2022-2023学年湖北省武汉市华中科技大学附属中学高二上学期9月月考数学试题含答案

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2022-2023学年湖北省武汉市华中科技大学附属中学高二上学期9月月考数学试题 一、单选题1．若复数满足，则下列说法正确的是（    ）A．的虚部为 B．的共轭复数为C．对应的点在第二象限 D．【答案】C【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.【详解】由，得，对于A，复数的虚部为，故A不正确；对于B，复数的共轭复数为，故B 不正确；对于C，复数对应的点为，所以复数对应的点在第二象限，故C正确；对于D，，故D不正确.故选：C.2．在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可判断出答案.【详解】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可得A，B，D不正确，选项C：，所以四点共面，故选：C.3．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可【详解】因为，所以，因为平面的法向量，所以点到平面的距离.故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题4．已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x，y，使得，所以必要性成立；若存在实数x，y，使得，则共面，则平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立；所以 “存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC是解题的关键，属于基础题.5．在中，角的对边分别为，且，则的面积为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】利用正弦定理将边化为角，求得，然后利用余弦定理求得，代入三角形面积公式即可.【详解】因为，由正弦定理，因为，所以，因为，所以，根据余弦定理得，得或，所以或，故选：C.6．为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（    ）甲：中位数为8，众数为7乙：中位数为8，平均数为8.4丙：平均数为8，方差小于2A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定【答案】A【分析】根据题意，结合“优秀小组”的定义依次分析选项，综合可得答案.【详解】甲：中位数为8，众数为7，可知甲组的得分依次为：7、7、8、9、10，根据“优秀小组”的概念可知甲组一定是“优秀小组”当乙组得分依次为：6、8、8、10、10时，中位数为8，平均数为8.4，但乙组不符合“优秀小组”的概念，当丙组得分依次为：6、8、8、8、10时，丙：平均数为8，方差为，但丙组不符合“优秀小组”的概念.故选：A.7．如图，已知电路中有个开关，开关闭合的概率为，其它开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】设开关闭合为事件，，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关闭合为事件，，则事件灯不亮可表示为，由已知，，∴  ，∴   事件灯亮的概率，故选：A.8．已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为(    )A．  B．  C．  D． 【答案】A【分析】连接、、，，连接BE交于O，证明平面得DO⊥OP，求出OP长度，确定O的位置，确定P的轨迹形状，从而可求P的轨迹长度．【详解】连接、、，则，，，∴⊥平面，∴，同理，∴平面．设，连接BE交于O，由△BOD∽△且BD=可知OD=，则，连接OP，则，∴，可得点P的轨迹为以点O为圆心，为半径的圆在内部及其边界上的部分，OB=2OE，E为中点，及△为等边三角形可知O为△中心，OE=，如图：，，，则∠OFE=∠=，∴OF∥，同理易知OG∥，故四边形是菱形，则∴的长度为，故点P的轨迹长度为．故选：A． 二、多选题9．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（    ）A．这10天的日均值的80%分位数为60B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C．这10天的日均值的中位数为41D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差【答案】BD【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案.【详解】个数据为：，，故80%分位数为，A选项错误.5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B选项正确.中位数是，C选项错误.根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D选项正确.故选：BD10．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若，为两个随机事件，则；③若事件，满足，，，则，相互独立；④若事件，满足，则与是对立事件．其中错误的命题是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】BD【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率的基本性质依次判断4个命题作答.【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，①正确；对于②：若，为两个随机事件，则，②错误；对于③：由，得，相互独立，③正确；对于④：记事件为抛一枚硬币正面朝上，事件为掷一枚骰子出现偶数点，则，，满足，显然事件与可以同时发生，它们不是对立事件，④错误.故选：BD11．已知空间四点，，，，则下列说法正确的是（    ）A．B．以，为邻边的平行四边形的面积为C．点到直线的距离为D．，，，四点共面【答案】AC【分析】直接利用空间向量，向量的模，向量垂直的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角，判定A、B、C、D的结论即可．【详解】空间四点，，，，则，，所以，，对于A：，故A正确；对于B：，所以，所以以，为邻边的平行四边形的面积，故B错误；对于C：由于，，所以，故，所以点到直线的距离，故C正确；对于D：根据已知的条件求出：，，，假设共面，则存在实数和使得，所以，无解，故不共面，故D错误；故选：AC．12．如图，在棱长为的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ）A．的最小值为B．若，则平面截正方体所得截面的面积为C．与底面所成的角的取值范围为D．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的最小值是【答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，设，得，利用空间向量法求得数量积，计算最小值判断；由线面平行得线线平行确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积判断B；过作的垂线，垂足为，连接，则为所求角设，运用余弦定理求出，由，计算判断C；结合正方体的对称性，利用是正方体的外接球直径判断D．【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由正方体棱长为，则，，，，.对于，，设，，所以，，，，所以时，，故A错误；对于B，，则是上靠近的三等分点，，取上靠近的三等分点，则，.