2022-2023学年福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港区第五中学高二上学期期中联考数学含答案

这是一份2022-2023学年福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港区第五中学高二上学期期中联考数学含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港区第五中学高二上学期期中联考数学 一、单选题1．设，向量，，，且，，则（    ）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】通过，，可列式求出，则可求出，进而求出.【详解】解：，，得，又，则，得，，，.故选：C.【点睛】本题考查空间向量垂直，平行，模的坐标表示，是基础题.2．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）．A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】根据两直线平行求出参数的值，再将直线方程化为、对应系数一致，最后利用距离公式计算可得.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线，即，即，所以两平行线之间的距离.故选：B3．如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】利用向量的三角形法则及平行四边形法则和向量形式的中点公式即可得出．【详解】、分别是对边、的中点，，． ，因此，．故选：D4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义结合向量数量积运算即可计算作答.【详解】因空间向量，，，，所以向量在向量上的投影向量是.故选：C5．与圆都相切的直线有（    ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的位置关系的条件判定两圆相外切，从而得到公切线的条数.【详解】的圆心坐标为,半径为；化为标准方程为,圆心坐标为,半径为，圆心距,∴两圆相外切，故两圆的公切线有3条.故选：C.【点睛】本题考查两圆的公切线的条数，关键是判定两圆的位置关系，当两圆相离时有4条公切线，当两圆外切时，有3条公切线，当两圆内切时有1条公切线，当两圆相交时，有2条公切线，当两圆内含时没有公切线.6．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　)A．＋＝1 B．＋y2＝1C．＋＝1 D．x2＋＝1【答案】A【分析】设出椭圆的标准方程，由题意可得，解得a，c，利用b2＝a2﹣c2得到b2,从而得到标准方程.【详解】设椭圆的方程为（a>b>0），由右焦点到短轴端点的距离为2知a=2, 右焦点到左顶点的距离为3知a+c=3,解得a＝2，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3，因此椭圆的方程为＋＝1．故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属基础题．7．直线关于原点对称的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由直线上任意两点，求出其关于原点对称的点，再求出斜率，进而得出所求方程.【详解】点在直线上，则在所求直线上所求直线的斜率，则所求直线方程为故选：A8．是方程表示椭圆的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】时，，，但当时，，方程表示圆．不充分，方程表示椭圆时，，即且，是必要的．应为必要不充分条件．故选：B．9．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.【详解】若方程表示圆，则，解得：；∵，，，甲是乙的必要不充分条件.故选：B.10．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（    ）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.【详解】,可以看作点到点的距离之和，作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，最小值为间的距离.故选：D. 二、多选题11．已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）A．B．C．D．与夹角的余弦值为【答案】BCD【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.【详解】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；对于B选项：，，故B正确；对于C选项：，，则，故C正确；对于D选项：，，所以，故D正确；故选：BCD.12．已知椭圆的焦距为4，则（    ）A．椭圆C的焦点在x轴上 B．椭圆C的长轴长是短轴长的倍C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为【答案】BC【分析】根据条件先求解出的值，然后逐项判断焦点位置、长轴长和短轴长的数量关系、离心率以及椭圆上的点到焦点的最大距离.【详解】因为，所以，所以焦点在轴上，故A错误；又因为焦距为，所以，所以，所以，所以长轴长，短轴长，所以，故B正确；因为，所以离心率，故C正确；因为椭圆方程，取一个焦点，设椭圆上的点，所以，又因为，当时取最大值，所以，故D错误；故选：BC.【点睛】结论点睛：椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值：（1）最大值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点两侧；（2）最小值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点同侧.(可利用点到点的距离公式结合椭圆方程进行证明)13．如图，正方体的棱长为，是棱上的动点(不包括端点)，则下列说法正确的是（    ）．A．若为的中点，则直线平面B．三棱锥的体积为定值C．当为的中点时，直线与平面所成的角正切值为D．直线与直线会相交于一点【答案】BC【分析】由线面平行的性质判断A，由等体积法判断B，由平面，得出直线与平面所成的角为，再求出其正切值即可判断C，根据异面直线的定义判断D．【详解】因为平面，平面平面，若直线平面，则由线面平行的性质可知，，但是与不平行，故直线与平面不平行，故A错误；，即三棱锥的体积为定值，故B正确；因为平面，所以直线与平面所成的角为，又，，所以直线与平面所成的角正切值为，故C正确；如图在上取点，使得，连接，又，所以为平行四边形，所以，，所以直线与直线异面，故D错误；故选：BC14．下列说法正确的有（    ）．A．直线过定点B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为【答案】AB【分析】求出直线过的定点判断A；写出直线的点斜式方程判断B；求出直线斜截式方程判断C；求出直线方程判断D作答.【详解】对于A，直线恒过定点，A正确；对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确；对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误；对于D，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时，方程为，当该直线不过原点时，方程为，D错误.故选：AB15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，、，点Р满足，设点Р所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ）A．C的方程为B．在C上存在点D，使得C．在C上存在点M，使M在直线上D．在C上存在点N，使得【答案】AD【分析】通过设出点P的坐标，利用，即可求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据BCD三个选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.