2022-2023学年江西省萍乡市高二上学期期末考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江西省萍乡市高二上学期期末考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省萍乡市高二上学期期末考试数学试题 一、单选题1．已知，则m等于（    ）A．1 B．3 C．1或3 D．1或4【答案】C【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由可知:或者,解得:或故选：C2．若直线与直线垂直，则实数（    ）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．【详解】直线与直线垂直，则，解得．故选：．3．从某班包含甲､乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．【详解】令事件为甲被选中的情况，事件为乙被选中的情况，故，，故．故选：．4．已知是双曲线的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段四等分，则该双曲线的焦距为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据题意列出方程组进行求解即可.【详解】因为是双曲线的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段四等分，所以，即，即，又因为，解得，所以c=2，所以该双曲线的焦距为.故选：D5．在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建系，写出相关点的坐标，根据向量求解.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，则，，则，所以，异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.6．过圆上一点的切线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据圆的一般方程得到圆心，从而得到直线的斜率，进而求出过点的切线斜率，由直线的点斜式方程即可求得切线方程.【详解】由得：，则该圆的圆心为，又是该圆上一点，则直线的斜率为，所以过点的切线的斜率，则过点的切线方程为，即，故选：B.7．抛物线的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意得点坐标，作点关于的对称点，则，求即为最小值．【详解】如图所示：作点关于的对称点，连接，设点，不妨设 ，  由题意知，直线l方程为，则，得所以，得 ，所以．由，当三点共线时取等号，又所以的最小值为故选：D8．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再求出离心率作答.【详解】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为的等腰三角形，腰长为伞面圆的直径，椭圆长轴长为底边长，则，即，而椭圆的短轴长，即，所以椭圆的离心率故选：D 二、多选题9．下列结论正确的是（    ）A．若随机变量服从两点分布，，则B．若随机变量的方差，则C．若随机变量服从二项分布，则D．若随机变量服从正态分布，，则【答案】ACD【分析】根据二点分布的期望公式，可判定A正确；根据方差的性质，可判定B错误；根据二项分布的概率计算公式，可判定C正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定D正确.【详解】对于A中，由随机变量服从两点分布且，则，故A正确；对于B中，由随机变量的方差，可得，故B错误；对于C中，由变量服从二项分布，则，所以C正确；对于D中，由随机变量服从正态分布，，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以D正确.故选：ACD.10．已知，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】分别令，，，求出对应的，，选项，然后再求出展开式中含的项即可求出，由此即可判断．【详解】解：令，则，故正确，令，则①，故错误，展开式中含的项为，故，所以错误，令，则②，①②可得：，故正确，故选：．11．如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，，为的中点，则下列命题中正确的是（    ）A． B．平面C．直线与所成角的余弦值为 D．二面角大小为【答案】ACD【分析】取的中点，连接，证明出平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，，，，则，A对；，易知平面的一个法向量为，，故与平面不平行，B错；，，所以，直线与所成角的余弦值为，C对；设平面的法向量为，，，则，取，则，所以，，由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角为，D对.故选：ACD.12．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且都在轴的上方，（为坐标原点），记的面积分别为，则（    ）A．直线的斜率为 B．直线的斜率为C． D．【答案】BC【分析】结合抛物线定义求出两点的坐标，利用两点坐标求直线的斜率，判断选项A，B，根据三角形面积公式求，判断C，D.【详解】设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义可得，所以，，所以，故A项错误；B项正确；，所以，C正确，D错误，故选：BC. 三、填空题13．若圆与圆外切，则      .【答案】2【分析】根据圆的方程得出圆心与半径，根据两圆外切的计算公式进行计算即可.【详解】由题意得，，，，，因为圆与圆外切，所以，解得.故答案为：214．在空间直角坐标系中，，，若，则实数          .【答案】4【分析】由题意可得，即可得到方程组，进而解出方程组即可.【详解】由题意得，，即，所以，解得.故答案为：415．从数字中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数字之和为5，则这样的偶数共有          个.【答案】72【分析】先考虑千位和百位，再考虑个位，最后考虑十位，求出答案.【详解】满足数字之和为5的两个数字为，故千位和百位上的数字排列有种情况，再考虑个数，有种选择，最后考虑十位，有6种选择，故这样的偶数共有个.故答案为：7216．已知双曲线的一条渐近线方程为，是上关于原点对称的两点，是上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围为     .【答案】【分析】由渐近线的方程可得，的关系，写出，的坐标，设的坐标求出直线，的斜率由的斜率的范围求出的斜率的方程．【详解】解：依题意，，则双曲线的方程为：，则，，设，，则，所以，因为，，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系，属于中档题． 四、解答题17．已知直线过点，且__________.