2022-2023学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期12月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知则的值分别为

A． B．5，2 C． D．

【答案】A

【详解】由题意得，，所以，即，解得，故选A．

2．已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率等于

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用双曲线的关系求解即可．

【详解】右焦点到其渐近线的距离等于为，故,故离心率等于，故选D

【点睛】本题考查双曲线的性质：焦点到其渐近线的距离为b

3．数列为等差数列，成等比数列，，则（   ）

A．5 B． C．0 D．1

【答案】D

【分析】利用成等比数列得到，结合为等差数列和可求出公差和，即可得到答案

【详解】设等差数列的公差为，

由成等比数列可得，

所以，解得，

因为，解得，所以，

故选：D.

4．已知为数列的前n项和，，那么（    ）

A．－4 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，利用数列的通项和前n项和的关系，求得数列的通项求解.

【详解】因为，

当时，，

当时，由

得，

两式相减得，

即，又，

所以是等比数列，

，则，

故选：C

5．已知直线与直线互相垂直，则（    ）

A．-3 B．-1 C．3 D．1

【答案】D

【分析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为即可得到答案.

【详解】直线的斜率为，直线的斜率为3，由题意，

，解得.

故选：D

【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

6．已知空间四边形ABCD中，，，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由向量的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】由向量的运算法则，可得.

故选：C.

7．已知，为非零向量，，若，，当且仅当时，取得最小值，则向量，的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知可得，根据已知以及二次函数的性质可得，解得，即可求出结果.

【详解】设向量，的夹角为，.

由可得.

由已知可得，，所以，

因为，所以.

故选：C.

8．某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为平方米，水渠深米，水渠壁的倾角为，则当该水渠的修建成本最低时的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出截面图形，结合截面面积可利用表示出，则水渠修建成本最低时，取得最小值，则可知当取最小值时最小；根据的几何意义可知当过的直线与相切时，最小，利用直线与圆相切位置关系的求法可求得切线斜率，由此可求得.

【详解】作出横截面如下图所示，其中，，，，则，

，，，

又梯形的面积，

，，

设，

则；

若取最小值，则取得最小值；

表示点与点连线的斜率，

的轨迹为，

可作出图象如下图所示，

则当过的直线与相切时，取得最小值，

设切线方程为：，即，

到切线距离，解得：，

即当时，取得最小值，此时，

则，即当时，该水渠的修建成本最低.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是能够将水渠的修建成本表示为关于的函数的形式，将问题转化为函数最值的求解问题；对于形式的函数最值，可根据几何意义将问题转化为点与连线的斜率的最值求解问题.

二、多选题

9．已知数列的前n项和，数列满足，若，，（，）成等差数列，则k的值不可能是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】AD

【分析】利用与的关系，求得，进而求得，然后根据，，（，）成等差数列，得到与的关系，进而求得答案.

【详解】当时，，当时，，故（），（）．因为，，（，）成等差数列，所以，即，所以，（，），从而的取值为1，2，4，8，则对应的k的值为12，8，6，5，所以k的值不可能是4，10，

故选:AD．

10．如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.

【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，

由倾斜角定义知，，，，故C正确；

由，知，，，，故B正确；

故选：BC

11．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则直线平面

B．若，则直线平面

C．若，则直线与平面所成角的大小为

D．若，则平面，所成二面角的大小为

【答案】BC

【分析】根据空间中线面角、二面角的范围及求法，结合线面的位置关系，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】对于A：若，则直线平面，或直线平面，故A错误；

对于B：若，根据平行的传递性可得直线平面，故B正确；

对于C：因为直线与平面所成角范围为，且若，即与的夹角为，

所以直线与平面所成角的大小为，故C正确；

对于D：因为两面所成角范围为，若，则平面，所成二面角的大小为或，故D错误.

故选：BC

12．以下四个命题表述正确的是（   ）

A．若点在圆外，则实数m的取值范围为

B．圆上有且仅有3个点到直线的距离等于

C．圆和圆外切

D．实数满足，则的取值范围是

【答案】ABD

【分析】根据点和圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆与圆的位置关系、直线与圆相切等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A, 点在圆外,

,，A选项正确.

B,圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，

所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，B选项正确.

C,的圆心为，半径为；的圆心为，半径为，

所以圆心距为，所以C选项错误.

D,圆的圆心为，半径为，

表示圆上的点与点连线的斜率，

当直线与圆相切时，如图所示，

，所以，

结合对称性可知的取值范围是，D选项正确.

故选：ABD

三、填空题

13．直线l过点，，则直线AB的方程为      ．

【答案】

【分析】根据已知两点求出直线斜率，再用点斜式写出直线方程，整理化简即可.

