区校级三模）已知x，y，z是空间的直线或平面，要使命题“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”是真命题，x，y，z可以是（　　）
A．x，y，z是三个不同的平面
B．x，z是两条不同的直线，y是平面
C．x，y，z是三条不同的直线
D．x，y是两条不同的直线，z是平面
36．（2023•浦东新区三模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（　　）

A．MN与CC1垂直 B．MN与平面ACC1A1垂直
C．MN与DC平行 D．MN与平面BDA1平行
一十．直线与平面垂直（共2小题）
37．（2023•嘉定区校级三模）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在（　　）

A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部
38．（2023•杨浦区校级模拟）如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB∥NC，MN⊥MB．
（1）求证：平面AMB∥平面DNC；
（2）若MC⊥CB，求证：BC⊥AC．

一十一．空间中的点的坐标（共1小题）
39．（2023•黄浦区模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，3）关于平面yOz对称的点的坐标是 　 　．
一十二．共线向量与共面向量（共1小题）
40．（2023•浦东新区三模）空间向量＝（2，2，﹣1）的单位向量的坐标是 　 　．
一十三．空间向量的数量积运算（共1小题）
41．（2023•徐汇区三模）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在正方体的12条棱上（包括顶点）运动，则的取值范围是 　 　．
一十四．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共1小题）
42．（2023•松江区二模）已知空间向量，，，若，则λ＝　 　．

一十五．平面的法向量（共1小题）
43．（2023•静安区二模）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（　　）
A．＝（1，0，0），＝（﹣2，0，0）
B．＝（1，3，5），＝（1，0，1）
C．＝（1，﹣1，3），＝（0，3，1）
D．＝（0，2，1），＝（﹣1，0，﹣1）
一十六．直线与平面所成的角（共6小题）
44．（2023•静安区二模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为正方形BCC1B1的中心，则直线EF与侧面BB1C1C所成角的正切值是 　 　．

45．（2023•浦东新区校级三模）如图，直角三角形ABC和等边三角形ABD所在平面互相垂直，AB＝AC＝2，E是线段AD上一点．
（Ⅰ）设E为AD的中点，求证：BE⊥CD；
（Ⅱ）若直线CD和平面BCE所成角的正弦值为，求的值．







46．（2023•普陀区校级模拟）已知平面α、β所成角为80°，P为两平面外一点，则过点P且与平面α、β所成角均为40°的直线有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
47．（2023•普陀区校级三模）如图，在四棱锥C﹣ABED中，正方形ABED的边长为2，平面ABED⊥平面ABC，且BC⊥AC，，点G，F分别是线段EC，BD的中点．
（1）求证：直线GF∥平面ABC；
（2）求直线GF与平面BDE所成角的大小．




48．（2023•虹口区校级三模）已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，半径为2，母线SA、SB的长为2，∠AOB＝90°且M为线段AB的中点．
（1）证明：平面SOM⊥平面SAB；
（2）求直线SM与平面SOA所成角的大小．






49．（2023•闵行区校级二模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F．
（1）证明：点F为B1C1的中点；
（2）若点M为棱A1B1上一点，且直线MF与平面CDE所成角的正弦值为，求的值．






一十七．二面角的平面角及求法（共6小题）
50．（2023•浦东新区校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，点E，F分别为PA，PD的中点，AB＝BC＝2，AD＝AP＝4．
（1）证明：直线EF∥平面PBC；
（2）求二面角F﹣CD﹣B的余弦值．





51．（2023•浦东新区二模）如图，三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AE⊥AD，AB⊥AD，BC∥AD，AB＝AE＝BC＝2，AD＝4，F、H分别为ED、EA的中点．
（1）求证：BH∥平面AFC；
（2）求平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值．





52．（2023•闵行区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，AB＝4，点E在线段AB上，且BE＝AB．
（1）求证：CE⊥平面PBD；
（2）求二面角P﹣CE﹣A的余弦值．









53．（2023•浦东新区校级一模）在120°的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是　 　．
54．（2023•黄浦区校级三模）已知，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AC＝1，延长CB至D，使CB＝BD．
（1）求证：CA⊥DA1；
（2）求平面B1AD与平面ADC所成锐二面角的余弦值．







55．（2023•黄浦区二模）如图，△ABD与△BCD都是等腰直角三角形．其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点．设二面角A﹣BD﹣C的大小为α，当α在区间（0，π）内变化时、下列结论正确的是（　　）

