2022-2023学年宁夏中卫市中宁县第一中学高二上学期10月月考数学试题含答案

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一、单选题
1．600是数列，…的（ ）
A．第20项B．第24项C．第25项D．第30项
【答案】B
【分析】根据题意写出数列通项公式，令，解得即可得到答案.
【详解】数列通项公式为，
令，则，即，
解得或（负值舍去），
所以600是数列，…的第24项.
故选：B
2．在等差数列中，若，，则
A．B．0C．1D．6
【答案】C
【分析】根据等差数列性质得到答案.
【详解】等差数列中，若，
【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于简单题.
3．下列命题正确的是 （ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【分析】利用不等式的性质，对四个选项逐一判断，即可得出正确选项.
【详解】若，则，故选项不正确；
若，则，故选项不正确；
若，则，因为 所以，故选项正确；
当，时，才有成立，故选项不正确；
故选：
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.
4．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【详解】，故选C.
5．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求出，再解即可.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以和是的两个根，所以，所以，
所以即，
即，解得或.
故选：A
6．数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为
A．12B．12或13C．13D．14
【答案】B
【分析】本题可以先通过数列的通项得出数列是等差数列并知道数列的首项，然后得出数列的前项和，然后得出其的最大值．
【详解】因为，
所以数列是一个首项为、公差为的数列．
所以数列的前项和为
由数列的前项和为是一个开口向下的二次函数，且对称轴为
可知的值为12或13，故选B．
【点睛】二次函数在对称轴位置取最值，不过要注意是否能取到对称轴所在的那个点．
7．在正项等比数列中，，数列的前项之和为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质，即可解出答案．
【详解】
故选B
【点睛】本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题．
8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为
A．钱B．钱C．钱D．钱
【答案】B
【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.
9．若两个等差数列和的前项和之比为，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差数列性质直接计算即可.
【详解】因为两个等差数列和的前项和之比为，
所以令，则.
故选：C
10．已知实数x﹐y满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，解得，根据不等式性质求出.
【详解】设，
则，解得，
因为，，
所以，
所以，即.
故选：B
11．若数列是等差数列，首项，且，，则使数列前n项和的最大自然数n是（ ）
A．405B．404C．407D．406
【答案】A
【分析】根据题意分析得到数列的公差，，，得到，，进而得到答案.
【详解】因为数列是等差数列，首项，且，，
所以数列的公差，，，
所以，
，
所以当时，；当时.
所以使数列前n项和的最大自然数n是405.
故选：A
12．设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：
①；
②；
③的值是中最大的；
④使成立的最大自然数等于198
其中正确的结论是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．
【详解】解：①，，．
，．
又，，且．，即①正确；
②，，即，故②错误；
③由于，而，故有，故③错误；
④中，
，故④正确．
正确的为①④，
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是等比数列的性质：若则有．其中根据已知条件得到，，是解答本题的关键，属于中档题．
二、填空题
13．设等比数列的前项和为，若，，则 ．
【答案】
【分析】根据等比数列的前项和的性质，可得答案.
【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为，所以成等比数列，
则，即，，解得.
故答案为：.
14．数列满足且，则数列的通项公式是 ．
【答案】
【分析】根据题意构造等比数列，进而求出通项公式即可.
【详解】设，则，
又因为，所以，则，
所以，
因为，所以，
所以为常数，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
故答案为：
15．已知中，，，则数列的通项公式是 ．
【答案】
【分析】根据题设递推关系得，应用累乘法求的通项公式即可.
【详解】由，可得：，又，
∴＝．
∴．
故答案为：
16．已知为数列的前项和，若，且，则 .
【答案】
【解析】求得数列的周期，由此求得.
【详解】由题意，，，，
∴数列是周期数列，且周期为4.
．
故答案为：
【点睛】本小题主要考查数列的周期性，属于基础题.
三、解答题
17．求解或证明下列各组中两个代数式的大小：
(1)已知均为正实数，比较与﹔
(2)已知，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用作差法比较即可；（2）利用作差法并结合即可证明.
【详解】（1）由题意得，
，
因为均为正实数，所以，，
所以，即
（2）由题意得，，
因为，所以，，，
所以，即
18．已知数列满足，前项和．
(1)求实数的值及数列的通项公式．
(2)在等比数列中，，是的等差中项，求的前项和为．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）由数列的通项与前项和的关系，计算求出实数的值和数列的通项公式；
（2）设出数列的公比，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，计算出公比，再由等比数列的求和公式，即可求出的前项和.
【详解】（1）由题意，，
在数列中，，，
可得，解得：，
∴，
当时，，
当时也成立，
∴；
（2）由题意及（1）得，，
在等比数列中，，是的等差中项，
设公比为，
∴，即，
解得：，
，
∴的前项和为：＝．
19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn.若a1=b1=3，a4=b2，S4-T2=12.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列{an+bn}的前n项和.
【答案】（1）an=2n+1，bn=3n；（2）.
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据a1=b1=3，a4=b2，S4-T2=12，求出，得到数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）根据等差和等比数列的前n项和公式用分组求和法求和.
【详解】（1）由a1=b1，a4=b2，则S4-T2=(a1+a2+a3+a4)-(b1+b2)=a2+a3=12，
设等差数列{an}的公差为d，则a2+a3=2a1+3d=6+3d=12，所以d=2.
所以an=3+2(n-1)=2n+1，
设等比数列{bn}的公比为q，由题意知b2=a4=9，即b2=b1q=3q=9，
所以q=3，所以bn=3n.
（2）an+bn=(2n+1)+3n，
所以{an+bn}的前n项和为(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=(3+5+…+2n+1)+(3+32+…+3n)
= .
【点睛】本题考查了等差和等比数列基本量的计算，前项和公式，分组求和法，属于中档题.
20．在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为，求
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据累加法求（），并验证的情况即可；
（2）根据裂项相消法直接求和即可.
【详解】（1）因为，
所以，，……，，
各式相加，得，
所以，，
当时，满足上式，
所以的通项公式为
（2）由（1）知，，
所以
21．数列中，，，其中为常数.
（1）若成等比数列，求的值；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）可令n＝1，2，3，解得，再由等比数列中项性质解方程得p值；
（2）由已知an+an+1＝n+1，讨论n为偶数或奇数，结合数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，即可得到所求和．
【详解】（1）由可得
所以，，
又成等比数列，
所以，即，又，故.
（2）时，
当为偶数时，
当为奇数时，
综上所述，.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，以及数列的求和方法：并项求和，考查运算能力，属于中档题．
22．已知数列，满足
(1)证明：为等差数列，并求通项公式；
(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求通项公式，于是可求通项公式；
（2）根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，求单调性并求其范围即可求的范围.
【详解】（1）因为，
所以两边同除以得：，即，
又因为，所以的首项，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以
（2）由题意知，，
所以，
，
两式相减得，，
所以
＝，
因为数列中每一项均有，所以为递增数列，所以，
因为，所以，
所以，所以