2022-2023学年山东省淄博市淄博第一中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山东省淄博市淄博第一中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省淄博市淄博第一中学高二上学期10月月考数学试题 一、单选题1．若直线在轴上的截距为，则实数是（    ）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分析可知，直线过点，将点的坐标代入直线方程，结合检验法可得的值.【详解】由题意可知，直线过点，所以，，即，解得或.当时，直线的方程为，合乎题意；当时，直线的方程为，合乎题意.综上所述，或.故选：D.2．空间内有三点，，，则点P到直线EF的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出与，即可得，与，根据点P到直线EF的距离为可求解.【详解】因为，,所以，，.所以点P到直线EF的距离为.故选:D.3．甲同学在高考中，某选考科目成功进入A档．那一年，全省该科目进入A档的考生们的卷面分最高为92分，最低为85分．按规则将用一条“直线”对这些分数“折算”，其中92分“折算”为100分，85分“折算”为86分．如果甲同学该科得分被“折算”为96分，则甲同学该科卷面分为（    ）A．89分 B．90分 C．91分 D．92分【答案】B【分析】求出对这些分数“折算”使用的直线方程，让后将甲同学该科得分被“折算”的分数96分代入，即可求得答案.【详解】由题意可知，将卷面分当作点的横坐标，折算后分数作为纵坐标，则“折算”使用的直线过两点 ，由此得直线方程为，即 ，将 代入，得，即甲同学该科卷面分为90分，故选：B．4．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则(    )A．​ B．2 C．​ D．​【答案】B【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求出和夹角余弦值即可求出竖坐标，从而得到答案．【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，，解得，故．故选：B．5．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，求出直线、的方程，联立可求得结果.【详解】因为，所以，直线的方程为，即，设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，此时直线的方程为，联立，解得，因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为.故选：C.6．如图，已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，且，底面，若点到平面的距离为，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系,利用坐标法求解即可.【详解】设为中点，因为底面是边长为4的菱形，且，所以,而 ,所以 ；以为坐标原点，以，的方向分别为x，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，.设是平面的法向量，因为，，则，令，得.设点到平面的距离为，.因为，所以，得.故选：D.7．点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用点到直线的距离公式列不等式即可求得.【详解】因为点到直线的距离大于5，所以，解得：或，所以实数的取值范围为.故选：B8．如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（    ）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】A选项：四边形是平行四边形，与相交，故A错；C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错；D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错；利用排除法可得选项B正确.故选：B.9．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【答案】B【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．故选：B．10．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱AB，的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误的是（    ）A． B．平面C． D．是锐角【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题.【详解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则，，，，所以，A正确；因为，平面，平面，所以平面，B正确；，所以，所以，C正确；，当时，，此时为钝角，故D错误.故选：D 二、多选题11．若直线不能构成三角形，则的取值为（   ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】分，过与的交点三种情况讨论即可.【详解】因为直线不能构成三角形，所以存在，过与的交点三种情况，当时，有，解得；当时，有，解得；当过与的交点，则联立，解得，代入，得，解得；综上：或或.故选：ABD.12．若直线m被两平行直线：x－y＋1＝0与：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（    ）A．15° B．30° C．60° D．75°【答案】AD【分析】求两平行线之间的距离，根据三角函数，得到直线与平行线的夹角，再结合外角定理，可得答案.【详解】因为，所以直线，间的距离．设直线m与直线，分别相交于点B，A，则，过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，则，则在Rt△ABC中，，所以∠ABC＝30°，又直线的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°．故选：AD．13．下列说法中，表述正确的是(    )A．向量在直线l上，则直线l的倾斜角为B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为C．若实数、满足，，则代数式的取值范围为D．若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件【答案】AC【分析】A：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B：当＜时，＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C：可看作(x，y)与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D：两直线垂直，则，据此即可判断．