A．存在某一α值，使得AC⊥BD
B．存在某一α值，使得EF⊥BD
C．存在某一α值，使得EF⊥CD
D．存在某一α值，使得AB⊥CD
一十八．点、线、面间的距离计算（共5小题）
56．（2023•宝山区二模）四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．
（1）求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）证明：OE∥平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．






57．（2023•黄浦区二模）如图，多面体A1C1D1ABCD是由棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1沿平面A1BC1截去一角所得到在棱A1C1上取一点E，过点D1，C，E的平面交棱BC1于点F．
（1）求证：EF∥A1B；
（2）若C1E＝2EA1，求点E到平面A1D1CB的距离以及ED1与平面A1D1CB所成角的大小．




58．（2023•奉贤区校级三模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，P在平面BCC1B1上，A，P之间的距离为5，则C1、P之间的最短距离为 　 　．
59．（2023•杨浦区二模）如图，一个由四根细铁杆PA、PB、PC、PD组成的支架（PA、PB、PC、PD按照逆时针排布），若∠APB＝∠BPC＝∠CPD＝∠DPA＝，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O到点P的距离是（　　）

A． B． C．2 D．
60．（2023•黄浦区校级模拟）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上（含边界），则线段AP的最小值等于 　 　．

四、易错分析

一、混淆线面角和平面的法向量与直线方向向量夹角的关系致错
1.如图，在正方体中，E为的中点．求直线与平面所成角的正弦值．

二、忽略两平面法向量的夹角与二面角平面角的关系致错
2、如图所示的几何体是由棱台ABC－A1B1C1和棱锥D－AA1C1C拼接而成的组合体,其底面四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,BB1⊥平面ABCD,BB1=B1C1=1.求二面角A1-BD-C1的余弦值.









三、忽略异面直线所成角与向量夹角的关系致错
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝2，则异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为(　 )
A. B．－ C．－ D.
四、忽视异面直线所成角的范围致错
4．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，异面直线CE与C′A所成角的余弦值是（       ）

A． B． C． D．
五、误用垂直性质定理致错
5、已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；　
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是(　　)
A．3　　　　 B．2 C．1 D．0
六、判断线面、线线位置关系考虑不全致错
6．若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是________．
七、证明线面平行、面面平行条件表达不全致错
7．如图，四棱锥中，四边形ABCD是矩形，，AD＝2，为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别为PC、PB的中点．证明：平面PAD；





八、分析问题不全面致错
8．圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的体积是________．
九、斜二测画法中混淆原图与直观图关系致错
9．如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是________．


十、混淆几何体的表面积与侧面积致错
10.如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为(　 )
A．4π B．(2＋4)π
C．(3＋4)π D．(4＋4)π

五.刷压轴

一、单选题
1．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（    ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，四棱锥的外接球的表面积是
C．的最小值为
D．存在唯一的实数对，使得平面PDF
2．（2021·上海闵行·统考一模）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F(可与端点重合)，则四棱锥的体积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·上海徐汇·位育中学校考三模）如图，正方体中，、分别是、的中点，过点、、的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知，，是空间中两两不同的三个单位向量，且．则的取值范围是 ．
5．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）在正四棱柱中，，E 为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为 .
6．（2023·上海嘉定·校考三模）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，.记，，，，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有 .
  
①
②；
③；
④.
7．（2023·上海·模拟预测）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ．
8．（2021·上海黄浦·格致中学校考三模）在空间直角坐标系中，点满足：，平面过点，且平面的一个法向量，则点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于 .
9．（2023·上海·统考模拟预测）若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是 .
10．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知，对任意都有，则实数的最小值为 .
三、解答题
11．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）如图（1），在直角梯形中，为的中点，四边形为正方形，将沿折起，使点到达点，如图（2），为的中点，且，点为线段上的一点.

（1）证明：；
（2）当与夹角最小时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.





12．（2020·上海·统考模拟预测）正四棱锥的底面正方形边长是3，是在底面上的射影，，是上的一点，过且与、都平行的截面为五边形．

（1）在图中作出截面，并写出作图过程；
（2）求该截面面积的最大值．



13．（2022·上海奉贤·统考一模）如图，在正四棱锥中，，分别为的中点，平面与棱的交点为.

(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求平面与平面所成锐二面角的大小；
(3)求点的位置.





14．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是矩形，且AD＝2，AB＝PA＝1，平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．

(1)证明：；
(2)求四棱锥P﹣ABCD的表面积；
(3)求直线PE与平面PFD所成角的大小．




15．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．

(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
(2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．