【详解】因为直线过点，，

故可得直线的斜率，

根据点斜式方程可得

整理化简得.

故答案为：.

14．抛物线的焦点坐标是      .

【答案】

【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.

【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，

所以焦点坐标为，

故答案为：.

15．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是      .

①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；

②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；

③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为；

④三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为.

【答案】①②③

【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断．

【详解】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，，

则，

故，，，

结合图像易得①②正确；

三组对棱长度分别为，，，则，，，

因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，

所以等腰四面体的体积，③正确；

三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径，④错误.

故答案为：①②③.

【点睛】关键点点睛：对棱相等的四面体可以内接于长方体，借助长方体的性质处理问题降低了思维量.

四、双空题

16．已知数列的前项和为，且，，则      ；若恒成立，则实数的取值范围为      .

【答案】         

【解析】先由递推公式，得到数列是等比数列，求出，根据分组求和，即可得出；再由恒成立，分离参数，得到，恒成立，求出的最大值，即可得出结果.

【详解】由，，得，，

所以数列是首项为1，公比为的等比数列，

所以，，

.

又，所以恒成立，

即，恒成立.

令，则，所以是递减数列，

所以，，即，

实数的取值范围为.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列，考查分组求和的方法求数列的和，考查数列不等式恒成立问题，属于常考题型.

五、解答题

17．已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，求证：.

【答案】(1)

(2)见解析.

【分析】（1）根据等差数列的基本量以及等比中项的关系即可求解.

（2）根据裂项相消求和，即可求出，然后根据单调性即可证明.

【详解】（1）设的公差为 ，因为，，成等比数列，

所以 ，

因为是递增，所以，故 ，所以.

（2）,

所以 ，

因为 单调递减，所以 单调递增，

故当 时， ，而，

故.

18．求下列各圆的方程，并面出图形.

（1）圆心为点，且过点；

（2）过，，三点．

【答案】（1）（图见解析）（2）（图见解析）

【分析】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.

（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.

【详解】（1）由题意知半径,

所以圆的方程为：.

（2）设圆的一般方程为：.

将，，代入得：

所以圆的方程为：.

19．已知正方体.

(1)求证:.

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)建立适当的空间直角坐标系，通过证明来证明；(2)求出平面，平面的法向量，由公式求出两向量的夹角从而求出二面角.

【详解】设正方体边长为a，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示空间直角坐标系，其中

(1) ，，

，则；

(2)设分别为平面，平面的法向量，的夹角为，

，

则，令可得，

，

则，令可得，

所以，则的夹角为，

所以二面角的大小为.

【点睛】本题考查利用空间向量证明线线垂直，二面角的向量求法，属于基础题.

20．已知是首项为2的等比数列，各项均为正数，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（I）将已知条件转化为的形式解方程，由此求得的值，进而求得数列的通项公式.

（II）利用裂项求和法求得数列的前n项和.

【详解】（I）设的公比为，由，

得

或.

又的各项均为正数，

（II）

【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于基础题.

21．如图，平面，，，，，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)若二面角的余弦值为，求线段的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)；

(3)

【分析】（1）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求得，，，，的坐标，设，可得是平面的法向量，再求出，由，且直线平面，得平面；

（2）求出，再求出平面的法向量，利用向量夹角公式得到直线与平面所成角的正弦值；

（3）求出平面的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为，列式求线段的长.

【详解】（1）证明：因为平面，，在平面内，

则，，又，

故以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

可得，，，，.

设，则.

则是平面的法向量，又，可得.

又∵直线平面，∴平面；

（2）依题意，，，.

设为平面的法向量，

则令，得.

∴.

∴直线与平面所成角的正弦值为；

（3）设为平面的法向量，

则，取，可得，

由题意，，

解得.经检验，符合题意.∴线段的长为.

22．已知椭圆：的焦距为，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形（其中是坐标原点），求平行四边形的面积.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由椭圆的焦距为2，且椭圆C过点，列出方程求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；（2）设直线的方程为，由，消去得

.利用韦达定理可得，点P在椭圆上可得表示平行四边形的面积即可.

【详解】解：（1）由题意可知椭圆的左、右焦点分别为，，

又椭圆经过点，所以，

即，

所以，即，

又，所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，由，消去得

.设，，，

则有，即，

又，.

因为四边形为平行四边形，所以，故，

，

所以，

由点在椭圆上可得，化简得

而 .

又因为，所以，

所以，

所以.

又点到直线的距离，

故的面积.

所以平行四边形的面积为.

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查平行四边形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点公式、弦长公式的合理运用．