【详解】①向量在直线l上，则直线l的斜率为，故直线倾斜角为，故A正确；②若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则≤θ＜π时，直线的倾斜角为；当0≤＜时，直线的倾斜角为π＋()＝；故B错误；③若实数、满足，，设A(－1，4)，B(1，2)，则代数式表示线段AB上任意一点(x，y)和点C(－2，－3)连线的斜率，由图可知，，故C正确；④若直线、的倾斜角分别为、，则，，，∴，则；当时，；故是充分不必要条件，故D错误﹒故选：AC﹒14．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论，其中正确的结论的是（    ）  A．三棱锥的体积不变B．平面C．D．平面平面【答案】ABD【分析】证明平面判断A；证明平面平面判断B；利用判断C；证明平面判断D作答.【详解】如图，在正方体中，  ，，即四边形为平行四边形，，平面，平面，则平面，于是得点P到平面的距离是定值，而面积是定值，因此三棱锥的体积不变，A正确；由选项A知，平面，同理平面，而，平面，则平面平面，而平面，即有平面，B正确；因，即为正三角形，点P在上，则与不一定垂直，C不正确；因平面，平面，即有，正方形中，，而，平面，则平面，平面，于是得，同理，又，平面，则平面，而平面，因此平面平面，D正确.故选：ABD 三、填空题15．,为空间直角坐标系中的两个点，，若，则        ．【答案】0【分析】由向量的平行公式，则，可以求出，即可得到的值.【详解】由A.B的点坐标可得，因为，则，所以．故答案为：0.16．直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是           .【答案】或【分析】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点，由点斜式方程即可得出答案. ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，代入求出，即可求出直线l的方程.【详解】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点，此时直线的方程为，即；②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，则有，解可得，此时直线的方程为，故直线l的方程为或.故答案为：或.17．已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为           ．【答案】【分析】设，根据两点间距离公式和列出关于x的方程，解方程即可求得P的坐标．【详解】设，则，解得，点的坐标为，故答案为：．18．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为        .【答案】－3或3【分析】方法一，利用点到直线的距离公式列方程求解可得；方法二，结合图形分析直线的位置可解.【详解】解：方法一   由题意得，即，所以或，解得或．方法二   因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3．故答案为：－3或319．在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，当取最小值时，活动弹子到直线的距离为           .【答案】【分析】根据给定条件建立以直线BA，BE，BC分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用空间向量即可计算作答.【详解】因为正方形，则，而平面平面，平面平面，于是得平面，又为矩形，即，以射线BA，BE，BC分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，因点在上，且，则，又在线段上移动，则有，于是得点，，，因此，当时，取最小值，此时，点，则，，而，则有，，因此，点M到直线BF的距离，所以活动弹子到直线的距离为.故答案为： 四、解答题20．在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为. 21．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.(1)若，，求的斜60°坐标；(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若，求向量的斜坐标；②若，且，求.【答案】(1)(2)①；②2 【分析】（1）根据所给定义可得，，再根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）设分别为与同方向的单位向量，则，①根据空间向量线性运算法则得到，即可得解；②依题意、且根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出，再根据及向量数量积的运算律计算可得；【详解】（1）解：由，，知，，所以，所以；（2）解：设分别为与同方向的单位向量，则，①②由题，因为，所以，由知则22．在平面直角坐标系中，点，，直线.(1)在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标；(2)在直线上找一点使得最大，并求这个最大值和点的坐标.【答案】(1)最小值为，(2)最大值为， 【分析】（1）首先求出点关于的对称点为的坐标，从而得到直线的方程，再求出两直线的交点坐标，即可所求点的坐标，则的最小值为；（2）首先求出直线的方程，求出直线与直线的交点坐标，即为，而的最大值为，即可得解.【详解】（1）解：设点关于的对称点为，则，解得，即，所以直线的方程为，即.当为直线与直线的交点时，最小.由，解得，所以，从而的最小值为.（2）解：由题意知直线的方程为，即.当为直线与直线的交点时，最大.由，解得，所以，从而的最大值为.23．如图，在五面体中，平面，，，，的中点为.(1)求证：平面；(2)若，，五面体的体积为2，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，得平行四边形，进而根据线面平行的判定即可证明.（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角.也可用几何法找二面角的平面角，再求解.【详解】（1）取CD的中点F，连接OF､EF，∵O､F为AC､CD的中点∴，，∴，∴四边形为平行四边形∴，又∵平面，平面∴平面.（2）由平面，平面，则平面平面，故中上的高即为到平面的距离即为，因为，，则，故，所以上的高.又平面，则，而，有，，所以为直角梯形，令，则梯形的面积，五面体的体积，故，则，.由知，因为平面，，则平面，又平面，所以，，综上，，，两两垂直，故可构建如图示的空间直角坐标系，则，，，所以，，易知平面的法向量为设平面的法向量，则，令，则，则,由几何体的特征可知平面与平面的夹角是锐角,故平面与平面的夹角的余弦值为.方法二(几何法)在梯形中，延长相交于,连接.是平面与平面的交线由，，可知是中点，故，又,从而可得,故是直角三角形且平面且，故为平面与平面的二面角的平面角在中，，故，所以余弦值为.