显然与平面的法向量垂直，因此平面，所以截面与平面的交线与平行，作交于点，设，则，由，可得，解得，则与重合，因此取中点，易得，所以截面为，且为等腰梯形，，，，梯形的高为，截面面积为，故B正确；对于C，过作的垂线，垂足为，连接，则为所求角．设，则，由余弦定理知，.因为为线段上的动点，所以.当时，.，当时，，，所以，故，C正确；对于D，，，，，，，则，，同理.所以是平面的一个法向量，即平面，设垂足为，则，是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转，故D正确．故选：BCD． 三、填空题13．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是       ．【答案】【分析】利用，即可求解．【详解】，，，故答案为：．【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为          ．【答案】【分析】设，可得 ，所以解出，，即可．【详解】设；，解得：；在基底下的坐标为：．故答案为：．15．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率的精确度上，首次将“”精确到小数点后第七位，即＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a，b，则事件“”的概率为       ．【答案】【分析】根据给定条件，列出从4，1，5，9，2，6中任取两个数字的所有结果，再求出两个数字差的绝对值不小于5的个数即可作答.【详解】依题意，“圆周率”第三到第八位有效数字分别是4，1，5，9，2，6，从中任取两个数字a，b的不同结果是：(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，9)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，9)，(4，5)，(4，6)，(4，9)，(5，6)，(5，9)，(6，9)，共15种，它们等可能，事件“”记为M，它含有的结果有：(1，6)，(1，9)，(2，9)，(4，9)，共4种，于是得，所以事件“”的概率为.故答案为：16．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是         ．【答案】【分析】以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，， 设 则，当时的最小值是， 取 则 又因为是任意值，所以的最小值是.取 则 又因为是任意值，所以的最小值是.故答案为：. 四、解答题17．已知，．(1)求与夹角的余弦值；(2)当时，求实数k的值．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.（2）根据列方程，从而求得的值.【详解】（1）.（2）由于，所以，所以，，解得或.18．袋中有6个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：（1）从中任取一球，得到黑球．黄球．绿球的概率各是多少？（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？【答案】（1）；（2）【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件，，，由于，，为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率．（2）黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率．【详解】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件，，，由于，，为互斥事件，根据已知得，解得，从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是；（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，所以所求概率为，则得到的两个球颜色不相同的概率是．19．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】(1)32.25，第80百分位数为37.5(2)10 【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；（2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取人和人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，进而根据方差公式，代入计算即可得答案.【详解】（1）设这20人的平均年龄为，则.设第80百分位数为，由，解得.（2）由频率分布直方图得各组人数之比为，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人，设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.则，，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.20．已知函数．（1）若，且，求的值；（2）在锐角中，角，，所对的边分别是，，，若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化简解析式，由得到，从而求得，进而求得.（2）由求得，利用正弦定理化简，通过的取值范围，求得的取值范围.【详解】（1）因为，由，得，因为，所以，所以，所以．（2）由，因为，所以，所以，即．由正弦定理，可得，．因为是锐角三角形，所以，即．所以．由，得，所以．21．如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结．(1)证明：平面；(2)在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点，连接，，利用面面平行的判定证明平面平面，再利用面面平行的性质即可证明；（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到答案.【详解】（1）在四棱锥中，取的中点，连接，，因为，分别为，的中点，，则，，因为平面，平面，则平面，同理可得，平面，又，，平面，故平面平面，因为平面，故平面；（2）因为在等腰直角三角形中，，，所以，则在四棱锥中，，，因为，则，，又，平面，故平面，又平面，故，因为，，，则，所以，故．以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则：，，，，故，设平面的法向量为，则，令，则，故；设平面的法向量为，则，令，则，，故，所以，故平面与平面夹角的余弦值为．22．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点．（1）求证：平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，或【分析】（1）利用余弦定理解得，结合勾股定理得到，证得侧面，，继而可证平面ABC；（2）以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M，设，由EM与平面所成角的正弦值为，可求解.【详解】（1）由题意，因为，，，利用余弦定理，解得，又，，侧面，．又，AB，平面ABC，∴直线平面ABC．（2）以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，设平面的一个法向量为，，，，，令，则，，假设存在点M，设，，，，，利用平面的一个法向量为，，得．即，或，或．【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.