【详解】设点，由，得，化简得，即，故A选项正确；对于B选项，设，由得，又，联立方程可知无解，故B选项错误； 对于C选项，设，由M在直线上得，又，联立方程可知无解，故C选项错误；对于D选项，设，由，得，又，联立方程可知有解，故D选项正确.故选：AD. 三、填空题16．已知直线l的一方向向量为.则直线l的倾斜角为    .【答案】/【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率，进而根据斜率求解倾斜角.【详解】解：因为直线l的一方向向量为，所以直线的斜率为，，设直线l的倾斜角，则，所以，即.故答案为：17．平行于直线且与圆相切的直线的方程是          ．【答案】或【分析】根据平行设出直线方程，利用与圆相切可得方程.【详解】因为切线与平行，所以设切线为，圆的圆心为，半径为，所以，解得.故答案为：或.18．已知点(x，y)在直线2x＋y＋5＝0上运动，则的最小值是        .【答案】【分析】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，由点到直线的距离公式可得．【详解】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，即为原点到该直线的距离平方d2，可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线的长度，由点到直线的距离公式易得d．∴的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查点到直线的距离公式，转化是解决问题的关键，属基础题．19．已知，分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆的上顶点，若内切圆半径为，则椭圆的离心率为          ．【答案】【分析】利用椭圆的定义求出三角形的周长，结合三角形内切圆的性质可得答案.【详解】由题意可知的周长为， 的面积为，解得，平方可得，由，整理可得，解得，即.故答案为：.20．设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是          ．【答案】【分析】依题意可得圆心到直线的距离小于等于，作，垂足为，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解.【详解】由题意知直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离小于等于，如图，作，垂足为，在直角中，因为，所以，解得，因为点，所以，解得，故的取值范围是，所以的最大值是.故答案为： 四、解答题21．（1）已知，动直线，是否过某个定点：若有，请求出该点坐标．（2）求直线与的交点，并求这个点到直线的距离．【答案】（1）有，；（2）1.【解析】（1）根据，转化为，然后由求解.（2）由求得交点，然后求交点到直线的距离．【详解】（1）因为，所以，所以，所以，解得，所以该定点为，（2）由，解得，所以交点，所以交点到直线的距离．【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及点到直线的距离，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．在棱长为的正四面体中，．(1)设，，用，，表示(2)若，且，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量的加、减、数乘运算即可求得；（2）先表示出，根据，即可解得．【详解】（1）因为，所以是棱的中点，所以，则，故．（2）因为，所以，在棱长为的正四面体中，，所以，解得：．23．已知点M(3，1)，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.（1）若直线ax﹣y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值；（2）求过点M的圆O1的切线方程.【答案】（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0.【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d，结合点到直线的距离公式可得d=，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，分切线的斜率是否存在2种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案.【详解】（1）根据题意，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圆心为(1，2)，半径r=2，若弦AB的长为，则圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d=，又由圆心为(1，2)，直线ax﹣y+4=0，则有d=，解得；（2）根据题意，分2种情况讨论：当切线斜率不存在时，其方程为x=3，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为y﹣1=k(x﹣3)，圆心到它的距离，解得，切线方程为3x﹣4y﹣5=0，所以过点M的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0.【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题.24．如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，.(1)求证：⊥平面；(2)求二面角余弦值的大小；(3)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到，，从而得证；（2）（3）利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，则、、．在中，，，∴．∴、，∴，，，∵，，即，，又，平面，∴⊥平面；（2）由（1）得，．设平面的法向量为，则，即，故平面的法向量可取为，∵平面，∴为平面的一个法向量．设二面角的大小为，由图易得为锐角，依题意可得，即二面角余弦值为．（3）由（1）得，，设平面的法向量为，则，∴，故可取为．∵，∴到平面的距离为.25．已知椭圆的焦距为4，短半轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接求出，即可求解；（2）利用点差法，设，，由题意得，然后，得到斜率，再代入中点，即可出，进而求出直线l的方程【详解】（1）由题意可知，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，，由题意得两式相减，得，即，所以直线的斜率.因为点是线段的中点，所以，，所以所以直线的方程为，即.【点睛】关键点睛：利用点差法和中点求出斜率是解题关键，属于基础题26．已知以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点．(1)试写出圆C的标准方程；(2)设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的标准方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先设出圆的方程，根据圆所过点可得方程；（2）由可得，进而可得方程.【详解】（1）设圆的方程为，因为圆经过原点，所以；即圆的标准方程为：.（2）设线段的中点为，因为，所以；由圆的性质可得，所以.所以，解得；当时，显然直线和圆不相交，不合题意；当时，符合题意；所以圆的方程为：.  27．已知圆，圆．（1）试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由；（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求实数k的值．【答案】（1）； （2）或．.【分析】（1）用圆心距与两圆半径的关系判断两圆位置关系；用两圆方程相减消去二次项得相交弦所在直线方程；（2）联立直线与圆的方程，根据韦达定理以及两线垂直的向量关系列式可解得k．【详解】（1），两圆相交，两圆做差得即公共弦所在直线为：（2）由题可知，设将代入得整理得，，由韦达定理得化简得 ，解得或．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及圆和圆的位置关系及其判定，属中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．