在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线的一个方向向量为.(1)求直线的一般式方程；(2)若直线与曲线相交于两点，求弦长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2) 【分析】（1）选①，先得到点在圆上，从而根据垂直关系求出直线的斜率，得到直线的一般式方程；选②，求出，从而得到直线的一般式方程；选③，根据直线的一个方向向量求出的斜率，求出直线的一般式方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长.【详解】（1）若选①：因为，故点在圆上，且圆心与连线的斜率为，因为直线与圆相切，所以直线的斜率为2；所以直线的一般式方程为；若选②：设直线的倾斜角为，由得；故直线的斜率；所以直线的一般式方程为；若选③：因为直线的一个方向向量为，所以的斜率；所以直线的一般式方程为（2）曲线，即；故为圆，圆心为，半径为；则圆心到直线的距离为；所以弦长.18．某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6道备选题中一次性随机抽取3道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2个选题方可通过.6道备选题中，考生甲有4个选题能正确完成，2个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是，且每个选题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲､乙两位考生正确完成选题个数的概率分布列（列出分布列表）；(2)请分析比较甲､乙两位考生的操作能力.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析 【分析】（1）根据超几何分布及二项分布分别求解即可；（2）根据超几何分布及二项分布的数学期望及方差公式分别求解即得.【详解】（1）记考生甲正确完成试题的个数分别为，则的可能取值有，且，，所以，考生甲正确完成选题数的概率分布列如下表：123记考生乙正确完成试题的个数分别为，则的可能取值有，且，，所以，考生乙正确完成选题数的概率分布列如下表：0123（2），，从做对题的个数的数学期望看，两人水平相当；因为，因此可以判断甲考生的操作能力更强.19．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.  (1)证明：平面平面；(2)求锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2). 【分析】（1）通过和证明平面，从而证明面面垂直；（2）通过图形建立空间直角坐标系，求出两个平面的一个法向量，结合二面角的向量计算公式计算即可.【详解】（1）因为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以；因为是等边三角形，是棱的中点，所以；因为平面，且，所以平面，因为平面，所以平面平面（2）分别取的中点为，连接，因为是等边三角形，是中点，所以，因为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为为的中点，所以，所以即两两垂直，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，  则，所以，设平面的法向量为，所以，取，则，平面的一个法向量为；则，所以锐二面角的余弦值为20．安排6名教师到甲､乙､丙三个场馆做志愿者.(1)有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？(2)每名教师只去一个场馆，每个场馆至少要去一名教师，且两人约定去同一个场馆，共有多少种不同的安排方法？【答案】(1)21种(2)150种. 【分析】（1）分两类，结合组合知识进行求解；（2）法一：：把视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，利用排列和组合知识进行求解；法二：把6人先分成三组，再分配给三个场馆，分三种情况进行求解，每种情况下考虑安排在同一组，求出答案.【详解】（1）由题知，把这14个口罩按要求全部发给这6名教师有两种分配方案：或；按2，2，2，2，3，3分时，有种分法；按2，2，2，2，2，4分时，有种分法；所以不同的发放方法有21种；（2）法一：把视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有两类：1，1，3或；按安排时，有种方法；按安排时，有种方法；所以不同的安排方法有种.法二：把6人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有三类：第一类：若为2人组，有种分组方法；若在3人组，有种分组方法；再分配给三个场馆，有种方法；第二类：则为其中一组，有种方法；第三类：则在4人组，有种方法；所以不同的安排方法有种.21．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，是棱上两点（在的上方），且.  (1)若，求证：平面；(2)当点到平面的距离取得最大值时，求的长.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接交于，连接，证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）根据三棱锥的等体积法判断要使点到平面的距离最大，则需的面积最小，即到的距离最小；建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）连接交于，连接，因为为的中点，是正方形，所以；因为，所以，所以，因为平面平面，所以平面；（2）在四棱锥中，因为，所以的面积为定值，又点A到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值；要使点到平面的距离最大，则需的面积最小，即到的距离最小；由题知，以A为坐标原点，为轴建立如图空间直角坐标系，则，由于平面，平面，故,而，故为等腰直角三角形，即；设到的距离为，则，，故到的距离为，对于二次函数，其图象对称轴为，当时，取到最小值，此时到的距离最小，此时点到平面的距离最大，所以.  22．已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知是直线上的一点，是否存在这样的直线，使得过点的直线与椭圆相切于点，且以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在直线 【分析】（1）设椭圆的方程为，由，得到焦点，然后利用椭圆的定义求解； （2）由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立，由，得到，进而得到切点的坐标为再结合的坐标为，为直径的圆过点，由求解.【详解】（1）设椭圆的方程为，由题知，，即，所以焦点，由椭圆的定义得：，即故椭圆的标准方程为；（2）如图所示：  由题易知直线存在斜率，设直线的方程为，联立，得，由，得；①，即切点的坐标为又的坐标为，以为直径的圆过点，则，，则，化简，得，上式对满足①式任意的成立，则，故存在直线满足题意.